“錯(cuò)位相減法”求和問題的另一突破路徑探討

蔣彥磊

（南京市江寧高級中學(xué)，江蘇 南京 211100）

數(shù)列求和問題一直是高考中一類比較常見的題型，是高考中的熱點(diǎn)與重點(diǎn)之一。對于“等差*等比”型的數(shù)列求和，傳統(tǒng)的方法是“錯(cuò)位相減法”，該方法雖操作過程簡單，但式子變形技巧強(qiáng)、關(guān)鍵點(diǎn)多、對學(xué)生的運(yùn)算能力要求高等，學(xué)生經(jīng)常不小心就出錯(cuò)。本文筆者從另一視角探究解決此類型數(shù)列求和的其他一般性解法，供大家參考。

一、問題的提出

數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，無論是小題還是解答題都有所涉及，尤其是數(shù)列求和問題涉及的知識點(diǎn)多、方法多、綜合性強(qiáng)等對學(xué)生的能力要求高，很多學(xué)生常因解答過程繁雜、運(yùn)算能力弱導(dǎo)致失分。若能轉(zhuǎn)換因方法多樣、題型靈活問題解決的視角，認(rèn)清本質(zhì)也可以簡化運(yùn)算，提高解題效率。以下面問題為例：

（2020 全國3 理17）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n。

（1）略；（2）求數(shù)列｛2n·an｝的前n項(xiàng)和Sn。

此題，第（1）問是典型的構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)問題，根據(jù)遞推式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮到兩邊加上一個(gè)等差數(shù)列的相鄰項(xiàng)即可構(gòu)造特殊數(shù)列｛an-2n-1｝為常數(shù)列，從而得an=2n+1。第（2）問是數(shù)列求和問題，通項(xiàng)公式為“等差*等比”型，通常利用錯(cuò)位相減法可以得出結(jié)果Sn=(2n-1)·2n+1+2。但通過以往的教學(xué)可以知道，錯(cuò)位相減法容易理解，且操作過程固定，學(xué)生易于掌握，但因計(jì)算量大，注意點(diǎn)多，學(xué)生經(jīng)常出錯(cuò)，有些老師也會(huì)錯(cuò)誤地引導(dǎo)，認(rèn)為解決此類數(shù)列求和的方法只有這一種，讓學(xué)生遇到此類問題總有一種“自古華山一條道”感覺，戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢地算下去。但數(shù)列的本質(zhì)特點(diǎn)是按照一定次序排成的一列數(shù)，項(xiàng)與和之間本質(zhì)上可以直接轉(zhuǎn)化，所以，對于問題（2）是不是可以借助項(xiàng)和關(guān)系可參考問題（1）的方法構(gòu)造新數(shù)列解決呢？

二、問題的解決

由項(xiàng)和關(guān)系式易知：當(dāng)n≥ 2時(shí)即觀察：數(shù)列｛(2n+1)·2n｝是由等差數(shù)列｛(2n+1)｝與等比數(shù)列｛2n｝相乘構(gòu)造，可嘗試把數(shù)列｛(2n+1)·2n｝拆分成兩個(gè)相同結(jié)構(gòu)的一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，再直接構(gòu)造與Sn有關(guān)的新數(shù)列，間接得到Sn。

（一）嘗試構(gòu)造，解決問題

解：（1）an=2n+1；

利用待定系數(shù)法，令

對應(yīng)系數(shù)相等得k=4,b=-2.

所以，(2n+1)·2n=(4n-2)·2n-(4n-6)·2n-1,n≥2.

記bn=(4n-2)·2n.則 (2n+1)·2n=bn-bn-1,n∈N*且n≥2.

所以，Sn=Sn-1+bn-bn-1,n≥ 2.即Sn-bn=Sn-1-bn-1,n≥2.

又當(dāng)n=2時(shí)，S2-b2=S1-b1=2.

所以數(shù)列｛Sn-bn｝為常數(shù)列，即Sn-bn=2,n∈N*.所以，

（二）優(yōu)化解法，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

在前面，構(gòu)造關(guān)于與Sn有關(guān)的新數(shù)列的過程中，得到Sn=Sn-1+bn-bn-1,n≥ 2.即

Sn-Sn-1=bn-bn-1,n≥ 2.所以，求和過程還可以做“裂項(xiàng)”處理：

（接方法 一）因?yàn)閎n=(4n-2)·2n，則(2n+1)·2n=bn-bn-1,n∈N*且n≥ 2.又 當(dāng)n=0,1時(shí)也成立。所以

其實(shí)上述解決問題的兩個(gè)角度是有必然聯(lián)系的，都可以歸為裂項(xiàng)變形策略，下統(tǒng)稱為“裂項(xiàng)法”。由于數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)是等差數(shù)列*等比數(shù)列，考慮到等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)及推導(dǎo)方法（裂項(xiàng)疊加消元），也可把通項(xiàng)變形為有相似結(jié)構(gòu)的數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差，如：［a(n+1)+b］·qn+1-（an+b）·qn，再利用待定系數(shù)法確定系數(shù)，就可以順利將錯(cuò)位相加法求和問題轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)相消解決，大大減少了運(yùn)算難度，且不容易出錯(cuò)。只是在確定系數(shù)時(shí)要細(xì)心計(jì)算，對求得的檢驗(yàn)一下，確保無誤再繼續(xù)求和。該方法更接近問題的本質(zhì)，相比于“錯(cuò)位相減法”的計(jì)算過程，運(yùn)算過程更優(yōu)化，學(xué)生更容易算對，這不僅能提升學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，拓寬了學(xué)生的思維，也提醒老師在日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生多視角思考問題，多角度解決問題。同時(shí)也給老師的教學(xué)研究提供了新的思考點(diǎn)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力。

三、問題的引申

（一）結(jié)論

一般模型數(shù)列{(an+b)·qn}其中a≠0,q≠0 且q≠1 的前n項(xiàng)和為Sn，則

證明：

記數(shù)列｛（an+b）·qn｝其中a≠ 0,q≠ 0且q≠ 1的前n項(xiàng)的和為Sn。由錯(cuò)位相減法可以得到

考慮到Sn中含有代數(shù)式參考引例，下用裂項(xiàng)法處理通項(xiàng)。

結(jié)論：“裂項(xiàng)法”對于一般數(shù)列｛（an+b）·qn｝其中a≠0,q≠0 且q≠1 的求和問題都適用。該方法更接近求和問題的本質(zhì)，相比于以往常規(guī)的計(jì)算方法，運(yùn)算過程學(xué)生更容易接受，解題思維也更加流暢自然。

（二）引申

對于一 般模型數(shù)列 ｛（an2+bn+c）·qn｝其 中a≠ 0,q≠ 0且q≠ 1的求和問題是否適用？

下面以一道具體事例進(jìn)行探究：

例.求數(shù)列｛(n2+n)·2n｝的前n項(xiàng)的和Sn。

解法1：依然利用待定系數(shù)法，令

展開，對應(yīng)系數(shù)相等，容易得到

由此看來，“裂項(xiàng)法”也可以解決此類數(shù)列的求和問題，對于一般模型的驗(yàn)證過程，請有興趣的讀者可以試試。解法2 兩次使用錯(cuò)位相減最終得到答案，進(jìn)一步說明了“裂項(xiàng)法”與錯(cuò)位相減法的本質(zhì)一致，方法同源，也進(jìn)一步說明了這兩種方法的普適應(yīng)和統(tǒng)一性。

四、反思

（一）“裂項(xiàng)法”的一般性

從前面的典例研究過程中，不難發(fā)現(xiàn)，“裂項(xiàng)法”對于多項(xiàng)式數(shù)列*等比數(shù)列型的數(shù)列求和即an=(bm-1nm-1+bm-2nm-2+……+b1n+b0)qn型的數(shù)列求和問題都適用。下面以m次多項(xiàng)式*等比數(shù)列為例介紹一般操作方法：我們只研究q≠ 1的情形，設(shè)an=(λm-1nm-1+λm-2nm-2+……+λ1n+λ0)qn-(λm-1(n-1)m-1+λm-2(n-1)m-2+……+λ1(n-1)+λ0)qn-1將上式打開，按照降冪規(guī)則合并同類項(xiàng)，整理成如下形式：an=(μm-1nm-1+μm-2nm-2+……+μ1n+μ0)qn。其中μ0，μ1，……μm-1是用λ0，λ1，……λm-1，q來表示的一次式。利用對應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)m元一次方程組，用代入法可以解出λ0，λ1，……λm-1，接著用“裂項(xiàng)法”即可求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(λm-1nm-1+λm-2nm-2+……+λ1n+λ0)qnλ0不難看出，當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)較高時(shí)，錯(cuò)位相減法就顯得非常復(fù)雜了，“裂項(xiàng)法”的優(yōu)越性就顯而易見。

（二）裂項(xiàng)法使用的要點(diǎn)

裂項(xiàng)法在使用過程中需注意以下幾點(diǎn)：

1.待定系數(shù)法確定裂項(xiàng)系數(shù)時(shí)，最好根據(jù)通項(xiàng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行選擇。如等。

2.選擇不同的相鄰項(xiàng)，對于下標(biāo)n的取值有不同要求。如，引例法2 裂項(xiàng)求和中，最終n的取值需要從0開始，而變式1 中的n取值從1 開始。

3.無論哪一種方法，都要有首項(xiàng)驗(yàn)證的意識。

（三）從思想方法上看，數(shù)列求和的本質(zhì)就是消項(xiàng)。

大家知道連續(xù)函數(shù)的定積分，根據(jù)牛頓—萊布尼茨公式，可以求出原函數(shù)后作差，而數(shù)列是離散型的函數(shù)，且“（xn）'=n·xn-1”因此形如｛（an+b）·qn｝類數(shù)列求和也可轉(zhuǎn)化為“差”的形式。如：

(an+b)·q n=anq n+bq n=aq·(nqn-1)+bqn，這樣問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)特殊數(shù)列｛n·qn-1｝和一個(gè)等比數(shù)列的求和問題，只要求出特殊數(shù)列｛n·qn-1｝的前n項(xiàng)的和，即可解決問題。在式子n·qn-1中，把q視作變量，聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)公式（xn）'=n·xn-1，故還可以用導(dǎo)數(shù)法來解決求和問題。

所以從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看，數(shù)列求和的根本方法是“裂項(xiàng)相消”（差分求和），故本文討論的方法具有普適性。

通過以上討論不難發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列求和問題中，雖方法多樣，但一定要看清本質(zhì)，靈活選擇。相比于傳統(tǒng)方法，“裂項(xiàng)法”運(yùn)用靈活廣泛，思路簡潔清晰，計(jì)算化繁為簡，學(xué)生不容易出錯(cuò)，在掌握好錯(cuò)位相減法的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生通過對數(shù)列通項(xiàng)的特征進(jìn)行觀察比較、挖掘通項(xiàng)本質(zhì)內(nèi)涵，更能進(jìn)一步理解解題的思想和方法，增強(qiáng)解題能力和自信，從而有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育。另外，新高考更注重對學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力的考查，這就要求老師在課堂教學(xué)中，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，經(jīng)歷多方法解決問題尤其是典型問題的探究過程不僅要實(shí)更要廣，這不僅有助于加深老師對學(xué)科內(nèi)容的理解也促使著學(xué)生在解題過程中形成有規(guī)律的程序化的解題思路，優(yōu)化解法和快速準(zhǔn)確解題，也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，還能讓學(xué)生開拓了數(shù)學(xué)視野、堅(jiān)定了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，更有利于學(xué)生的持續(xù)發(fā)展和多元發(fā)展。