對(duì)兩道圓錐曲線問(wèn)題的探究

高繼浩

(四川省名山中學(xué) 625100)

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程；

題2F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn),線段PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M,且|PQ|=6,則|MF|=____.

題1是北京市昌平區(qū)于2021年1月進(jìn)行的高三期末質(zhì)量抽測(cè)第20題,題2是山東省德州市于2021年1月進(jìn)行的高三期末統(tǒng)一測(cè)試第16題,兩題高度相似,它們有沒(méi)有相同的本質(zhì)？

2 問(wèn)題解答

題1(2)解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程y=k(x-1)與橢圓方程聯(lián)立,消去y，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

則Δ=144(1+k2)>0,且

(1)若k=0,則|AB|=4,|DF|=1.

(2)若k≠0,則線段AB的垂直平分線方程為

題2解析設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，將直線l的方程y=k(x-1)與拋物線方程聯(lián)立,消去y，得

k2x2-(4+2k2)x+k2=0.

即k2=2.

故線段PQ的垂直平分線方程為

3 問(wèn)題推廣

下證命題2,命題1和命題3同理可證,略.

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),雙曲線的半焦距為c,直線AB的方程為y=k(x-c),聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程,消去y得

(b2-a2k2)x2+2a2ck2x-a2(b2+c2k2)=0.

(1)若k=0,則|AB|=2a,|EF|=c.

由以上命題及圓錐曲線的對(duì)稱性,我們可得如下統(tǒng)一結(jié)論.

4 變式探究

在上述結(jié)果中,隨著直線傾斜角的變化,線段EF的長(zhǎng)度在發(fā)生變化,它們之間存在怎樣的關(guān)系？

只證命題5,命題4和命題6同理可證.

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),雙曲線的半焦距為c,直線AB的方程為y=k(x-c).

(1)若k=0,則|EF|=c.