基于傅里葉變換的光柵衍射分析

王義全，張 穎，陳 笑，鄒 斌，蔡園園，王瓊千惠，李傳波，彭洪尚，黎儀藝

(中央民族大學 理學院，北京 100081)

衍射光柵是基礎光學元件之一，在信息處理與分析、生物學、材料學、天文學等諸多領域均有重要應用. 衍射光柵，無論是透射式或反射式，都能通過光柵中的重復結構影響入射光的振幅或相位，導致出射光發(fā)生干涉，進而在空間中分離出不同波長的光.按照現(xiàn)代制造工藝的不同，光柵主要有刻劃光柵、復制光柵和全息光柵等形式. 隨著科技發(fā)展及光柵制造技術的不斷革新，光柵的應用范圍也在不斷擴大. 因此，如何使學生理解不同種類光柵衍射的聯(lián)系與區(qū)別，全面系統(tǒng)的掌握光柵衍射規(guī)律，對正確使用光柵，尤其是根據(jù)需求設計不同形式的光柵結構以及基于光柵衍射的儀器設備均具有重要的意義.

光柵衍射是物理光學教學中的重點與難點之一. 在多數(shù)物理光學教程中，光柵衍射的討論出現(xiàn)2次：1)是在光的衍射部分，利用多縫干涉和單縫衍射的思想，分析了普通透射光柵的衍射場，得到描述光柵衍射場特點的光柵方程；2)是在傅里葉光學中討論全息余弦光柵的衍射，詳細闡述了衍射場與光柵結構之間的關系，得出衍射平面波的出射方向和光柵周期的確定關系.雖然這種分別討論的方法有利于學生準確掌握不同光柵衍射規(guī)律，但使學生容易造成不同光柵衍射所遵循的物理規(guī)律不同的錯覺. 為使學生全面系統(tǒng)的理解光柵衍射，本文借助于傅里葉分析法，以余弦光柵衍射為基礎，分析了常見透射光柵的衍射規(guī)律，使學生掌握了兩種光柵衍射之間的聯(lián)系，以期對光柵衍射有更加深入的理解.

1 單一空間頻率的余弦光柵衍射特性

余弦光柵是信息技術中常用的一類光柵，多數(shù)是透射型.因平面波入射到光柵上，透過光柵的光場復振幅隨位置按余弦規(guī)律變化而得名. 例如，2束具有一定夾角的平面波入射到照相干板，在干板上發(fā)生干涉，產生按余弦規(guī)律變化的光強分布，曝光后的照相干板經顯影、定影等線性處理后，就可獲得一片余弦光柵.該光柵的透過率函數(shù)表示為[1]

t(x)=t0+t1cos(2πfx+φ0)

(1)

其中t0為霧底，它表示即使曝光強度為零，沖洗出來的底片在該處仍有一定程度的透過率.t1是透射光強的幅值.它們均是與照相干板的材料及光柵制備過程中曝光時間、顯影定影溶液濃度及顯影定影時間等因素有關的實數(shù).f為光柵頻率.

圖1 余弦光柵的衍射示意圖

設垂直入射于余弦光柵的平面波波前表示為

(2)

經余弦光柵衍射后的出射波的波前為

(3)

式中

sinθ+1=fλ,

sinθ-1=-fλ

(4)

上式表明，衍射平面波的出射方向角由余弦光柵的頻率確定.在光柵周期遠大于入射平面波波長的情況下，出射平面波的方向角θ與光柵的空間頻率f是一一對應的.

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2 多個空間頻率的余弦光柵衍射特性

為進一步證實上述結論，我們以具有多個空間頻率的余弦光柵為例進行衍射分析.為不失一般性，我們假設余弦光柵具有3個空間頻率f12、f13、f23.當平行光垂直入射該光柵，在衍射場透鏡的焦平面上將出現(xiàn)7個衍射斑，即光柵對垂直入射的平面波的衍射場為7個方向平面波的疊加.下面推證各衍射光的出射方向與光柵物理結構之間的關系.

該光柵的透過率函數(shù)包括3個空間周期的光柵屏函數(shù)，表示為

t(x)=t0+t12cos(2πf12x)+

t13cos(2πf13x)+t23cos(2πf23x)

(5)

當平面波垂直入射到上述余弦光柵，出射場為

t13cos(2πf13x)+t23cos(2πf23x)]=

(6)

由式(6)可見，垂直入射的平面波經余弦光柵衍射后，變成了7列平面波，即一個正出射的平面波和3對互為共軛的平面波疊加. 3對共軛平面波的出射方向與余弦光柵的3個空間頻率一一對應，具體表示如下：

從以上兩種余弦光柵衍射場來看，余弦光柵的夫瑯禾費衍射場完全是由光柵的物理結構決定，衍射場是若干列平面波的疊加. 如果光柵周期數(shù)為k，衍射場中平面波的列數(shù)為2k+1，除垂直出射的平面波外，每一列斜出射的平面波的出射方向與光柵的某一周期有確定的對應關系.

3 刻劃光柵衍射特性

普通透射刻劃光柵是各類基于衍射的光學設備所用的主要衍射元件，也是物理光學中討論最多的一類光柵.它是由若干個全同的狹縫周期排列而成.設光柵中透光的縫寬為a，兩狹縫之間不透光部分的寬度為b，光柵周期d=a+b是光柵的重要參量.我們從多縫干涉和單縫衍射的角度討論此種透射光柵的衍射場，其光場分布表示為[2]

(7)

(8)

光柵衍射場可以看作光柵強度結構因子和強度單元因子的乘積，衍射光強極大的方位角滿足光柵方程:

dsinθk=kλ, (k=0，±1，±2,…)

(9)

從上式可見，在滿足光柵方程的方位角上均會出現(xiàn)衍射光極大，即出現(xiàn)一個衍射亮斑.因此，普通透射光柵衍射場中透鏡的后焦面上有一系列的衍射亮斑，即普通透射光柵的衍射場是由一系列方向不同的平面波疊加的.平面波的列數(shù)、傳播方向和光柵周期的個數(shù)沒有直接從上述公式中反映出來，這似乎和余弦光柵的衍射規(guī)律矛盾.為了正確理解周期性透射光柵的衍射現(xiàn)象，對衍射現(xiàn)象有全面統(tǒng)一的理解，我們將從信息分析的角度闡述普通透射光柵的衍射場.

所謂衍射，就是衍射屏對入射波的波前進行調制，在衍射場中形成和入射場差別很大的復雜光場分布. 對于可看作由若干個全同狹縫周期性排列所形成的普通透射光柵，我們假設組成光柵的狹縫邊緣對光的傳輸沒有影響，即在整個狹縫上的透過光的振幅相等，由此光柵的結構對入射光波前的調制可近似看作圖2所示的矩形波.它的屏函數(shù)可寫成

圖2 周期為d的矩形波

(10)

在整個光柵范圍內，屏函數(shù)可以看作一個周期函數(shù). 我們把該函數(shù)進行傅里葉展開:

(11)

其中ω=2πf，f=1/d為光柵的空間頻率，各級傅里葉展開系數(shù)表示為

由此，在刻劃光柵衍射中，光柵的屏函數(shù)可以寫為

(12)

由式(12)可見，刻劃光柵可以看作一系列空間頻率倍增的余弦光柵的疊加.

(13)

從式(13)可見，垂直入射的平面波經透射光柵衍射后，變成了(2k+1)列平面波，為包含一個正出射的平面波和2k列斜出射的平面波的疊加.出射平面波的方向滿足

sinθk=kfλ, (k=0，±1，±2,…)

(14)

將f=1/d代入上式，得到dsinθk=kλ，這就是光柵方程.

從上述分析可以看出，刻劃光柵的衍射場也是一系列平面波的疊加，每一列平面波的傳播方向滿足光柵方程.另一方面，它同樣反映了光柵對入射平面波波前的調制.這個調制把光柵的結構信息加載到輸入信號內，在輸出信號中反映出來.雖然透射光柵在形式上只有一個空間周期，但這種結構對波前的調制作用，可以看作很多基元周期函數(shù)對入射信息作用結果的疊加，所以在衍射場中把各個基元周期函數(shù)對入射波的調制作用反映出來，雖然只有一個空間周期，在衍射場中卻有多個基元周期函數(shù)周期性的平面波產生，在透鏡的后焦面上出現(xiàn)多個衍射斑.

4 結論

借助于傅里葉分析法，我們探討了普通透射刻劃光柵衍射場，把余弦函數(shù)看作基元函數(shù)，透射光柵對入射波前的調制作用作為眾多基元周期函數(shù)對入射波前調制結果的疊加，從而在衍射場中反映出衍射光柵中所包含的對入射波起作用的所有結構信息.利用這一結果，我們很容易將教學中討論的兩類光柵衍射統(tǒng)一起來，同時也為分析其他形式的光柵衍射，特別是為實現(xiàn)特定衍射場設計的特種光柵提供了指導作用.