指向直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略

石麗敏 （福建幼兒師范高等專(zhuān)科學(xué)校，福建 福州 350007）

所謂直觀想象素養(yǎng)，依照2017 年新版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，它的含義是指：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).作為高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所必備的核心素養(yǎng)之一，直觀想象素養(yǎng)具有重要的價(jià)值，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的形成過(guò)程都需要直觀想象素養(yǎng)的輔助.在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解的過(guò)程中，人們往往需要借助直觀手段或者運(yùn)用直觀想象來(lái)梳理解題的思路，探求解決問(wèn)題的方向和路徑，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論、做出猜想.因此，教師要充分重視直觀想象在解題中的重要作用，從實(shí)際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在分析、探究問(wèn)題的過(guò)程中逐步提高直觀想象素養(yǎng).

一、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)施的原則

（一）主體性原則

傳統(tǒng)的解題教學(xué)側(cè)重于教師注入式的解釋?zhuān)趸藢W(xué)生的主體意識(shí)，這不利于學(xué)生探究能力、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).隨著教育教學(xué)改革的不斷深入推進(jìn)，高中教育正在從應(yīng)試教育向全面育人的教育模式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，而解題教學(xué)也應(yīng)以學(xué)生的主體性發(fā)展為目的，把學(xué)生當(dāng)作一個(gè)有發(fā)展、有自己想法、有十足潛力的人，充分發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，給予學(xué)生自主探究、自主發(fā)展的機(jī)會(huì).

要在解題教學(xué)中更好地貫徹主體性原則，其一，需要教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)精選數(shù)學(xué)問(wèn)題，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，選取一些探究性、開(kāi)放性的問(wèn)題，有效激發(fā)學(xué)生參與探討的欲望，提高其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.其二，教師在講解問(wèn)題時(shí)要重視學(xué)生思維的參與度，盡量避免一味地講解，著重引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷解題的過(guò)程，主動(dòng)探索問(wèn)題，主動(dòng)解決問(wèn)題，自主得出結(jié)論，充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，發(fā)揮主體的作用.例如，對(duì)于某些題目，教師可以預(yù)留一些空間給學(xué)生發(fā)揮，啟發(fā)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)，發(fā)表自己的個(gè)人觀點(diǎn)，從而促進(jìn)主觀能動(dòng)性的發(fā)展.

（二）過(guò)程性原則

傳統(tǒng)的解題教學(xué)大多呈現(xiàn)的是一種精心設(shè)計(jì)的、條理化的、有固定邏輯的靜態(tài)解題過(guò)程，而忽略了在探尋結(jié)果的過(guò)程中對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和思維的開(kāi)發(fā)，這就容易導(dǎo)致學(xué)生過(guò)于接受既定的成果，缺乏主動(dòng)去探索、發(fā)現(xiàn)的勇氣和信心.其實(shí)，在解決一道問(wèn)題的過(guò)程中，需要學(xué)生具備一些良好的思維品質(zhì)，例如思維的廣闊性、批判性、求異性等等.如果沒(méi)有這些良好的思維品質(zhì)作鋪墊，對(duì)于一些復(fù)雜問(wèn)題的解決就會(huì)顯得尤為困難.因此，讓學(xué)生在積極主動(dòng)探尋解決問(wèn)題的過(guò)程中提高思維品質(zhì)，汲取有益的知識(shí)，才能有效提升解題的能力.

要在解題教學(xué)中更好地貫徹過(guò)程性原則，這就要求教師在講解問(wèn)題時(shí)不能只是就題論題，而是要選擇合適的方法，突出解題的思維過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)觀察與比較、猜想與歸納、分析與綜合等方式充分參與到解題中來(lái)，突出解題過(guò)程的生動(dòng)性、形象性.例如，對(duì)于一道題目的解題思路，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考解答者為什么要以某個(gè)條件作為突破口？利用其他條件進(jìn)行推導(dǎo)不行嗎？他是怎么發(fā)現(xiàn)這樣的思路的？等等，通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的探討，可以使得問(wèn)題的講解更具有趣味性，也有利于學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展.

（三）示范性原則

解題教學(xué)的示范性首先體現(xiàn)在例題的選擇上，由于受課堂時(shí)間的限制，教師前期在確定授課的案例時(shí)，就需要對(duì)同類(lèi)型的題目進(jìn)行比較，選擇其中具有代表性的、能夠兼顧解題方法訓(xùn)練以及解題能力培養(yǎng)的題目，這樣才能對(duì)同類(lèi)型的題目起到示范作用，揭示解題的通性通法.然后可以對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪健⒁?，以取得舉一反三、夯實(shí)基礎(chǔ)的功效.其次，解題教學(xué)的示范性還體現(xiàn)在要讓學(xué)生通過(guò)教師的示范，梳理解題的格式，特別是在敘述題證明的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)做到層次分明、條理清晰、表述規(guī)范、詳略得當(dāng).

除此之外，就解題教學(xué)而言，學(xué)生思維品質(zhì)、解題能力的開(kāi)發(fā)關(guān)鍵還是在于教師.當(dāng)教師在課堂中呈現(xiàn)出自己解決問(wèn)題時(shí)的思路和方法，并用從中透露出的良好的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)感染學(xué)生時(shí)，無(wú)形之中也為學(xué)生思維能力的發(fā)展起到了示范性的作用.因此，教師需要多從日常的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)自己思維品質(zhì)形成的規(guī)律，并以此指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐，更好地去帶動(dòng)學(xué)生，為學(xué)生樹(shù)立榜樣.

二、指向直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略

直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)體現(xiàn)在多個(gè)方面，主要表現(xiàn)為建立數(shù)形聯(lián)系、圖形描述、幾何直觀理解以及運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物.據(jù)此，下面將結(jié)合相關(guān)案例，針對(duì)這四個(gè)主要表現(xiàn)，談?wù)勗诮忸}教學(xué)中，可以從哪些方面入手，提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

（一）加強(qiáng)語(yǔ)言互譯，學(xué)會(huì)利用圖形描述問(wèn)題

數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以歸結(jié)為文字、符號(hào)以及圖形三種語(yǔ)言，不同的語(yǔ)言具有其獨(dú)特的作用，但它們之間卻又是可以相互轉(zhuǎn)化的.直觀想象素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一就是能夠利用幾何圖形去描述抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)研究問(wèn)題的圖形化.而強(qiáng)化符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言到圖形語(yǔ)言的過(guò)渡性教學(xué)，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形描述問(wèn)題，在經(jīng)歷圖形化的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)語(yǔ)言互譯的強(qiáng)大威力，從而有效提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).因此，教師在解題教學(xué)中要強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言互譯的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察題目的結(jié)構(gòu)特征，幫助學(xué)生建立圖形化的意識(shí)，在潛移默化中積累語(yǔ)言互譯的經(jīng)驗(yàn).

案例1 中兩個(gè)條件蘊(yùn)含著平方、根號(hào)的代數(shù)方程，若應(yīng)用常規(guī)的方法對(duì)式子進(jìn)行開(kāi)方、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，其復(fù)雜性顯而易見(jiàn)，因此直接利用代數(shù)方法求證比較困難.此時(shí)，教師便要著重引導(dǎo)學(xué)生觀察問(wèn)題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特征，試著對(duì)題目中的條件進(jìn)行圖形化.具體分為以下三個(gè)步驟：

3.根據(jù)步驟2 分析的結(jié)果，我們可以把符號(hào)信息圖形化，構(gòu)造出與之相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，如圖1 所示.顯然，依據(jù)面積法易證結(jié)論的正確性.

圖1

小結(jié)：教師通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生分析題目中的符號(hào)信息，觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，并在此基礎(chǔ)上對(duì)已知條件進(jìn)行圖形化的處理，使得學(xué)生在腦海中建立起兩個(gè)代數(shù)式和勾股定理、射影定理的聯(lián)系.同時(shí)，學(xué)生在借助幾何圖形描述復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程中，可以進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言互譯在解決問(wèn)題中的重要作用，逐步提高直觀想象素養(yǎng).

（二）借助幾何直觀，學(xué)會(huì)利用圖形理解問(wèn)題

幾何直觀在數(shù)學(xué)中可表現(xiàn)為實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀以及替代物直觀這四種形式，它以“形”的方式形象地展現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的信息，喚醒人們對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的直觀感知和整體把握，有助于學(xué)生直觀地理解相對(duì)復(fù)雜抽象的問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的思路.因此，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)教授學(xué)生如何選擇適合的直觀模型，使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，讓學(xué)生體會(huì)到幾何直觀在解題中的重要作用，提高利用圖形理解問(wèn)題的能力，從而發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

①若直線(xiàn)，分別與平面平行，則

②若直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則

③若直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，都垂直，則⊥

④若平面內(nèi)的一條直線(xiàn)⊥平面，則⊥

A.0 B.1 C.2 D.3

案例2 屬于立體幾何中判定線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行與垂直的內(nèi)容，其中涉及許多判定定理以及推廣的結(jié)論，容易混淆.因此，教師可以借助熟悉的長(zhǎng)方體模型（如圖2）幫助學(xué)生判定位置關(guān)系，更好地理解問(wèn)題.具體方法如下：

圖2

命題①：棱、所在的直線(xiàn)均平行于平面，但棱所在的直線(xiàn)顯然不平行于所在的直線(xiàn)，故錯(cuò)誤.

命題②：棱所在的直線(xiàn)平行于棱所在的直線(xiàn)，棱屬于平面，但棱不與平面平行，故錯(cuò)誤.

命題③：棱、所在的直線(xiàn)均垂直于，棱、屬于平面，但不與平面垂直，故錯(cuò)誤.

命題④：根據(jù)面面垂直的判定定理可以判斷此命題正確，同時(shí)也可借助長(zhǎng)方形模型進(jìn)行驗(yàn)證.

綜上所述，答案選B.

小結(jié)：教師通過(guò)借助熟悉的長(zhǎng)方體模型，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面以及平面與平面間的平行和垂直，能夠幫助學(xué)生更好地理解題目中四個(gè)命題所涉及的點(diǎn)線(xiàn)面間的關(guān)系，從而順利篩選出錯(cuò)誤選項(xiàng).在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠感受到利用幾何直觀理解問(wèn)題的重要性，提高對(duì)幾何模型的認(rèn)識(shí)，逐步增強(qiáng)直觀感知能力.

（三）運(yùn)用空間想象，把握事物間的聯(lián)系

運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物就是能夠依據(jù)物體的形態(tài)特征建立幾何圖形，或者是能夠依據(jù)幾何圖形想象出與之相關(guān)的物體大小、形狀、結(jié)構(gòu)和相互間的位置關(guān)系，這也是直觀想象素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一.因此，在解題教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生綜合考慮圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，并借助想象建立幾何圖形，形成解決問(wèn)題的思路，逐步提高空間想象能力.

圖3 是正方體的展開(kāi)圖之一，若用它折疊成正方體，則哪一邊與帶★號(hào)的邊相接呢？

圖3

對(duì)于案例3 來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵是要根據(jù)展開(kāi)圖，對(duì)各個(gè)面拼湊成的正方體形態(tài)以及正方體面與面之間的位置關(guān)系進(jìn)行想象，繼而深入探索、猜想結(jié)果.具體教法如下：

正方體的平面展開(kāi)圖共有11 種，題設(shè)中的展開(kāi)圖屬于“中間二連方，兩側(cè)各有兩個(gè)”的“二二二”型.教師首先可以借助正方體模型，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)正方體的空間形式進(jìn)行觀察、分析和認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)正方體的點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系進(jìn)行想象.在此基礎(chǔ)上，對(duì)于具有一定空間想象能力的學(xué)生，便能夠在腦海中進(jìn)行“二二二”型正方體展開(kāi)圖的折疊過(guò)程，從而可以得到本題的正確答案.而對(duì)于空間想象能力較為薄弱的學(xué)生，則可以動(dòng)手制作正方體，在上方標(biāo)記字母，以此方式進(jìn)行解題，進(jìn)一步熟悉正方體的空間形式.

小結(jié)：教師通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生觀察分析正方體模型，對(duì)其整體結(jié)構(gòu)以及不同的展開(kāi)、折疊方式有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，從而幫助學(xué)生借助想象在腦海中建立題目所屬的“二二二”型正方體形態(tài)，形成解決問(wèn)題的思路.在此過(guò)程中，逐步鍛煉了學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)了直觀想象素養(yǎng).

（四）建立數(shù)形聯(lián)系，學(xué)會(huì)利用圖形解決問(wèn)題

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，以形助數(shù)、以數(shù)思形，逐步建立起數(shù)與形的聯(lián)系，以此來(lái)尋求問(wèn)題解決的突破口，這是學(xué)生在解題過(guò)程中不可或缺的一種能力.因此，教師在解題教學(xué)中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，加強(qiáng)對(duì)數(shù)與形轉(zhuǎn)化的指導(dǎo)，使學(xué)生逐步建立借助幾何圖形解決問(wèn)題的意識(shí)，強(qiáng)化解題能力.

對(duì)于案例4 來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵是要把｜｜+｜｜轉(zhuǎn)化為已知長(zhǎng)度的線(xiàn)段之和，這就需要指引學(xué)生根據(jù)已知條件畫(huà)出圖形（如圖4）進(jìn)行觀察，實(shí)現(xiàn)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.

通過(guò)觀察圖4，可以發(fā)現(xiàn)、恰好是兩個(gè)三角形的中位線(xiàn)，則此時(shí)可以把｜｜+｜｜轉(zhuǎn)化為含｜｜+｜｜的形式，接著只要利用橢圓的定義便可以求出｜｜+｜｜的值，實(shí)現(xiàn)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.具體的解題過(guò)程如下：

圖4

如圖4 所示，設(shè)的中點(diǎn)為，，為橢圓的焦點(diǎn)，連接、.顯然是△的中位線(xiàn)，是△的中位線(xiàn).所以｜｜+｜｜＝2 ｜｜+2 ｜｜＝2（｜｜+｜｜）＝2×6＝12.

小結(jié)：教師啟發(fā)學(xué)生分析題目條件，發(fā)現(xiàn)直接采取代數(shù)的方法進(jìn)行求解難度較大，步驟煩瑣，因此需要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思路，從數(shù)與形結(jié)合的角度出發(fā)，根據(jù)已知條件作出相應(yīng)圖形，思考｜｜+｜｜的轉(zhuǎn)化，探求解題的突破口，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律.在此過(guò)程中，可以強(qiáng)化學(xué)生的作圖、讀圖和想圖能力，感受將數(shù)與形進(jìn)行巧妙結(jié)合對(duì)問(wèn)題解決起到的關(guān)鍵作用，逐步提高直觀想象素養(yǎng).

三、總 結(jié)

直觀想象素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)核心是以解題教學(xué)為載體，將直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)解題教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題教學(xué)質(zhì)量雙方面的有效提升.以往的解題教學(xué)側(cè)重于呈現(xiàn)靜態(tài)的解題過(guò)程，加上教師注入式的解釋說(shuō)明，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.因此，應(yīng)當(dāng)重新思考以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向的解題教學(xué)培養(yǎng)方式，既在遵循解題教學(xué)主體性、過(guò)程性以及示范性原則的基礎(chǔ)上，通過(guò)加強(qiáng)語(yǔ)言互譯、借助幾何直觀、運(yùn)用空間想象以及建立數(shù)形聯(lián)系的方式，實(shí)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).