基于ARIMA 模型的美元匯率預測

蔣 奇，劉永文

（貴州大學經(jīng)濟學院，貴陽 550025）

匯率的預測準確度對外匯的持有者、依賴進出口貿易的企業(yè)、個人和企業(yè)的外匯交易行為等都有很大的影響。在科技不斷發(fā)展、統(tǒng)計分析技術不斷提高的背景下，時間序列模型被廣泛應用于經(jīng)濟領域中?；跁r間序列模型，在短期內可以很好擬合真實值，因此時間序列模型經(jīng)常被用來預測短期的數(shù)據(jù)走勢。

一、模型的理論

（一）AR（p）模型

如果一個時間序列{X}的當前值與過去p 個時刻的序列值之間的關系是線性的，即可以用過去p個時刻的序列值來表示，則稱這個線性過程為{X}的p 階自回歸方程用AR（p）表示。AR（p）模型的一般形式為：

其中，φ 為自回歸系數(shù)，p 為階數(shù)，ε為白噪聲序列，滿足零期望E（ε）=0，同方差Var（ε）=σε，且無自相關Cov（ε，ε）=0，t≠s。

與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問題，自回歸的特征方程為：

如果特征方程的所有根的絕對值都大于1，則AR（p）是一個平穩(wěn)的隨機過程。由此，p 階自回歸序列的平穩(wěn)性條件為：

（二）MA（q）模型

如果序列{X}的當前值可以用現(xiàn)在干擾值和過去q階干擾值線性表示，則稱為q 階移動平均過程MA（q）模型。MA（q）模型的一般形式為：

其中，θ 為回歸系數(shù)，{ε}為白噪聲序列。

MA（q）的特征方程為：

如果這個特征方程的全部根絕對值都大于1，即|z|＞1，這個條件成為移動平均過程的可逆性條件。

（三）ARIMA 模型

ARIMA 模型又稱自回歸積分移動平均模型，當時間序列本身不是平穩(wěn)的時，考慮其差分ΔX=X-X=（1-L）X，可以將{X}看成是平穩(wěn)的序列。

ARIMA（p，d，q）模型表示為：

以上模型就是最簡單的ARIMA 模型，可視為經(jīng)過d 階差分后再把AR（p）和MA（q）兩個模型綜合而成。

二、實證分析

本文數(shù)據(jù)均選自于國家外匯管理局2020 年8 月20 日至2020 年12 月31 日的91 個日數(shù)據(jù)。

（一）平穩(wěn)性檢驗

首先，我們對原序列進行ADF 檢驗，結果如表1。可以看出，原時間序列的t 統(tǒng)計量均大于1%、5%、10%水平下的臨界值，因此，原時間序列為不平穩(wěn)序列。

表1 原時間序列ADF檢驗結果

ARIMA 模型要求時間序列必須為平穩(wěn)的時間序列，我們要運用差分的方法對原始數(shù)據(jù)進行處理。依然對差分后的序列進行ADF 檢驗，結果如表2?？梢钥闯?，差分后的時間序列的t 統(tǒng)計量均小于1%、5%、10%水平下的臨界值，因此，差分后的時間序列為平穩(wěn)序列。

表2 差分后時間序列的ADF結果

（二）模型識別

原數(shù)列經(jīng)過一階差分后，變成了平穩(wěn)的時間序列，我們運用python 畫出一階差分序列的自相關圖和偏自相關圖（見圖1）。

圖1 自相關圖（上）和偏自相關圖（下）

具體的階數(shù)我們要運用AIC 準則。我們必須知道，自由參數(shù)的種類越多，模型擬合的質量就會越優(yōu)；AIC既要充分考慮到數(shù)據(jù)擬合的質量優(yōu)劣性，又必須要有效地避免過分擬合。因而首先選擇的模型必須是AIC值最小的。

本文使用python 中的pmdarima 庫中auto_arima函數(shù)，由函數(shù)自動為我們推薦最優(yōu)的預測模型。我們可以從表3 得出，AIC 值最低的是模型ARIMA（2，1，2），因此最好的模型為ARIMA（2，1，2）。

表3 模型階數(shù)和對應的AIC值

運用ARIMA（2，1，2）模型進行參數(shù)估計，分別得出了自回歸系數(shù)和移動平均系數(shù)（見表4）。

表4 參數(shù)估計結果

由表3 可以看出，常數(shù)項的p 值為0.018，在5%的水平下顯著；AR（1）、AR（2）、MA（1）、MA（2）對應的p值均為0，均為顯著性變量。因此我們建立的模型為：

（三）殘差檢驗

模型建立好后，需要進行殘差相關性和擬合性檢驗，結果如圖2。

由圖2 可知，殘差分布接近于正態(tài)分布，Q 檢驗接近于對角線，說明我們選取的模型擬合的較好，可以進行預測。

圖2 殘差直方密度分布（上）和殘差Q檢驗（下）

如圖3 所示，對時間序列的LB 檢驗可知，p 值均在0.05 以上，因此時間序列為白噪聲序列。

（四）結果預測

使用ARIMA（2，1，2）模型對2020 年12 月18 日至12 月31 日的匯率進行預測，結果如表5。

表5 模型預測結果

由表5 可以看出，模型預測值與實際值的誤差均在1%以內，說明我們的模型擬合比較準確；再者，我們從表4 中可以看出，盡管誤差均在1%以內，但是前五個工作日的誤差均值為0.569%，后五個工作日的誤差均值為0.758%，說明ARIMA 模型短期內預測誤差偏小、長期預測誤差偏大。

圖3 LB檢驗

結語

時間序列模型是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的波動特征來預測未來趨勢的一種方法，這種方法要求數(shù)據(jù)必須是平穩(wěn)的，對不平穩(wěn)的數(shù)據(jù)可以采用差分或者對數(shù)差分來使數(shù)據(jù)平穩(wěn)化。時間序列模型在金融領域上的應用十分廣泛，這得益于它更加簡便快捷，不需要太多的變量來刻畫原始數(shù)據(jù)的特征。建模過程中，p 和q 的階數(shù)是至關重要的，它們直接決定著最后預測的準確性。利用python中的pmdarima 庫中auto_arima 函數(shù)就可以避免產(chǎn)生這個問題。auto_arima 函數(shù)可以直接給你提供最適合的階數(shù)，本文的結論也驗證了auto_arima 函數(shù)推薦的模型預測很準確。用時間序列模型對匯率進行短期預測，有利于進出口企業(yè)的貿易開展，也能為國際投資者提供投資依據(jù)。