基于Timoshenko 梁理論的鋼-混組合梁動(dòng)力剛度矩陣法

孫琪凱，張 楠，劉 瀟

(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

鋼-混組合梁因其自重較輕、承載力高、剛度大等優(yōu)點(diǎn)而得到了越來越廣泛的應(yīng)用。常見的鋼-混組合梁結(jié)構(gòu)形式是由柔性剪力鍵連接鋼梁和混凝土子梁而成，這種結(jié)構(gòu)既能發(fā)揮鋼材受拉又能發(fā)揮混凝土受壓的材料特點(diǎn)[1-3]。

鋼-混組合梁的動(dòng)力學(xué)研究已比較常見[4-7]。早期，基于Euler-Bernoulli 梁理論，Girhammar 等[8]推導(dǎo)了考慮界面剪切滑移效應(yīng)的鋼-混組合梁的運(yùn)動(dòng)平衡微分方程，指出了界面剪切滑移效應(yīng)對(duì)組合梁自振頻率的折減效應(yīng)是不容忽視的。Huang 和Su[9]提出了影響組合梁頻率折減量的兩個(gè)無量綱參數(shù)，組合連接系數(shù)和上下層截面抗彎剛度比。Wu 等[10]推導(dǎo)了梁端軸力作用下組合梁自振頻率計(jì)算公式，以簡(jiǎn)支梁為參考，給出了懸臂、簡(jiǎn)支-固支和固支-固支等三種典型邊界條件下自振頻率的近似表達(dá)式。侯忠明等[11-12]提出了“動(dòng)力折減系數(shù)”的概念，包括“剛度折減系數(shù)”和“頻率折減系數(shù)”兩部分。從理論和實(shí)驗(yàn)的角度討論了“動(dòng)力折減系數(shù)”隨剪力鍵剛度的變化規(guī)律。孫琪凱等[13]從能量法的角度給出了有限元計(jì)算公式，可用于分析軸向變抗彎剛度的鋼-混組合梁的動(dòng)力特性。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁的低階頻率的分析，Euler-Bernoulli梁理論計(jì)算精度一般可以滿足工程要求。但是，對(duì)于短粗梁或者進(jìn)行高階頻率分析時(shí)，如果繼續(xù)忽略鋼-混組合梁剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，則計(jì)算誤差會(huì)增大，不再滿足工程要求。因此，部分學(xué)者[14-17]將Timoshenko 梁理論用于組合梁動(dòng)力分析。Xu 等[14]推導(dǎo)了Timoshenko組合梁運(yùn)動(dòng)微分方程，說明了組合梁動(dòng)力分析時(shí)，剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不可忽略的。Lin等[15-16]給出了剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，從有限元法的角度求解了組合梁的動(dòng)力性能。以上研究中雖然考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，但是均假設(shè)混凝土子梁與鋼梁的轉(zhuǎn)角相等，這與組合梁的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不符的。因?yàn)榛炷磷恿号c鋼梁的剪切角與各自的剪切模量有關(guān)，而兩者的剪切模量具有很大的差異。Nguyen 等[17]給出了考慮混凝土子梁和鋼梁剪切角不同時(shí)的組合梁運(yùn)動(dòng)微分方程，得到了頻率解析解。說明了當(dāng)假設(shè)子梁轉(zhuǎn)角相同時(shí)，組合梁的剪切剛度被高估，造成計(jì)算所得頻率仍然高于實(shí)際頻率。但是該計(jì)算模型中忽略了考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，且無法分析沿梁軸向變抗彎剛度的鋼-混組合梁的動(dòng)力性能[13]。

動(dòng)力剛度矩陣法在無滑移的組合梁結(jié)構(gòu)分析中得到了廣泛的應(yīng)用[18-20]。該方法推導(dǎo)過程中沒有引入力或位移形函數(shù)，因此是精確解而非近似解。由于可以采用與靜力剛度法類似的方式組裝動(dòng)力剛度矩陣，因此，可被用于分析沿梁軸向變抗彎剛度的組合梁的動(dòng)力特性。目前在考慮剪切滑移的組合梁動(dòng)力分析方面，Li 等[21]、Bao 等[22]和Sun 等[23]學(xué)者給出了基于Euler-Bernoulli 梁理論的鋼-混組合梁的動(dòng)力剛度矩陣。如前所述，其無法滿足高階振型和短粗梁的頻率分析要求。Wang 等[24]基于Timoshenko 梁理論及子梁等轉(zhuǎn)角假設(shè)給出了6 個(gè)自由度的鋼-混組合梁的動(dòng)力剛度矩陣。子梁等轉(zhuǎn)角假設(shè)過高的估計(jì)了結(jié)構(gòu)的剪切剛度，造成頻率計(jì)算結(jié)果仍然偏大。

本文基于Timoshenko 梁理論提出了用于分析鋼-混組合梁動(dòng)力特性的動(dòng)力剛度矩陣法。該方法中，假設(shè)混凝土子梁和鋼梁具有獨(dú)立的剪切角，其大小與各自的剪切模量相關(guān)。該假設(shè)更加符合鋼-混組合梁的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而具有更高的計(jì)算精度。而且由于矩陣推導(dǎo)過程中沒有使用力場(chǎng)或位移場(chǎng)近似形函數(shù)，因此計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的。最后，采用本文提出的方法分析了不同跨高比、剪力鍵剛度時(shí)，剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)鋼-混組合梁自振頻率的影響。

1 運(yùn)動(dòng)微分方程

1.1 基本假設(shè)

圖1 鋼-混組合梁構(gòu)造圖Fig. 1 Structural drawing of steel-concrete composite beam

本文中基于Timoshenko 梁理論分析鋼-混組合梁的動(dòng)力特性時(shí)，基本假設(shè)如下：

1) 本文只研究鋼-混組合梁平面內(nèi)的彎曲振動(dòng)，且基于小變形假設(shè)。

2) 混凝土子梁和鋼梁的剪切角是獨(dú)立的。

3) 混凝土子梁和鋼梁之間可以沿水平向相對(duì)滑動(dòng)，而不能豎向掀起脫離。

4) 鋼混結(jié)合面上的剪力全部由剪力鍵承擔(dān)，且剪切滑移量與剪力鍵承受的剪力成正比關(guān)系，剪力鍵可以等效為連續(xù)分布的彈簧，剪力鍵的等效剪切剛度為K。

1.2 建立運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)以上假設(shè)，混凝土子梁與鋼梁之間的剪切滑移量ucs(圖2)可以表示為：

圖2 剪切滑移量示意圖Fig. 2 Schematic diagram of shear slip

式中：uc、us分別為混凝土子梁和鋼梁中性軸處的軸向位移；θc、θs分別為混凝土子梁和鋼梁的截面轉(zhuǎn)角。

由Hamilton 原理，鋼-混組合梁的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題可以表示為如下：

式中，T、U和Ucs分別為結(jié)構(gòu)的動(dòng)能、應(yīng)變能和界面剪切滑移勢(shì)能。

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此，動(dòng)能T為：

式中，w為結(jié)構(gòu)的豎向位移。應(yīng)變能U為：

界面剪切滑移勢(shì)能Ucs為：

把式(3)～式(5)代入式(2)，并進(jìn)行變分，可得鋼-混組合梁的運(yùn)動(dòng)方程式：

式中，W、Ucs、Θs和Θc為相應(yīng)的振型函數(shù)；ω為結(jié)構(gòu)的自振頻率；φ為初始相位角。

把式(8)代入式(6)，可得：

聯(lián)立式(9)中的四個(gè)式子，可以得到組合梁運(yùn)動(dòng)微分方程的最終形式：

式中：

2 動(dòng)力剛度矩陣法

式(10)為8 階常微分方程，其特征方程為：

式(11)是一個(gè)一元四次方程，由費(fèi)拉里法可以獲得方程的四個(gè)根，如下所示：

式中，Ai、Bi、Ci和Di為振型待定系數(shù)。把式(14)代入式(9)可得待定系數(shù)之間的關(guān)系如下：

式中：

式中：

由式(14)可得，位移向量ue與待定系數(shù)向量a之間的關(guān)系，如下：

把式(14)～式(16)代入式(7)，可得力向量pe與待定系數(shù)向量a的關(guān)系式，如下：

式中：

由式(17)和式(18)可得：

在中國(guó)古代兩件事最為重要，一是祭祀，一是戰(zhàn)爭(zhēng)。祭祀排在戰(zhàn)爭(zhēng)的前面，因?yàn)橹挥屑漓氩拍塬@得神靈的佑助，而能不能獲得神靈的佑助是部落能不能得到發(fā)達(dá)的根本。從文獻(xiàn)資料，中國(guó)遠(yuǎn)在堯舜禹三帝之時(shí)，就已經(jīng)有以樂舞祭神的形式了。而實(shí)物的佐證就是良渚出土了玉鉞。良渚時(shí)代當(dāng)是大早于禹的堯舜時(shí)代，有學(xué)者甚至認(rèn)為，良渚部落就是大舜的部落。從良渚反山發(fā)掘的十幾座古墓來看，每墓出土玉鉞只有一件，可見它極為珍貴。

式中，Ke=Me即為鋼-混組合梁的8 自由度動(dòng)力剛度矩陣。

按照與靜力剛度法相同的過程，組裝動(dòng)力剛度矩陣，構(gòu)建整體剛度矩陣Kg，則有：

式中，pg和ug為整體力向量和整體位移向量。

工程中常見的邊界條件有：自由(F)、簡(jiǎn)支(S)和固支(C)三種，對(duì)應(yīng)的邊界條件為：

圖3 給出了計(jì)算組合梁自振特性時(shí)的流程圖。

圖3 動(dòng)力剛度矩陣法計(jì)算流程圖Fig. 3 Calculation flow chart of dynamic stiffness matrix method

3 算例分析

3.1 理論驗(yàn)證

采用文獻(xiàn)[13]中的鋼-混組合實(shí)驗(yàn)梁2 對(duì)本文中的理論進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)構(gòu)尺寸見圖4 所示。實(shí)驗(yàn)梁2 的橫截面是由1700 mm×300 mm 的矩形混凝土子梁和550 mm×450 mm×28 mm 的工字鋼梁組成，兩者之間采用直徑為22 mm 的剪力釘連接。梁長(zhǎng)為8.5 m，跨徑為8 m。沿梁長(zhǎng)方向按照剪力鍵的疏密程度，劃分為5 個(gè)區(qū)段[13]：(2.0+3×1.5+2.0) m；相應(yīng)的剪力鍵剛度K為：(2204+1291+461+1291+2204) MPa，梁材料見表1 所示。

表1 梁材料參數(shù)Table 1 Material parameters of composite beam

圖4 實(shí)驗(yàn)梁構(gòu)造圖 /mmFig. 4 Structural drawing of experimental beam

具體試驗(yàn)過程和ANSYS 有限元軟件建模過程均已在文獻(xiàn)[13]中詳述，此處不在贅述。

圖5 給出了ANSYS 計(jì)算結(jié)果的前5 階振型云圖如下所述。

圖5 前5 階振型Fig. 5 First five modes

由表2 可得：

表2 實(shí)驗(yàn)梁2 自振頻率分析結(jié)果對(duì)比表Table 2 Comparison of eigenfrequencies obtained by different methods for experimental beam 2

1) 試驗(yàn)測(cè)試、ANSYS 計(jì)算和本文理論計(jì)算的前3 階頻率基本一致。說明文中理論可用于分析鋼-混組合梁的自振特性。

2) Euler-Bernoulli 組合梁模型和子梁同剪切角假設(shè)的Timoshenko 組合梁模型的頻率計(jì)算結(jié)果明顯大于試驗(yàn)測(cè)試、ANSYS 計(jì)算和本文理論，而且階數(shù)越高，誤差越明顯。第5 階頻率Euler-Bernoulli組合梁模型誤差達(dá)48.2%，子梁同剪切角假設(shè)的Timoshenko 組合梁模型達(dá)22.6%。說明鋼-混組合梁自振特性分析時(shí)，不可忽略剪切變形的影響；且不可簡(jiǎn)單的假設(shè)混凝土子梁與鋼梁剪切角相等。

3.2 影響因素分析

本節(jié)在討論不同剪力鍵剛度、跨高比時(shí)，剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)鋼-混組合梁自振頻率的影響。以圖3 中的鋼-混組合梁為參考，改變部分結(jié)構(gòu)或材料參數(shù)，討論相關(guān)影響因素，最終得到跨高比為何時(shí)，可以忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。工程應(yīng)用中，前3 階豎向頻率比較重要，因此本節(jié)主要針對(duì)前3 階豎向頻率進(jìn)行討論。

3.2.1 剪力鍵剛度分析

圖6 可以明顯得出：

圖6 前3 階自振頻率隨剪力鍵剛度的變化情況Fig. 6 Effect of shear connector stiffness on first three eigenfrequencies

1) 相對(duì)于本文模型計(jì)算結(jié)果，頻率階數(shù)越高，α 越小(剪力鍵剛度越大)，Euler-Bernoulli 組合梁模型結(jié)果誤差越大。

2) 當(dāng)α＜10-3(剪力鍵剛度很大，剪切滑移量很小)或者α＞1(剪力鍵剛度很小，上下層間幾乎無剪切約束)時(shí)，兩種計(jì)算模型的計(jì)算結(jié)果誤差基本不變。

綜上所述，在以下討論跨高比的影響時(shí)，選取組合連接系數(shù)α=10-3，并選取第3 階為控制頻率進(jìn)行分析。

3.2.2 跨高比的影響

圖7 給出了鋼-混組合梁前3 階頻率隨跨高比的變化規(guī)律。圖7 中，ωE-B為采用Euler-Bernoulli組合梁模型(文獻(xiàn)[23])計(jì)算所得頻率；ωT為采用本文計(jì)算模型(Timoshenko 組合梁模型)所得頻率。

圖7 表明：

圖7 前3 階自振頻率隨跨高比的變化情況Fig. 7 Effect of depth-to-span on first three eigenfrequencies

1) 隨著跨高比的增大，Euler-Bernoulli 梁理論的計(jì)算誤差逐漸減小。且跨高比越小，這種變化越明顯。

2) 跨高比對(duì)高階頻率的影響明顯大于低階頻率。對(duì)于1 階頻率，跨高比大于10 后，兩種理論計(jì)算結(jié)果誤差即小于5%；對(duì)于2 階頻率，跨高比應(yīng)大于18；對(duì)于3 階頻率，應(yīng)大于25。

4 結(jié)論

本文基于Timoshenko 梁理論，提出了一種分析鋼-混組合梁動(dòng)力性能的新方法—?jiǎng)恿偠染仃嚪?。通過實(shí)驗(yàn)梁模型對(duì)方法的適用性進(jìn)行了驗(yàn)證，并討論了高跨比、剪力鍵剛度對(duì)頻率計(jì)算結(jié)果的影響，主要結(jié)論如下：

(1) 本文提出的動(dòng)力剛度矩陣法適用于分析鋼-混組合梁的動(dòng)力特性。相比于Euler-Bernoulli 組合梁計(jì)算模型和子梁同剪切角假設(shè)的Timoshenko 組合梁計(jì)算模型，本文的方法具有更高的計(jì)算精度。

(2) 鋼-混組合梁動(dòng)力特性分析時(shí)，尤其是進(jìn)行高階頻率分析時(shí)，不可忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響；而且不能簡(jiǎn)單的假設(shè)混凝土子梁與鋼梁具有相同的剪切角。

(3) 相對(duì)于Timoshenko 組合梁理論，分析的頻率越高或剪力鍵剛度越大，Euler-Bernoulli 組合梁模型計(jì)算結(jié)果誤差越大。

(4) 跨高比越大，Euler-Bernoulli 梁理論計(jì)算結(jié)果誤差越小。若控制誤差在5%以內(nèi)，則對(duì)于第1 階頻率，跨高比需大于10；第2 階，需大于18；第3 階，需大于25。