F1格范疇的表現(xiàn)定理

張立國(guó)

(沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110159)

0 引言

完全分配格是經(jīng)典格論的重要研究對(duì)象，對(duì)其結(jié)構(gòu)的討論一直是熱點(diǎn)問題.無論是連續(xù)的DCPO理論[1-5]，還是Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)都對(duì)其做出過相關(guān)的研究[6-9].超分子作為完全分配格的刻劃工具，文獻(xiàn)[1]對(duì)超分子集SM(L)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論，發(fā)現(xiàn)當(dāng)完全分配格的每個(gè)元素都具有唯一的極小集時(shí)，它的分子集M(L)的序是離散的.本文在此基礎(chǔ)上研究這類完全分配格(即F1格)性質(zhì)，構(gòu)造F1格范疇CD*，討論該范疇對(duì)象的結(jié)構(gòu)與態(tài)射的性質(zhì)，并證明它的表現(xiàn)定理，為連續(xù)格理論和Fuzzy拓?fù)鋵W(xué)的后續(xù)研究奠定基礎(chǔ).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)L是完全分配格，M(L)表示L的分子集.若a∈L，以β(a)表示a的最大極小集，β*(a)=β(a)∩M(L).可以證明a是分子當(dāng)且僅當(dāng)β*(a)是定向集.眾所周知L是完全分配格，則M(L)是連續(xù)的DCPO.

2 范疇CD*的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)

定義1 設(shè)L是完全分配格，若L的每個(gè)元素都有唯一的極小集，稱L為F1格.

定義2[8]設(shè)L1，L2是完全分配格，映射f：L1→L2被稱為廣義序同態(tài).如果f滿足如下條件：

1)f(a)=0當(dāng)且僅當(dāng)a=0；

2)f有保并的右伴隨.

定義3 以F1格為對(duì)象，以廣義序同態(tài)為態(tài)射的范疇，稱為F1格范疇，記作CD*.

命題1 設(shè)L為F1格，則M(L)的序是離散的，從而β*(a)={a}(其中a∈M(L))

證明只需證，若a、b∈M(L)，且a≠b，則a與b不可比.

由于b∈M(L)，則?x∈β*(b)，必有∨[β*(b)(〗x}]≠b(否則：若∨[β*(b)(〗x}]=b.由于β*(b)(〗x}?β*(b)，于是β*(b)(〗x}可以加細(xì)β*(b)，因此β*(b)(〗x}是b的極小集.根據(jù)已知條件可得β*(b)(〗x}=β*(b)，矛盾)，故b?β*(b).

若a(〗a}]=b.又因a∈β*(b)，故∨[β*(b)(〗a}]≠b矛盾，因此a≤/b.

同理可證a≥/b，即a與b不可比，從而β*(a)={a}.

命題2 設(shè)L為F1格，則L?2M(L).

證明設(shè)f是L到2M(L)的映射，即?a∈L，f(a)=β*(a).由L的性質(zhì)可知，f是映射，故只需證明f為同構(gòu)映射.

若a、b∈L，且a≠b時(shí)，則β*(a)≠β*(b)，從而f(a)≠f(b)，即f為單射.

若A∈2M(L)，則∨A∈L，從而f(∨A)=A.事實(shí)上，x∈A，則∨A>x.由前面證明可知x∈β*(∨A)=f(∨A)，從而A?β*(∨A)=f(∨A)，因此A是∨A的極小集.由于∨A有唯一的極小集，所以A=β*(∨A)=f(∨A)，即f為滿射.

若a、b∈L，且a

綜上所述，L?2X.

由命題1和命題2可得如下結(jié)論.

命題3 設(shè)L為F1格，則存在集合X使得L?2X，且|M(L)|=|X|.

任給集合X，令2X={A|A?X}.按包含序2X是偏序集.由于其滿足完全分配律，故2X為完全分配格，分子集為M(2X)={{x}|x∈X}.而2X的每個(gè)元素A都有唯一的極小集{{x}|x∈A}，因此2X為F1格.顯然有如下結(jié)論.

命題4 設(shè)X為集合，則2X是F1格，且X?M(2X).

定義4 以集合X為對(duì)象，以單射為態(tài)射的范疇，稱為集合范疇，記作Set*.

命題5 設(shè)L1、L2是F1格，若f：L1→L2是廣義序同態(tài)，則T(f)=f|M(L1)：M(L1)→M(L2)為單射(其中f把分子映射成分子).

證明設(shè)a∈M(L1)，f(a)≤b∨c，則a≤g(b∨c)=g(b)∨g(c)(其中g(shù)為f的右伴隨)，從而a≤g(b)或a≤g(c)，因此f(a)≤b或f(a)≤c.由于a≠0，可知f(a)≠0，所以f(a)∈M(L2)，所以f(a)∈M(L2).

若x、y∈M(L1)，f(x)≠f(y)，則f(x)∧(y)=f(x∧y)=0.由于f是廣義序同態(tài)，因而x∧y=0，從而x≠y，因此f為單射.

命題6 設(shè)L1、L2是F1格，若f：M(L1)→M(L2)是單射，若a∈L1，令L(f)(a)=∨L2{f(x)|x∈M(L1)，且x≤a}，則L(f)：L1→L2是廣義序同態(tài)，且L(f)|M(L1)=f.

證明(1)設(shè)a、b∈L1，a≤b.若x∈M(L1)，x≤a，則x≤b，因而{f(x)|x∈M(L1)，且x≤a}?{f(x)|x∈M(L1)，且x≤b}，從而∨L2{f(x)|x∈M(L1)，且x≤a}≤∨L2{f(x)|x∈M(L1)，且x≤b，即L(f)(a)≤L(f)(b)，故L(f)為序同態(tài).

(2)設(shè)a、b∈L1，a≠b，則{x∈M(L1)|x≤a}≠{x∈M(L1)|x≤b}.由于f為單射，故{f(x)∈M(L2)|x≤a}≠{f(x)∈M(L2)|x≤b}.據(jù)命題1可知，∨L2{f(x)∈M(L2)|x≤a}≠∨L2{f(x)∈M(L2)|x≤b}，即L(f)(a)≠L(f)(b)，從而L(f)為單射，因此L(f)(a)=0當(dāng)且僅當(dāng)a=0.

(3)令L(f)*(b)=∨L1{y∈M(L1)|f(y)≤b}.若L(f)(a)≤b，則?x∈M(L1)且x≤a，都有f(x)≤b，從而x∈{y∈M(L1)|f(y)≤b}，因而x≤L(f)*(b)，故a≤L(f)*(b).反之，若a≤L(f)*(b)，據(jù)L(f)的保序性可得L(f)(a)≤b.故L(f)*是L(f)的右伴隨.

(4)設(shè)L(f)*為L(zhǎng)(f)的右伴隨.

(5)若a∈M(L1)，據(jù)命題1可知，{x|x∈M(L1)，且x≤a}={a}，因而∨L2{f(x)|x∈M(L1)，且x≤a}=f(a)，因此L(f)|M(L1)(a)=f(a).

綜上所述，L(f)為廣義序同態(tài)，且L(f)|M(L1)=f.

命題7 設(shè)X、Y為集合，若f：X→Y是單射，若A?X，令L(f)(A)={f(x)|x∈A}，則L(f)：2X→2Y是廣義序同態(tài)，且L(f)|X=f.

證明由命題3和命題6可證.

設(shè)L是F1格，令T(L)=M(L)，由命題1可知，M(L)∈ob(Set*).設(shè)f：L1→L2是廣義序同態(tài)，令T(f)=f|M(L1)，已經(jīng)證明f為廣義序同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)T(f)為單射，所以T是從范疇CD*到范疇Set*的函子.

設(shè)X是集合，令E(X)=2X，由命題3可知，2X∈ob(CD*).設(shè)f：X→Y是單射，令E(f)=L(f)：2X→2Y，即E(f)(A)=∪{f(x)|x∈A}(A∈2X)，已經(jīng)證明E(f)廣義序同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f為單射，所以E是從范疇Set*到范疇CD*的函子.

定理1 函子T是完全忠實(shí)函子.

(2)任取h∈HomSet*(T(L1)，T(L2))，由命題5可知存在L(h)∈HomCD*((L1，L2))，使得TL(h)=h，所以T為完全函子

定理2 函子E是完全忠實(shí)函子.

命題8[10]設(shè)C和D是范疇，F(xiàn)：C→D是函子，則下列條件等價(jià)：

(1)范疇C和D等價(jià)；

(2)函子F是完全忠實(shí)函子，并且任取B∈ob(D)，都存在A∈ob(C)，使得F(A)?B.

F1格范疇CD*的表現(xiàn)定理：

定理3 范疇CD*與范疇Set*等價(jià).

證明由命題3、定理1和命題8可證.

3 結(jié)束語

F1格是每個(gè)元素都有唯一的極小集的完全分配格，其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單.結(jié)合本文取得結(jié)論可以看到，F(xiàn)1格實(shí)為建立在經(jīng)典集合上的冪集格(按包含序)，而其上的廣義序同態(tài)與經(jīng)典集合之間單射相對(duì)應(yīng)等.這為從集合論的角度研究完全分配格提供新想法，也帶來新問題.

問題F1格上的廣義序同態(tài)是否為經(jīng)典集合之間單射所誘導(dǎo).