帶非線性邊界條件的一類離散梁方程正解的存在性

景證棋, 路艷瓊

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引言與主要結(jié)果

帶非線性邊界條件的微分方程(差分方程)邊值問題是一類重要的非線性問題, 廣泛應(yīng)用于計算機科學(xué)、 經(jīng)濟(jì)學(xué)、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、 生態(tài)學(xué)、 動力系統(tǒng)等領(lǐng)域[1-7]. 四階微分方程邊值問題可以刻畫彈性梁的橫向彎曲平衡態(tài)[8-10]. 對于懸臂梁, 一端固定(位移及旋轉(zhuǎn)角為零)、 另一端自由(彎矩為零, 剪力變化)的平衡態(tài)可由u(0)=u′(0)=u″(1)=0,u?(1)+c(u(1))=0刻畫[3-5].

Alves等[3]用單調(diào)迭代法研究了帶非線性邊界條件的梁方程

正解的存在性和唯一性; Cabrera等[4]用混合單調(diào)算子方法研究了帶非線性邊界條件的梁方程

正解的存在性, 其中f(t,x,y): [0,1]×[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞),f(t,x,y)關(guān)于x單調(diào)遞增, 關(guān)于y單調(diào)遞減; 特別地, Yan[5]用Krasnoselskii不動點定理研究了帶非線性邊界條件的梁方程

正解的存在性, 其中λ>0為參數(shù),h∈C([0,1],[0,∞)),f∈C((0,∞),), 且f允許取負(fù)值.但對于帶非線性邊界條件的離散邊值問題正解的存在性研究目前文獻(xiàn)報道較少[6-7].Lu等[6]用分歧理論研究了帶非線性邊界條件的二階差分方程

正解的全局結(jié)構(gòu), 其中α,β≥0為常數(shù), [1,N]={1,2,…,N},p,q,a為定義在[1,N]上的函數(shù); 蘇艷[7]將文獻(xiàn)[6]中非線性邊界條件進(jìn)行了推廣, 用分歧理論得到了該問題正解存在的最優(yōu)充分條件.

受文獻(xiàn)[5-7]啟發(fā), 本文討論帶非線性邊界條件的一類離散梁方程

(1)

正解的存在性, 其中:λ>0為參數(shù);h: [2,T]→[0,∞)為函數(shù);f∈C((0,∞),)且在u=0處允許有奇性, 在u=∞處超線性增長.本文主要結(jié)果如下：

定理1假設(shè)下列條件成立:

1)c: [0,∞)→[0,3/(T2(T+1))]連續(xù);

2)f: (0,∞)→連續(xù)且

則存在一個參數(shù)λ0>0, 使得當(dāng)λ<λ0時, 問題(1)有一個正解uλ, 且當(dāng)λ→0+時,uλ→∞在[2,T]上一致成立.

2 引 理

引理1[11]設(shè)E是一個實Banach空間,P?E是一個有序錐, 算子T:P→P全連續(xù).假設(shè)存在x∈E,x≠0和常數(shù)r,R>0且r≠R, 使得下列結(jié)論成立:

1) 若u∈P滿足u=θTu,θ∈[0,1], 則‖u‖≠r;

2) 若u∈P滿足u=Tu+ξx,ξ≥0, 則‖u‖≠R.

則算子T有一個不動點u∈P, 且min{r,R}<‖u‖

定義函數(shù)空間E∶={u|u: [0,T+2]→}, 則E按范數(shù)構(gòu)成Banach空間.

引理2設(shè)ω為問題

(2)

的解, 其中m: [2,T]→[0,∞)為函數(shù), 且則

ω(t)≥?！亍辯(t),t∈[2,T],

(3)

其中

(4)

證明: 通過計算可得

其中格林函數(shù)

(5)

(6)

1) 當(dāng)t,t0≤s時, 有

2) 當(dāng)t≤s≤t0時, 有

3) 當(dāng)s≤t≤t0時, 有

4) 當(dāng)t0≤s≤t時, 有

引理3設(shè)函數(shù)g: [2,T]→[0,∞), 且u滿足

(11)

(12)

證明: 設(shè)ω0(t)∈E為問題

(13)

的唯一解, 則由引理2知

令v(t)=u(t)-ω0(t),v(τ)=‖v‖∞,τ∈[2,T], 且滿足下列假設(shè)之一:

(ii) 當(dāng)Δ3u(T-1)=0時, Δ2u(T)≤2Δu(0);

(iii) 當(dāng)Δ3u(T-1)<0時, Δ3u(T-1)≤Δ2u(T)≤2Δu(0).

則由v(t)滿足

(15)

v(t)≥?！瑅‖∞q(t),t∈[2,T].

(16)

根據(jù)式(14),(16)和v(t)=u(t)-ω0(t), 有

故式(12)成立.證畢.

3 定理1的證明及應(yīng)用

(18)

(19)

其中

(20)

(21)

根據(jù)Lebesgue控制收斂定理知u∈E, 即A:E→E.定義E上的錐P為

(22)

不難驗證,P為E上的有序非負(fù)錐.對任意的u∈P, 由定理中條件3)和引理3可知Aλ(P)?P.下面證明算子Aλ:P→P全連續(xù).

沙溝一旦發(fā)生大規(guī)模泥石流災(zāi)害，其威脅對象主要為溝口南川區(qū)金山鎮(zhèn)金獅村四社集中居民點，威脅金獅村小學(xué)、昆達(dá)農(nóng)業(yè)有限公司和居民住戶共161戶604人的生命及財產(chǎn)安全。為此，研究沙溝泥石流的形成因素、物理力學(xué)特征參數(shù)和可能發(fā)生的危險性，針對該泥石流的特征，提出工程治理措施對保障人民群眾生命財產(chǎn)安全，意義重大。

1) 證明算子Aλ:P→P連續(xù).

設(shè){vn}∈E， 使得vn→v在P上成立.令un=Aλvn,u=Aλv.固定t,s∈[2,T], 定義

滿足

(24)

且存在一個常數(shù)N, 使得|H′(z)|≤N.由中值定理可知|Gγvn(t,s)-Gγv(t,s)|≤N|γvn-γv|.

因此Aλ:P→P連續(xù).

2) 證明算子Aλ:P→P全連續(xù).

事實上, 對任意的v∈P, 有

(26)

即算子A為有界算子.因為E為有限維空間, 所以Aλ:P→P全連續(xù).

(27)

(28)

① 存在rλ>0, 使得當(dāng)u∈P,u=θAλu,θ∈[0,1]時, 有‖u‖∞≠rλ.

反設(shè)當(dāng)u∈P滿足u=θAλu,θ∈(0,1]時, 有‖u‖=rλ.則

(29)

由式(21),(28)可知

(30)

因此

從而

(32)

(33)

即‖u‖∞≠rλ.注意到當(dāng)λ→0時,rλ→∞.

② 存在Rλ>rλ, 使得當(dāng)u=Aλu+ξ,ξ≥0時, 有‖u‖∞≠Rλ.

(34)

且式(27)成立, 所以有

(35)

(36)

(37)

其中s∈[3,T-1]=∶I1,I2=[2,T]I1.

由于

(38)

因此根據(jù)式(35),(37),(38)有

即

(40)

由式(36)可知, 當(dāng)‖u‖∞→∞時, 不等式(40)的左邊趨于∞, 而λ為給定的常數(shù), 因此‖u‖∞

例1考慮四階離散邊值問題：

(41)

其中h(t)=t∈[2,8],易驗證

成立.滿足定理1中條件1)～3).因此由定理1可知, 存在一個參數(shù)λ0>0, 使得當(dāng)0<λ<λ0時, 問題(41)有一個正解uλ, 且當(dāng)λ→0+時,uλ→∞在[2,8]上一致成立.