單因素方差分析在煤樣均勻性檢驗中的應用

倪 峰

(1.陜西省能源質(zhì)量監(jiān)督檢驗所; 2.西安科技大學; 陜西 西安 710054)

1 概 述

方差分析( Analysis of Variance, 簡稱ANOVA), 又稱為“變異數(shù)分析”, 是英國著名的統(tǒng)計學家羅納德·費舍爾發(fā)明的一種用于檢驗2 個及2 個以上樣本均值差異顯著性的統(tǒng)計方法。常見的方差分析類型有單因素方差分析和多因素方差分析。

在GB/T 22279-2008 《煤炭成分分析和物理特性測量 標準物質(zhì)研制導則》 和CNAS-GL003:2018 《能力驗證樣品均勻性和穩(wěn)定性評價指南》等標準中, 標準煤樣、 能力驗證樣品在研制中的均勻性檢驗就用到了單因素方差分析。

2 單因素方差分析

方差分析是對多個樣本均值進行比較的一種統(tǒng)計方法。 談到均值的比較, 首先會想到t 檢驗, 這是一種適合小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法,通過比較不同數(shù)據(jù)的均值, 研究兩組數(shù)據(jù)之間是否存在差異。 如果有多個樣本, 可以在兩兩之間進行t 檢驗, 但使用這種方法卻有很大的弊端;第一, 進行t 檢驗的組合較多, 計算量大; 第二, 進行t 檢驗的次數(shù)越多, 犯統(tǒng)計學中“第一類錯誤” 的概率就會疊加, 降低了分析結(jié)果的可靠性; 第三, 多次的t 檢驗, 僅得到一些零散的信息, 缺乏綜合的評價。 方差分析則可以對多組試驗數(shù)據(jù)同時進行分析, 將總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異, 并通過組間變異和組內(nèi)變異的比率來確定影響結(jié)果的因素。

為了研究各影響因素, 將同一個煤樣進行混合縮分, 分裝成多個包裝單元, 對每個包裝單元樣品分別進行多次檢測。 能夠影響檢測結(jié)果的原因有很多, 例如不同的檢測方法、 縮分后包裝單元之間的差異、 使用不同設備檢測、 不同的實驗人員進行操作等; 這些影響稱為因素或因子, 如圖1 所示。

圖1 煤樣檢測結(jié)果影響因素

由于各種因素的影響, 檢測結(jié)果會呈現(xiàn)差異。 造成差異的這些因素通常可分成兩類: 一類是不可控的隨機因素, 例如方法的精密度; 另一類是可控因素, 例如檢測設備、 實驗人員、 縮分樣品等。 另外, 同一個因素也會有不同的狀態(tài),比如不同的檢測設備、 不同的檢測人員等, 將因素所處的狀態(tài)稱為水平。 如果只研究一個可控的因素在不同水平下對結(jié)果的影響, 這就是單因素方差分析。

因此, 在GB/T 22279-2008 《煤炭成分分析和物理特性測量 標準物質(zhì)研制導則》 中4.3.3規(guī)定“均勻性檢驗應在重復性條件下(同一操作者, 同一臺儀器, 同一測量方法, 于短期內(nèi))完成”, 即只研究一個可控因素(縮分樣品)在不同水平下(不同包裝單元)對檢測結(jié)果的影響。

3 實例解析

將1 份煤樣充分混合, 并縮分成4 份質(zhì)量相等的樣品, 每份樣品分別在重復性條件下進行3次測定。 對檢測數(shù)據(jù)進行分析, 使用單因素方差分析, 檢驗樣品因素對檢測結(jié)果是否造成影響。

方差分析研究的對象為“樣品” 這個固定因素; 因素的4 個水平分別為1 號、 2 號、 3 號、 4號樣品; 隨因素變化的結(jié)果為因變量, 即檢測結(jié)果。 樣品方差分析因素如圖2 所示。

圖2 方差分析因素

4 個不同樣品(總體), 在相同的實驗條件下分別進行了3 次重復測定(樣本), 并統(tǒng)計檢測結(jié)果, 如圖3 所示。 同時, 使用柱狀圖來分組表示

圖3 樣本抽樣

不同樣品的檢測結(jié)果量值情況, 如圖4 所示。

圖4 檢測結(jié)果的差異

根據(jù)分析可知, 影響檢測結(jié)果因素包括: 第一類不可控的隨機因素, 即檢測方法的精密度;第二類為可控的因素, 即樣品之間的差異。 將同一個樣品內(nèi)的檢測結(jié)果差異稱為“組內(nèi)差異”,這主要由隨機誤差造成的; 將不同樣品之間的差異, 稱為“組間差異”, 由樣品差異和隨機誤差共同造成的。 可使用方差分析來判斷4 組樣本均值的差異是由于因素的不同水平造成的, 還是純粹由于隨機因素造成的。

首先, 對檢測結(jié)果進行誤差分析, 任何一個i(i=1、 2、 3……m)號樣品的第j(j=1、 2、 3……n)次檢測結(jié)果可表達為公式(1)。

式中: xi,j為任意一次檢測結(jié)果; μi為某個樣品檢測結(jié)果的平均值; μ 為檢測結(jié)果的總平均值; ai=μi-μ 為某個樣品的平均結(jié)果與總體平均結(jié)果之差; εij為隨機影響因素。

其次, 分析不同誤差造成的差異; 使用離差平方和分別表示總變異、 組間變異和組內(nèi)變異。

(1)總體數(shù)據(jù)的離差平方和SST, 即所有檢測結(jié)果的差異之和為公式(2):

式中: xij為任意一次檢測結(jié)果;為檢測結(jié)果的總平均值。

(2)組間離差平方和SSA, 表示組間的差異程度, 由因素水平和隨機因素共同導致的差異為公式(3):

(3)組內(nèi)離差平方和SSE, 表示組內(nèi)的差異程度, 由隨機因素造成的差異為公式(4):

(4)為了消除樣本個數(shù)對離差平方和的影響,用離差平方和除以相應的自由度。

組間離差平方和SSA和轉(zhuǎn)變?yōu)榻M間方差MSA,受到因素與隨機誤差的共同影響, 見公式(5):

式中: m-1 為組間方差的自由度。

組內(nèi)離差平方和SSE轉(zhuǎn)變?yōu)榻M內(nèi)方差MSE,只受到隨機誤差的影響, 見公式(6):

式中: N 為樣本總數(shù), 即m×n; N-m 為組內(nèi)方差的自由度。

最后, 用一個統(tǒng)計量來檢驗因素對結(jié)果的顯著影響, 使用F 分布進行檢驗, 并對結(jié)果進行分析, 見公式(7)。

(1)如果樣品間差異對檢測結(jié)果影響不大,那么組內(nèi)和組間只有隨機誤差影響, 比值會接近于1。

(2)如果樣品間差異對檢測結(jié)果影響大, 那么組間方差就會大于組內(nèi)方差, 比值會大于1。

(3)當這個比值大于到某種程度時(F 檢驗臨界值), 就說明不同因素水平存在明顯差異, 或者說因素對結(jié)果造成顯著影響; 不同樣品之間的差異過大, 樣品不均勻。

4 樣品均勻性檢驗中的應用

在標準煤樣、 能力驗證樣品研制生產(chǎn)中, 將煤樣混合均勻后分裝到多個最小包裝單元內(nèi), 并按一定的規(guī)則抽取一定數(shù)量的樣品進行均勻性檢驗。 例如, 分裝了100 瓶煤樣, 隨機抽取了10瓶樣品, 在重復性條件下(同一操作者, 同一臺儀器, 同一測量方法, 于短期內(nèi))完成, 每瓶樣品進行2 次重復測定。 同時, 為了避免測量系統(tǒng)在不同時間段的變差干擾, 測量次序隨機進行排列。 選擇不易均勻的和有代表性的特性量檢測項目煤的灰分進行測定, 檢測數(shù)據(jù)見表1。

表1 均勻性檢測數(shù)據(jù)

根據(jù)上述分析, 對每個最小包裝單元樣品進行2 次檢測, 瓶內(nèi)檢測結(jié)果之間的差異即“組內(nèi)差異”; 瓶與瓶之間差異為固定的因素, 即“組間差異”。 采用單因素方差分析, 檢驗瓶間的差異是否對檢測結(jié)果有顯著性影響。

從表1 檢驗結(jié)論中可看出, 瓶與瓶之間差異對結(jié)果的影響并不大, 組內(nèi)組間只有隨機誤差影響, 因此樣品是均勻的。

5 結(jié) 語

單因素方差分析是一種能使多組間均值檢驗變得簡潔的一種檢驗方式, 它能同時考慮所有的樣本, 不僅能使檢驗過程變得簡潔, 而且能排除因t 檢驗可能造成錯誤累積的概率。 因此, 它在樣品的均勻性檢驗中有著廣泛的應用。