一個多翼憶阻超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析及混沌控制設(shè)計

全 旭，劉 嵩

(湖北民族大學(xué) 智能科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 恩施 445000)

1971年美國加州大學(xué)華裔教授蔡紹棠首次提出憶阻器元器件，該元件是一種非線性無源兩端口元件，與電阻、電感、電容等常規(guī)電路元件不同[1].2008年，惠普實驗室的研究人員首次制作出納米憶阻器的實物，驗證了蔡紹棠教授的猜想[2].憶阻器因其自身的記憶功能和非線性特性在混沌電路[3-4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5-6]、圖像加密[7-8]和同步控制[9]等方面有著廣闊的應(yīng)用前景，但目前尚未廣泛使用.由于憶阻器的非線性和記憶特性，作為混沌系統(tǒng)的反饋項，它可以產(chǎn)生復(fù)雜的非線性動力學(xué)現(xiàn)象，為憶阻混沌系統(tǒng)和憶阻超混沌系統(tǒng)的設(shè)計提供了新的發(fā)展空間.

近年來，對憶阻混沌系統(tǒng)控制方法的研究，引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，學(xué)者們以經(jīng)典控制理論[10]為基礎(chǔ)提出多種混沌控制方法：脈沖同步方法[11]、自適應(yīng)控制方法[12]、滑?？刂品椒╗13]、時滯反饋控制方法[14]、線性反饋控制方法[15]、非線性反饋控制方法[16]等.引入憶阻器后的混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為更加豐富[17-20]，需要根據(jù)所設(shè)計混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性，通過建模和仿真選擇對應(yīng)的控制方法，使混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號可從混沌態(tài)控制到周期態(tài)，也是現(xiàn)在混沌控制研究的一個熱點[21].

目前在構(gòu)造憶阻超混沌系統(tǒng)時，主要有以下兩種實現(xiàn)方法：一是用憶阻器作為反饋項引入混沌系統(tǒng)中產(chǎn)生超混沌吸引子[18].阮靜雅等[22]將二次型磁控憶阻器作為正反饋項構(gòu)建了Lorenz超混沌系統(tǒng).Ma等[23]通過在一個偽四翼系統(tǒng)中引入磁控憶阻器，并加入一項復(fù)合項，產(chǎn)生了真正的四翼超混沌吸引子.二是用憶阻器替代原電路的線性和非線性器件.閔富紅等[24]用一個雙曲型磁控憶阻器替換了蔡氏電路中的蔡氏二極管，又用一個同型的憶阻器與電路中的電阻串聯(lián)，產(chǎn)生了一個多穩(wěn)態(tài)超混沌吸引子.Zhou等[25]利用磁通控制的憶阻器代替改進的Lü系統(tǒng)電路中的電阻，產(chǎn)生了一個超混沌的多翼吸引子，但電路不易實現(xiàn).本文將一種二次型磁控憶阻器模型引入到文獻[26]提出的三維混沌系統(tǒng)，提出一種新的四階多翼憶阻超混沌系統(tǒng).然后，通過Multisim設(shè)計出相應(yīng)的仿真電路，驗證新混沌系統(tǒng)的正確性和可行性.最后，利用線性反饋法實現(xiàn)控制.

1 新混沌系統(tǒng)的構(gòu)建

將二次型磁控憶阻器[27]作為正反饋項引入到文獻[26]，提出的三維混沌系統(tǒng)的第1個方程，將流經(jīng)憶阻器的磁通表示為第4個狀態(tài)變量u，狀態(tài)變量y則為憶阻器兩端的電壓，其中引入正參數(shù)k為憶阻強度，可得到一個新的四維憶阻超混沌系統(tǒng)，它的系統(tǒng)模型如下：

(1)

其中a、b、c、d、h、k是系統(tǒng)參數(shù)，x、y、z、u為系統(tǒng)變量.W(u)為磁通憶阻器的數(shù)學(xué)模型，其表達式為：W(u)=α+βu2，式中正實數(shù)α和β為憶阻內(nèi)部參數(shù)，取α=1，β=0.02.

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)固定為a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1，且初始條件為(0.5,1,0.5,1)，憶阻超混沌系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的多翼超混沌吸引子，如圖1所示.由Wolf算法[28]計算得到的系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)為LE1=0.570 3,LE2=0.088 5,LE3=-0.095 7,LE4=-9.408 0，其中兩個指數(shù)大于零，兩個指數(shù)小于零，且Lyapunov維數(shù)為dL=3.059 8，顯然，系統(tǒng)(1)是超混沌的.

(a)x-y平面 (b) x-z平面

(c) y-z平面 (d) x-y-z圖1 系統(tǒng)(1)的吸引子相圖Fig.1 Attractor phase diagram of system (1)

特別地，該系統(tǒng)為多翼超混沌系統(tǒng)，對系統(tǒng)參數(shù)具有很高的敏感性，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時，吸引子對應(yīng)的翅膀數(shù)也會變化.在憶阻強度k取-0.12和-0.7時，系統(tǒng)(1)可以得到雙翼和三翼混沌吸引子，如圖2所示，可以看出系統(tǒng)(1)是在雙翼、三翼、四翼狀態(tài)下過渡.

(a)雙翼混沌吸引子x-y平面 (b)雙翼混沌吸引子x-z平面

(c)三翼混沌吸引子x-y平面 (d)三翼混沌吸引子x-z平面圖2 系統(tǒng)(1)的雙翼和三翼相圖Fig.2 Two wing and three wing phase diagrams of system (1)

2 系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

2.1 對稱性分析

由于系統(tǒng)(x,y,z,u)?(x,-y,-z,-u)，(x,y,z,u)?(-x,y,-z,-u)和(x,y,z,u)?(-x,-y,z,-u)的坐標(biāo)變換下系統(tǒng)還能保持不變，所以該系統(tǒng)分別關(guān)于x軸、y軸和z軸對稱，同時，這種對稱關(guān)系對系統(tǒng)所有的參數(shù)均成立.

2.2 耗散性分析

對于系統(tǒng)(1)有

(2)

說明系統(tǒng)(1)是耗散的，故當(dāng)t→∞時，包含系統(tǒng)(1)軌線的每個體積元都以指數(shù)形式從-10.5收縮到0，它的漸近動力學(xué)行為最終會被固定在吸引子上面，因此系統(tǒng)(1)存在超混沌吸引子.

2.3 系統(tǒng)的平衡點集和穩(wěn)定性

(3)

得到系統(tǒng)(1)的平衡點集為集合A={(x,y,z,u)|x=y=z=0,u=p}，其中p為實常數(shù)，即u坐標(biāo)上所有的點均為平衡點，系統(tǒng)存在無限的平衡點集.系統(tǒng)(1)在平衡點處Jacobi矩陣JA為

(4)

求得平衡點集A的特征方程為 -λ(-a-λ)(b-λ)(-d-λ)=0.

(5)

選取數(shù)值仿真時所采用的參數(shù)，在這里取平衡點p=0，可求解出Jacobi矩陣J的特征值分別為:λ1=0,λ2=a,λ3=b,λ4=-d.當(dāng)a=2.5、c=8、d=11時根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)，平衡點A是不穩(wěn)定的鞍點.

2.4 Poincaré截面

Poincaré截面分析是指在多維空間內(nèi)選取一個截面，當(dāng)Poincaré截面上的圖形是一定范圍內(nèi)的連續(xù)曲線或成片密集點的時候，運動狀態(tài)為混沌.當(dāng)a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1，初始值取(0.5,1,0.5,1)時，運用Matlab ODE23算法作為分析工具對式(1)進行求解，可得憶阻超混沌系統(tǒng)在截面y=0和z=0上的Poincaré截面，分別如圖3(a)和(b)所示.可以看出，Poincaré截面上形成了具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，且聚集點呈分形分布結(jié)構(gòu)，表明了圖1所示的多翼超混沌吸引子的存在.

(a) 狀態(tài)變量y的Poincaré截面 (b) 狀態(tài)變量z的Poincaré截面圖3 狀態(tài)變量y和z的Poincaré截面Fig.3 Poincaré section of state variable y and z

2.5 憶阻超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

系統(tǒng)(1)存在無限的平衡點集，因此新設(shè)計的憶阻超混沌系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)行為，比如周期、準(zhǔn)周期、正向倍周期分岔、切分岔、混沌危機、弱混沌、瞬時混沌、瞬時超混沌等動力學(xué)特征.為了進一步研究和分析新系統(tǒng)的超混沌動力學(xué)特性，固定參數(shù)a=2.5,b=3,c=8,d=11,k=-1.1,h=0.5和初始條件(0.5,1,0.5,1)，而參數(shù)a和k獨立可調(diào)，在這里借用Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等常規(guī)的動力學(xué)分析工具，對系統(tǒng)(1)隨著系統(tǒng)參數(shù)a、k變化的動力學(xué)行為進行研究.

1) 當(dāng)a∈(10,60)時，繪制系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和隨a變化的狀態(tài)變量x的分岔圖如圖4所示，可見a由0增加到10.27時，此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)a∈(10.27,14.60)時，第1根Lyapunov指數(shù)譜LE1交替穿過零線，LE2,3,4對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)均小于0，說明當(dāng)a增加時，系統(tǒng)的動力學(xué)行為在混沌與周期之間變化.當(dāng)a∈(14.60,23.94)時，系統(tǒng)在混沌-超混沌-周期-超混沌之間變化，其中在(15.61,15.72)和(16.07,16.17)等幾個有限時間區(qū)間里，如圖4(a)所示，系統(tǒng)具有2根正值Lyapunov指數(shù)譜，此時的系統(tǒng)處于瞬態(tài)超混沌狀態(tài).特別是a在16.73與17.60之間時，系統(tǒng)顯示有兩個周期窗.當(dāng)a∈(23.94,24.58)時，系統(tǒng)從超混沌狀態(tài)進入混沌狀態(tài).當(dāng)a=24.61時，系統(tǒng)從倍周期分岔進入混沌狀態(tài)，同時有弱混沌現(xiàn)象.在a>56.61之后，4個Lyapunov指數(shù)均小于0，結(jié)合圖4(b)的分岔圖分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的動力學(xué)隨a的演化從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)移為周期行為，并最終進入穩(wěn)定狀態(tài).

(a) 隨a變化的Lyapunov指數(shù)譜圖 (b) 隨a變化的狀態(tài)變量x的分岔圖圖4 隨系統(tǒng)參數(shù)a變化的超混沌動力學(xué)Fig.4 Hyperchaotic dynamics varying with system parameters a

2) 當(dāng)k∈(-1.5，1.5)時，步長為0.01，去除暫態(tài)部分1 000個點，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜及狀態(tài)變量y隨k變化的分岔圖如圖5所示.可見，Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖相吻合.當(dāng)參數(shù)k從-1.5開始，在參數(shù)k∈(-1.50，-1.42)時，結(jié)合圖5(b)的分岔圖進行分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)(1)在混沌-超混沌-混沌-超混沌狀態(tài)下來回切換；當(dāng)參數(shù)k=-0.09時，λ1對應(yīng)的第1根Lyapunov指數(shù)譜與零線相切，圖5(a)中對應(yīng)的4個Lyapunov指數(shù)分別為λ1=0.000 2,λ2=-0.012 2,λ3=-0.164 7,λ4=-10.270 0，其中有1個指數(shù)逼近于零，3個指數(shù)小于零，可以判斷此時系統(tǒng)以周期軌道運行，如圖6(a)所示.當(dāng)系統(tǒng)在k=1.5時，系統(tǒng)從混沌狀態(tài)過渡到弱混沌狀態(tài)，如圖6(b)所示.

(a) 隨k變化的Lyapunov指數(shù)譜圖 (b) 隨k變化的狀態(tài)變量y的分岔圖圖5 隨系統(tǒng)參數(shù)k變化的超混沌動力學(xué)Fig.5 Hyperchaotic dynamics varying with system parameters k

(a) k=-0.09時的相圖 (b) k=1.5時的相圖 圖6 系統(tǒng)(1)隨參數(shù)k變化的相圖Fig.6 Phase diagram of system (1) varying with parameter k

3 系統(tǒng)電路實現(xiàn)

3.1 電路設(shè)計

在超混沌系統(tǒng)應(yīng)用于工程應(yīng)用之前，用物理電路實現(xiàn)超混沌系統(tǒng)是非常重要的.系統(tǒng)(1)是通過如圖7所示的電子電路實現(xiàn)的.分別用C1、C2、C3、C4的電壓作為x、y、z、u.運算放大器LF347Ns和相關(guān)電路執(zhí)行加、減和積分的基本運算，如圖7中的U1、U2、U3、U4、U5.乘法運算由模擬乘法器AD633完成,如圖7中的A1、A2、A3、A4、A5、A6.通過Matlab仿真可得，當(dāng)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量作為運算放大器等器件電壓量時，其范圍會超出規(guī)定的線性動態(tài)范圍，故需要對系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量做比例壓縮變換.設(shè)kx→x,ky→y,kz→z，其中k為變量壓縮比例，設(shè)k=4，并將系統(tǒng)(1)進行時間尺度變換，尺度變換因子τ0=1 000.

圖7 系統(tǒng)(1)的模塊化電路設(shè)計Fig.7 Modular circuit design diagram of system (1)

新構(gòu)建的憶阻超混沌系統(tǒng)的電路狀態(tài)方程可寫成：

(6)

(7)

根據(jù)式(7)得系統(tǒng)(1)的運算放大器電路設(shè)計結(jié)果如圖7所示.

3.2 仿真結(jié)果

根據(jù)上述的電路方程在Multisim平臺上搭建運算放大器電路進行仿真驗證，通過比較式(6)和式(7)方程右側(cè)對應(yīng)的狀態(tài)變量系數(shù)，當(dāng)參數(shù)a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1時，計算得出各個元器件的數(shù)值為C1=C2=C3=C4=100 nF,R1=R6=R7=Ra=10 kΩ,R2=4 kΩ,R3=R5=0.25 kΩ,R4=3.33 kΩ,R8=0.03 kΩ,R9=0.91 kΩ,R10=2 kΩ,Rb=4 545.5 kΩ,Rc=90.91 kΩ，在調(diào)整步長等相關(guān)參數(shù)后，得到系統(tǒng)(1)的仿真圖如圖8所示.通過將圖8的電路仿真圖和圖1的相圖對比可得，運算放大器電路的仿真結(jié)果與前面的數(shù)值仿真結(jié)果基本一致，再次驗證了新系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性和正確性，后續(xù)可將該系統(tǒng)應(yīng)用到圖像加密和混沌控制設(shè)計等相關(guān)方面.

(a) x-y平面相圖 (b) x-z平面相圖

(c) y-z平面相圖 (d) x-u平面相圖圖8 系統(tǒng)(1)不同平面下的電路仿真圖Fig.8 Circuit simulation diagram of system (1) under different planes

4 系統(tǒng)的線性反饋控制設(shè)計

4.1 受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

為調(diào)試反饋控制的相關(guān)參數(shù)，先將系統(tǒng)(1)變換為

(8)

系統(tǒng)(8)加上線性反饋控制器后的數(shù)學(xué)模型為

(9)

其中a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1.s為控制參數(shù)，取s=-2.9可使混沌系統(tǒng)的軌道穩(wěn)定于平衡點.

4.2 受控系統(tǒng)的控制分析

固定系統(tǒng)參數(shù)a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1，控制參數(shù)s>0.504 7，取步長h=0.001，響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為x2(0)=0.001,y2(0)=0.001,z2(0)=0.001,u2(0)=0.001，驅(qū)動系統(tǒng)的初始值為(0.5,1,0.5,1)時，受控前隨時間變化的系統(tǒng)狀態(tài)變量x、y、z、u仿真圖如圖9(a)所示.加上線性反饋控制器后，系統(tǒng)狀態(tài)變量x、y、z、u隨時間變化的仿真圖如圖9(b)所示.可見，當(dāng)t接近2、2、40和50 s時，x(t)、y(t)、z(t)和u(t)分別穩(wěn)定到了0、0、0和常數(shù)P，此時的常數(shù)P為0.綜上可得，受控系統(tǒng)(9)被穩(wěn)定到平衡點O.

(a) 受控前系統(tǒng)運動 (b)受控后系統(tǒng)運動圖9 受控前后系統(tǒng)運動圖形Fig.9 System motion graphics before and after control

5 結(jié)語

將二次型磁控憶阻器引入三維混沌系統(tǒng)中，提出了一種新的多翼憶阻超混沌系統(tǒng).新的超混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生一個具有無限平衡特征的四翼超混沌吸引子，且新產(chǎn)生的混沌吸引子更加穩(wěn)定、可靠.然后從平衡點、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等方面綜合分析了該系統(tǒng)的動力學(xué)特性.并且驗證了新系統(tǒng)隨著控制參數(shù)的變化，存在多翼變換和瞬態(tài)超混沌行為.然后設(shè)計出該系統(tǒng)對應(yīng)的仿真電路圖，仿真結(jié)果和數(shù)值計算結(jié)果一致.最后，利用線性反饋控制方法實現(xiàn)了對該系統(tǒng)穩(wěn)定于平衡點的混沌控制.