揭開不動點求數(shù)列通項公式的教學困惑

福建省廈門實驗中學 (361000) 黃耿躍

在一些期刊論文和競賽書籍中，經(jīng)常提到用不動點的方法求解數(shù)列通項公式，這種解法對于學過高等數(shù)學的老師來講,應該是比較熟悉的，對參加競賽的學生來講，也是比較容易接受的，但如果把該方法在課堂上進行講授，發(fā)現(xiàn)很多學生聽起來是一頭霧水，感覺很突然.筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，只要能抓住數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，對理解不動點求數(shù)列通項公式也是比較容易的，是可以解決老師講解此類問題的教學困惑.本文首先給出不動點理論知識，再進行不動點求解的本質(zhì)分析，同時結(jié)合一道期末試題進行剖析，期望對一線老師的教學有一定的幫助.

一、不動點理論的相關(guān)知識

定義若數(shù)列{an}滿足遞推公式an+1=f(an),則稱函數(shù)y=f(x)為數(shù)列{an}的遞推函數(shù),若存在x0使得f(x0)=x0,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的不動點.

定理1 若f(x)=px+q(p2+q2≠0),x0為f(x)的不動點,{an}滿足an=f(an-1)(n≥2)，則{an-x0}是以p為公比的等比數(shù)列.

(1)若f(x)只有一個不動點x1,則數(shù)列

二、不動點的本質(zhì)揭示

定義本質(zhì)：方程f(x0)=x0的根x0是函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x圖象交點的橫坐標，在數(shù)列中{an}，當a1=x0，則a2=a3=…=an=x0，此時，數(shù)列是一個常數(shù)數(shù)列.

定理1追問：為什么會想到構(gòu)造等比數(shù)列{an-x0}？

分析1：因為an=f(an-1)(n≥2)，所以an=pan-1+q，在方程兩邊都減去x0后可得等式an-x0=pan-1+q-x0恒成立.因為x0為f(x)的不動點，所以當an=x0時，必有an-1=x0，所以等式的右邊一定含有因式an-1-x0，所以等式必可以寫成an-x0=p(an-1-x0)，從而構(gòu)造出等比數(shù)列{an-x0}.

分析2：因為x0為f(x)的不動點，所以直線f(x)=px+q必過點(x0,x0)，利用點斜式方程，利用點斜式方程，所以直線方程可以寫成y-x0=p(x-x0)，因為點(an-1,an)在直線上，所以an-x0=p(an-1-x0)恒成立，從而構(gòu)造出等比數(shù)列{an-x0}.

事實上，定理2(2)是在定理2(1)的基礎(chǔ)上，分別構(gòu)造出{an-x1}與{an-x2}兩個數(shù)列，再進行相除，即可構(gòu)造出一個新的等比數(shù)列.

三、典例剖析

B.若{an}為遞增數(shù)列,則a1>1

C.若{an}為等差數(shù)列,則a1≤0

第一步，作出函數(shù)f(x)與y=x的圖象如圖1；

圖1

第二步，求出函數(shù)的不動點(1,1)；

第五步，利用放縮法即可證明不等式.

總之，初等數(shù)學與高等數(shù)學之間的聯(lián)系是比較緊密的，近幾年高考在命制區(qū)分度較高的試題，常常依托于一些具有高等數(shù)學背景的試題，本文所給的利用不動點知識求解數(shù)列通項公式問題也是高考命制試題時常采用的方法，希望對拓寬老師和學生的知識面起到一定的補充作用.