時間分數(shù)階亞式期權(quán)定價高精度的顯-隱和隱-顯差分方法

謝萬姍,孫玉東

(1.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴陽 550025;2.貴州民族大學(xué) 政治與經(jīng)濟管理學(xué)院,貴陽 550025)

自股票期權(quán)交易產(chǎn)生以來,大量學(xué)者一直對期權(quán)定價問題進行研究,其中亞式期權(quán)是最早出現(xiàn)在日本東京的金融證券,由美國銀行家信托公司推出的衍生證券,其回報取決于一段時期標(biāo)的資產(chǎn)平均價格.在計算平均值方法上,可將它分為幾何平均亞式期權(quán)和算術(shù)平均亞式期權(quán),在這里著重研究算術(shù)平均亞式期權(quán).

最近幾年以來,關(guān)于期權(quán)定價的數(shù)值差分方法已有相關(guān)文獻進行研究.Alfredo Bermudez等[1]研究了高階拉格朗日-伽遼金方法求解得亞式期權(quán)的偏微分方程,并且利用迭代方法對其進行求數(shù)值解.Lin Yumin等[2]用有限差分方法和空間的Legendre譜方法考慮了時間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值解,主要是由標(biāo)準(zhǔn)擴散方程的一階時間導(dǎo)數(shù)替換為α階的分數(shù)階導(dǎo)數(shù).Cen Zhongdi等[3]提出了亞式期權(quán)定價[4]的數(shù)值差分方法,通過積分變換將空間變量從二維偏微分方程降維到一維的偏微分方程[5].Fischer S等[6]建立了Black-Scholes模型的期權(quán)定價,其中Black-Scholes模型的應(yīng)用促進了金融市場的不斷發(fā)展.但是Black-Scholes模型需要在很多假設(shè)條件下進行研究,由于這些假設(shè)條件太過理想與實際應(yīng)用不相符.對此,需要削弱這些假設(shè)條件才能促進Black-Scholes模型的發(fā)展.近年來,時間分數(shù)階Black-Scholes模型的推導(dǎo)有了一定的進步.Walter Wyss等[7]研究了時間分數(shù)階Black-Scholes模型.到目前為此,時間分數(shù)階Black-Scholes模型沒有解析解,不過在特定條件下可得出解析解,其形式復(fù)雜.在此,實際應(yīng)用中不能求解滿足期權(quán)定價的時效性要求.孫玉東等[8]針對分數(shù)階時變Black-Scholes模型[9]下算術(shù)平均亞式期權(quán),提出了隱式差分方法求解數(shù)值定價,進而采用不等式放大技術(shù)證明了差分格式的穩(wěn)定性及收斂性.Rhd Staelen等[10]研究了時間分數(shù)階型中雙障礙期權(quán)的數(shù)值定價,在時間上采用了時間分數(shù)階進行離散化,在空間上運用高精度[11]的有限差分方法進行離散化,結(jié)合傅里葉方法分析了該數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性.劉新龍等[12]證明了時間分數(shù)階擴散方程的顯-隱和隱-顯差分方法,該方法是基于古典顯式和古典隱式進行交叉運算所得,并用傅里葉方法分析了差分格式穩(wěn)定性與收斂性.

由于時間分數(shù)階Black-Scholes模型下數(shù)值差分方法研究相對較少,僅有孫玉東等研究了時間分數(shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價的數(shù)值解法,運用隱式差分方法得到了時間2-α階、空間2階精度的隱式差分格式.但隱式差分格式的誤差比較大,且計算速度也比較慢.本文主要研究時間分數(shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價的數(shù)值差分方法.通過有限差分方法的運用,構(gòu)造無條件穩(wěn)定、計算量較小和提高空間精度得到了高精度的顯-隱式差分格式和隱-顯式差分格式.同時結(jié)合傅里葉方法和數(shù)學(xué)歸納法證明差分格式的穩(wěn)定性及收斂性.通過數(shù)值模擬說明差分格式求解時間分數(shù)階Black-Scholes模型是可行的.

1 時間分數(shù)階亞式期權(quán)

(1)

其中T為到期日,E為執(zhí)行價格.這個二維偏微分方程是一個退化拋物型問題.在計算流體動力學(xué)中,對流項的標(biāo)準(zhǔn)中心差分方法會產(chǎn)生虛假振蕩.

由于式(1)是計算量較大的二維偏微分方程,需要將它變?yōu)橐痪S偏微分方程,則變量變換[13]：

x=(E-I/T)/S,C(t,S,I)=SV(t,x).

(2)

利用式(2)將式(1)轉(zhuǎn)換為一維空間變量的偏微分方程：

當(dāng)I≥ET時,可得亞式期權(quán)的邊值條件：

(3)

通過式(2)將式(3)變換得

(4)

已知C(t,S,I)=SV(t,x)可得V(t,x)是亞式期權(quán)價格的解.

通過U(τ,x)=V(T-τ,x)將時間分數(shù)階亞式期權(quán)的偏微分方程變換得

(5)

2 高精度的顯-隱差分格式的構(gòu)造

結(jié)合文獻[12]的差分方法,構(gòu)造一種時間分數(shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)高精度的顯-隱式差分格式,主要在時間變量和空間變量上進行差分離散化.接下來,對式(5)的時間變量和空間變量進行等距網(wǎng)格劃分,不妨令：τj=jΔt,j=0,1,2,…,N,xi=ih,i=0,1,2,…,M,其中Δt=T/N和h=X/M分別表示時間步長與空間步長,為了提高精度選擇中心差分格式對空間變量進行離散化.進一步,對空間變量進行顯式高精度的一階中心差分和二階中心差分離散化:

(6)

(7)

再對空間變量進行隱式高精度的一階中心差分和二階中心差分離散化:

(8)

(9)

其中差分算子表達式:

在點(τj,xi)算術(shù)平均亞式期權(quán)的主方程式:

(10)

為了構(gòu)造式(5)的差分格式,先將式(6)和式(7)代入式(10)得高精度的古典顯式差分格式:

(11)

再將式(8)和式(9)代入式(10)得高精度的古典隱式差分格式:

(12)

(13)

(14)

其中：d=Δt-α/Γ(2-α),mk=(k+1)1-α-k1-α,接著忽略截斷誤差,并構(gòu)造時間分數(shù)階Black-Scholes模型下高精度的顯-隱式差分格式.

奇數(shù)層上，將式(13)和式(14)代入式(11)，且偶數(shù)層上，將式(13)和式(14)代入式(12)，可得高精度的顯-隱式差分格式：

(15)

(16)

3 高精度的顯-隱差分格式的理論分析

采用文獻[18-19]中的傅里葉方法和數(shù)學(xué)歸納法,從兩個方面來對高精度的顯-隱式差分格式進行理論分析.一方面證明高精度的顯-隱式差分格式的穩(wěn)定性.另一方面證明高精度的顯-隱式差分格式的收斂性.

3.1 高精度的顯-隱式差分格式的穩(wěn)定性

(17)

其中參數(shù)表示：

基于式(17)分析差分格式的唯一解:

當(dāng)｀a<0,｀b>0,｀c<0且滿足｀b-|｀a+｀c|>0時,則矩陣G1是嚴格對角占優(yōu)矩陣;當(dāng)|G1|≠0時,G1是可逆矩陣,則系數(shù)矩陣G1為非奇異矩陣.

當(dāng)a′>0,b′<0,c′>0時,且有|G2|≠0,則系數(shù)矩陣G2是可逆矩陣,且G2又為非奇異矩陣,故格式解存在唯一解.

定理1在時間分數(shù)階Black-Scholes模型下,算術(shù)平均亞式期權(quán)高精度的顯-隱式差分格式(15)～(16)存在唯一解.

引理1通過函數(shù)m(x)=x1-α(x≥1)的性質(zhì),從而得到以下的結(jié)論[12]:

定理2在時間分數(shù)階Black-Scholes模型下,算術(shù)平均亞式期權(quán)高精度的顯-隱式差分格式(15)～(16)關(guān)于范數(shù)無條件穩(wěn)定.

已知exp(±iλh)=cosλh±isinλh,變換后為

(18)

其中C是任意的正常數(shù).

當(dāng)s=2j時,可假設(shè)|μ2j|≤C|μ0|成立,其中C是任意的正常數(shù).

因此,|μ2j+1|≤C|μ0|,其中C是任意的正常數(shù).

3.2 高精度的顯-隱式差分格式的收斂性

對ξj(x)和Rj(x)進行傅里葉方法展開得

當(dāng)s=1時,結(jié)合高精度的顯-隱式差分格式的式(15),可得

其中C是任意的正常數(shù).

4 高精度的隱-顯式差分格式

結(jié)合高精度的顯-隱式差分方法,類似地構(gòu)造一種時間分數(shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)高精度的隱-顯式差分方法.在奇數(shù)層上將式(13)和式(14)代入式(12)和偶數(shù)層上把式(13)和式(14)代入式(11),再進行差分算子離散化,可得時間分數(shù)階Black-Scholes模型下高精度的隱-顯式差分格式:

(19)

(20)

根據(jù)高精度的顯-隱式差分格式的理論分析,同理可得高精度的隱-顯式差分格式的理論證明,則高精度的隱-顯式差分格式的定理如下.

5 數(shù)值模擬

運用R軟件對高精度的顯-隱式差分格式進行數(shù)值模擬,既驗證差分格式的可行性,又對亞式期權(quán)進行價值分析.根據(jù)表1中的參數(shù),繪制股票價格與亞式期權(quán)價格的變化曲線圖,并計算亞式看漲期權(quán)價格.在到期日T下,根據(jù)不同參數(shù)α(α=1/3、1/2、2/3、1)繪制股票價格與期權(quán)價格的變化趨勢圖(圖1),在參數(shù)α下,取不同的到期日T計算亞式看漲期權(quán)的價格.

表1 模擬參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

(a) α=1/3 (b) α=1/2(c) α=2/3 (d) α=1圖1 不同股票價格S下亞式期權(quán)的價格UFig.1 The Asian option price U with different stock price S

由表2表明,當(dāng)參數(shù)α=1/3和α=1/2時,亞式期權(quán)的價格是隨著到期日的增加而減少;當(dāng)參數(shù)α=2/3和α=1時,到期日T增加亞式期權(quán)的價值也在逐漸遞增.由圖1可知,當(dāng)參數(shù)α=1/3和α=1/2時,股票價格處于2～6之間,到期日T=1的期權(quán)價值大于其他到期日T的期權(quán)價值;當(dāng)參數(shù)α=2/3和α=1時,股票價格處于6以前,隨著到期日T的增加期權(quán)價值也在逐漸增加,股票價格處于6以后,隨著到期日T的增加期權(quán)價值逐漸趨近于零.其中股票價格處于2以前,到期日T=1的期權(quán)價值小于其他到期日T的期權(quán)價值.

在時間節(jié)點N固定的情況下,差分格式在空間變量上的收斂精度為

由表3和表4,可看出時間的收斂精度在2-α附近、空間的收斂精度在4附近,驗證了定理3的結(jié)果.

表3 M=10情形下的誤差εN|M和收斂速度RN|MTab.3 Error εN|M and rate RN|M of convergence in the case of M=10

表4 N=10情形下的誤差εM|N和收斂速度RM|NTab.4 Error εM|N and rate RM|N of convergence in the case of N=10

根據(jù)以上分析可知,時間分數(shù)階Black-Scholes模型的變化趨勢與標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型是一致的，可見時間分數(shù)階Black-Scholes方程解決此類問題是可行的.時間分數(shù)階Black-Scholes模型價格高于標(biāo)準(zhǔn)的Black-Scholes模型價格,時間分數(shù)階Black-Scholes模型比整數(shù)階更適合金融市場,其中時間的收斂精度在2-α附近、空間的收斂精度在4附近,其收斂階為O(Δt2-α+h4).因此,數(shù)值模擬的結(jié)果與理論分析相符,該差分方法解決此類問題是可行的.

6 結(jié)語

研究了時間分數(shù)階Black-Scholes模型下算術(shù)平均亞式期權(quán)定價的數(shù)值差分方法.首先,通過積分變換和右Riemann-Liouville微分得出了時間分數(shù)階亞式期權(quán)的偏微分方程.其次,對高精度的古典顯式差分格式和古典隱式差分格式進行交叉運用得到了高精度的顯-隱式差分格式.再次,結(jié)合傅里葉方法和數(shù)學(xué)歸納法分析了高精度的顯-隱式差分格式的穩(wěn)定性和收斂性,其收斂階為O(Δt2-α+h4).然后,根據(jù)高精度的顯-隱式差分方法,同理可得高精度的隱-顯式差分方法以及它的理論分析.最后,在R軟件中分析的數(shù)值模擬結(jié)果和理論分析相符,時間的精度在2-α附近收斂、空間的精度在4附近收斂,說明了差分方法求解時間分數(shù)階Black-Scholes模型是可行的.在相同的Black-Scholes模型下,本文研究的方法對其他類型的時間分數(shù)階期權(quán)依然可進行研究,也可進一步研究其他數(shù)值方法,使其能夠在實際應(yīng)用和理論意義中發(fā)揮作用.