素養(yǎng)導(dǎo)向下函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題的探析
——以2022年全國(guó)Ⅰ卷第12題為例

福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué) (350319) 陳 芳

2022年高考堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，突出對(duì)學(xué)科基本概念、基本原理的考查，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)；注重本原性方法，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)對(duì)通性通法的深入理解和綜合應(yīng)用.本文以2022年全國(guó)Ⅰ卷第12題為例進(jìn)行闡述.

一 試題與分析

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

試題分析：本題題干簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富.要求學(xué)生在抽象函數(shù)的背景下理解函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性的符號(hào)表達(dá)，理解導(dǎo)數(shù)概念以及它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求.學(xué)生對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性的概念理解不足，對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)對(duì)稱性之間的聯(lián)系了解不夠，無(wú)法真正讀懂題目；導(dǎo)致題目無(wú)從下手.

評(píng)析：上述前兩種解法都需要理解函數(shù)對(duì)稱性概念的本質(zhì)，理解抽象函數(shù)對(duì)稱性的符號(hào)表達(dá)，理解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，第三種解法通過(guò)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的奇偶性關(guān)系推導(dǎo)對(duì)稱性，進(jìn)而利用特殊值或特殊模型來(lái)助力求解.

二 體悟模型

(一)函數(shù)的軸對(duì)稱模型

關(guān)系式對(duì)稱軸概念f(x)=f(-x),x∈Rx=0fx()為偶函數(shù)f(a+x)=f(a-x),x∈Rx=afx+a()為偶函數(shù)f(a+x)=f(b-x),x∈Rx=a+b2fx+a+b2()為偶函數(shù)f(a+kx)=f(b-kx),k,x∈R()x=a+b2fx+a+b2()為偶函數(shù)

以上結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.

(二)函數(shù)的中心對(duì)稱模型

關(guān)系式對(duì)稱中心概念f(x)+f(-x)=0,x∈R(0,0)fx()為奇函數(shù)f(a+x)+f(a-x)=2b,x∈R(a,b)fx+a()-b為奇函數(shù)f(a+x)+f(b-x)=2c,x∈R(a+b2,c)fx+a+b2()-c為奇函數(shù)f(a+kx)+f(b-kx)=2c,k,x∈R()(a+b2,c)fx+a+b2()-c為奇函數(shù)

以上結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.

(三)對(duì)稱性得出周期性模型

1 若f(x)關(guān)于直線x=a與直線x=b軸對(duì)稱，則f(x)的周期為T=2|a-b|；

2 若f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱，則f(x)的周期為T=2|a-b|；

3 若f(x)關(guān)于直線x=a與點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則f(x)的周期為T=4|a-b|.

特別地，常以三角函數(shù)y=sinkx,y=coskx做為模型.

(四)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的對(duì)稱性模型

1 已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽，記g(x)=f′(x)，若f(x)關(guān)于x=a軸對(duì)稱，則g(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱；特別地，若f(x)為偶函數(shù)，則g(x)為奇函數(shù)；

2 已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽，記g(x)=f′(x)，若f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱，則g(x)關(guān)于x=a軸對(duì)稱；特別地，若f(x)為奇函數(shù)，則g(x)為偶函數(shù)；

3 已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽，記g(x)=f′(x)，若g(x)為連續(xù)的奇函數(shù)，則任意一個(gè)原函數(shù)都是偶函數(shù)；

4 已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽，記g(x)=f′(x)，若g(x)為連續(xù)的偶函數(shù)，則只有一個(gè)原函數(shù)是奇函數(shù).

三 理解應(yīng)用

函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是研究函數(shù)的重要方法.其作用主要是“知一半而得全部”，若能推導(dǎo)出周期性則可以“窺一斑而得全豹”，利用函數(shù)的對(duì)稱性解題往往會(huì)使問(wèn)題迎刃而解.

例1 (2021高考Ⅱ卷8)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

解析：因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱；因?yàn)閒(2x+1)為奇函數(shù)，則f(2x+1)+f(-2x+1)=0，即f(x+1)+f(-x+1)=0，所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以f(x)的周期為4，結(jié)合圖象，所以f(-1)=-f(1)=0，故選B.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)f(2x+1)為奇函數(shù)得出函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合f(x+2)為偶函數(shù)，推導(dǎo)函數(shù)的周期性，深化函數(shù)對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系，體悟數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

例2 (2020年福建泉州高三畢業(yè)班線上質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1+x)=f(1-x).若f(1)=1,則( ).

A.f(x)是周期函數(shù)

B.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(n)=0

C.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+62f(6)=16

D.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=8n2+8n+1

設(shè)計(jì)意圖：由函數(shù)的對(duì)稱性得出函數(shù)的周期性，考查抽象函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，建立函數(shù)對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系，理解函數(shù)性質(zhì)的整體關(guān)系，建構(gòu)知識(shí)體系.

例3 (2021·山東威海高二期末)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=0，且在x=1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)=-2，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(-7，f(-7))處的切線方程為( ).

A.2x+y+14=0 B.2x-y+14=0

C.x-2y-7=0 D.x+2y+7=0

解析：R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)+f(x)=0，則當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=0，?x∈R,f(x-2)=f(2-x)=-f(x)，于是得f(x-4)=-f(x-2)=f(x)，即f(x)是周期函數(shù)，周期為4，則有f(-7)=f(1)=0，對(duì)f(x-8)=f(x)兩邊求導(dǎo)得f′(x-8)·(x-8)′=f′(x)，即f′(x-8)=f′(x)，于是當(dāng)x=1時(shí)，f′(-7)=f′(1)=-2，曲線y=f(x)在點(diǎn)(-7，f(-7))處的切線方程為y-0=-2(x+7)，即2x+y+14=0.故選A.

設(shè)計(jì)意圖：理解函數(shù)對(duì)稱性的符號(hào)表達(dá)，抽象函數(shù)對(duì)稱性的圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)周期性的關(guān)系進(jìn)行解題.考查學(xué)生的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

設(shè)計(jì)意圖：利用導(dǎo)數(shù)與對(duì)稱點(diǎn)的關(guān)系求解對(duì)稱點(diǎn)，抽象函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的對(duì)稱性求值.考查學(xué)生的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

四 教學(xué)反思

每一道高考試題都是命題者的智慧結(jié)晶，都體現(xiàn)了命題者對(duì)課標(biāo)的解讀、對(duì)教學(xué)的理解.對(duì)高考試題的思考有利于引導(dǎo)教學(xué)方向，改變教學(xué)方式，落實(shí)素養(yǎng)培養(yǎng).

1.基于數(shù)學(xué)語(yǔ)言，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

2.基于概念原理，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

2022年全國(guó)Ⅰ卷第12題基于函數(shù)對(duì)稱性的概念，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算或者圖象變化規(guī)律研究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x),g(x)的對(duì)稱關(guān)系和周期性進(jìn)而求解.概念是通過(guò)數(shù)學(xué)方式對(duì)現(xiàn)實(shí)世界萬(wàn)物本質(zhì)的歸納概括，概念是數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn).數(shù)學(xué)的思維主要表現(xiàn)為邏輯推理的理性思維方式，概念原理理解得越透徹，邏輯推理的基礎(chǔ)就越牢固.數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴邏輯推理，教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行思考，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的思想，形成和發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

3.基于知識(shí)建構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

五 結(jié)語(yǔ)

史寧中教授在《〈普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〉解讀》中表明，數(shù)學(xué)的眼光主要表現(xiàn)是數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)的思維主要表現(xiàn)是邏輯推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言是數(shù)學(xué)模型；而這三者恰好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一般性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性.張恭慶在《數(shù)學(xué)的意義》中：數(shù)學(xué)的基本特征，一是高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，二是應(yīng)用的廣泛性與描述的精確性，三是研究對(duì)象的多樣性和內(nèi)部的統(tǒng)一性.2022年高考Ⅰ卷12題從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等方向?qū)W(xué)生進(jìn)行了考查，加強(qiáng)教考銜接，發(fā)揮高考命題對(duì)教學(xué)的引導(dǎo)作用，加強(qiáng)對(duì)基本概念的理解，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的練習(xí)，回歸知識(shí)本原，落實(shí)核心素養(yǎng).