一類廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)的H∞濾波

卜令泰，楊春梅，趙峰，陳向勇

（臨沂大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，山東 臨沂 276005）

0 引 言

所謂濾波是在噪聲環(huán)境中，系統(tǒng)狀態(tài)不可測(cè)的情況下，利用與狀態(tài)有關(guān)的可測(cè)量輸出對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。自20世紀(jì)以來(lái)，濾波理論得到了迅速的發(fā)展，并且在許多實(shí)際領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，例如，導(dǎo)航系統(tǒng)，工業(yè)過(guò)程控制，信號(hào)過(guò)程，圖像再現(xiàn)，航空航天等。1960年數(shù)學(xué)家Kalman提出了經(jīng)典的Kalman濾波方法。它作為一種重要的估計(jì)理論，推動(dòng)了濾波理論的發(fā)展以及在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用。但是許多實(shí)際系統(tǒng)無(wú)法獲得精確模型和噪聲信息等情況，應(yīng)用Kalman濾波導(dǎo)致了系統(tǒng)不穩(wěn)定，甚至使得濾波系統(tǒng)發(fā)散。因此設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒性能好的濾波器在實(shí)際的工程問(wèn)題中是非常必要的。針對(duì)這種情況，1989年，Elasyred和Grimble提出了濾波問(wèn)題，它是將魯棒控制與濾波理論結(jié)合起來(lái)形成的一種魯棒濾波方法。與傳統(tǒng)的Kalman濾波相比，濾波估計(jì)精度大大提高，在很大程度上提高了系統(tǒng)的性能，而后涌現(xiàn)出了許多相關(guān)的研究成果。

由于廣義系統(tǒng)重要的學(xué)術(shù)價(jià)值，以及在網(wǎng)絡(luò)、電力和通信等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值，引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并出現(xiàn)了許多重要的令人矚目的研究成果。特別是針對(duì)廣義系統(tǒng)的濾波問(wèn)題，Park等人研究了廣義系統(tǒng)的最優(yōu)濾波問(wèn)題，給出了誤差系統(tǒng)隨機(jī)容許的充要條件。Wang等人研究了時(shí)滯依賴的奇異Markov跳躍系統(tǒng)的濾波問(wèn)題，給出了容許的充分條件，給出了期望的濾波器的存在性的充分條件。然而，由于伊藤型廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)的復(fù)雜性，針對(duì)這類系統(tǒng)的濾波問(wèn)題仍然需要進(jìn)一步的研究。

本文研究伊藤型廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)的濾波問(wèn)題，目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)廣義濾波器使得濾波誤差系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的并且滿足給定的性能。利用線性矩陣不等式和李雅普諾夫函數(shù)，給出了濾波器存在的條件。最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證所給出方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮以下描述的廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)：

其中()∈R、()∈、()∈R、()∈R分別是系統(tǒng)的狀態(tài)、擾動(dòng)輸入、測(cè)量輸出、待估計(jì)信號(hào)，()是標(biāo)準(zhǔn)的一維布朗運(yùn)動(dòng)。非線性函數(shù)(，)滿足：

其中為已知常數(shù)。矩陣∈R滿足rank()≤。、、、、和是已知的適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

假設(shè)1：rank([])=rank()

定義1：系統(tǒng)（1）(())是隨機(jī)穩(wěn)定的，如果存在正數(shù)()，對(duì)于任意的初始條件，使得如下的不等式成立：

定義2：廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)（1）是隨機(jī)容許的，如果系統(tǒng)（1）有正則，無(wú)脈沖并且是隨機(jī)穩(wěn)定的。

考慮如下的濾波器：

其中x()∈R、z()∈R分別是濾波器狀態(tài)和輸出。A，B和L是待定矩陣。

其中

以下為研究的濾波問(wèn)題描述：

對(duì)于廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)（1），能夠確定一個(gè)形如（3）的濾波器，使得下面的條件成立：

（1）誤差系統(tǒng)（4）(（）=0）隨機(jī)容許的；

（2）在零初始條件下，對(duì)于非零的()∈[0，∞]，滿足

其中

2 主要結(jié)果

本節(jié)將根據(jù)線性矩陣不等式，給出廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)的濾波問(wèn)題的結(jié)論。首先給出關(guān)于濾波誤差系統(tǒng)的一個(gè)充分條件。

定理1：給定標(biāo)量＞0，系統(tǒng)（4）是隨機(jī)容許的且滿足給定的性能，如果存在矩陣＞0，，，和；使得矩陣不等式成立：

下面對(duì)系統(tǒng)（4）（（）=0）選取如下的李雅普諾夫函數(shù)：

利用伊藤公式得

其中

利用Schur引理和（7）知：?＜0，則系統(tǒng)（4）(()=0)是隨機(jī)穩(wěn)定的。

下面證明在零初始條件下，濾波誤差系統(tǒng)滿足給定的性能。利用伊藤公式可以得到：

其中

對(duì)式（10）兩端積分并取期望，可以得到：

對(duì)于系統(tǒng)（4）和任意的＞0，考慮以下的性能指標(biāo)：

利用（7），可以得到()＜0。從而定理得證。

定理1提供的條件不是線性矩陣不等式，求解比較困難，同時(shí)利用條件（7）不能直接得到濾波器。下面將給出確定濾波器的充分條件以保證濾波誤差系統(tǒng)是隨機(jī)容許的且滿足給定的性能。

定理2：對(duì)于廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)（1）以及給定的干擾衰減水平＞0，濾波問(wèn)題是可解的，如果存在矩陣

以 及 矩 陣，，，，，，，，，，，和，使得如下不等式成立：

其中是任意列滿秩矩陣且滿足：

得到期望的濾波器參數(shù)為：

證明：定義矩陣

可以證明由不等式（13）得到（7）成立，因此系統(tǒng)（4）是隨機(jī)容許的且滿足給定的性能，同時(shí)濾波器參數(shù)可通過(guò)式（14）得到。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)給出了一個(gè)數(shù)值例子說(shuō)明所提方法的有效性?？紤]具有如下參數(shù)的廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)（1）：

給定性能水平＞1，利用定理2可以得到

圖1顯示了()和z()的仿真結(jié)果。從圖中可以看出，利用所設(shè)計(jì)的濾波器可以很好的估計(jì)原系統(tǒng)狀態(tài)。

圖1 z(t)和zf(t)的變化曲線

4 結(jié) 論

本文研究了伊藤型廣義非線性隨機(jī)系統(tǒng)的濾波問(wèn)題。設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波器，利用線性矩陣不等式給出充分條件保證系統(tǒng)是隨機(jī)容許的并且滿足給定的性能，通過(guò)解線性矩陣不等式得到濾波器參數(shù)。最后給出一個(gè)數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性。