水平旋轉(zhuǎn)彈簧的臨界角速度

趙冬秋，賈拴穩(wěn)，秦緒明，袁 地，董 浩

(安陽師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽 455000)

彈簧振子是一種常用的物理模型，其中的彈簧通常被默認(rèn)為輕質(zhì)彈簧．但嚴(yán)格來講，彈簧的質(zhì)量不可被忽略，否則會對力場中彈簧系統(tǒng)產(chǎn)生影響．近來，彈簧質(zhì)量對彈簧系統(tǒng)影響的研究引起了人們的關(guān)注．于鳳軍教授應(yīng)用最小勢能原理研究了重力場中有重彈簧靜止時的質(zhì)量分布和質(zhì)心位置問題[1]．羅興垅等則從力的平衡條件出發(fā)對該問題進(jìn)行了探討，得到了一致的結(jié)論[2]．這些方法為力場中彈簧運(yùn)動的研究提供了思路和參考．最近，呼格吉樂等根據(jù)力的平衡條件對繞固定端旋轉(zhuǎn)的有重彈簧進(jìn)行探究，給出了旋轉(zhuǎn)彈簧長度與角速度的關(guān)系式[3][見文獻(xiàn)[3]式(10)]．

然而目前的研究也存在某些問題，文獻(xiàn)[3]把臨界角速度定義為彈簧長度趨向無窮時所對應(yīng)的角速度，是不恰當(dāng)?shù)模膊环蠈?shí)際物理情況．這是因?yàn)?，彈簧在其彈性限度?nèi)彈力和形變量服從胡克定律，超過彈性限度，不但胡克定律以及由其導(dǎo)出的公式不成立，甚至可能會被損壞．如何定義符合實(shí)際的臨界角速度，并導(dǎo)出其表達(dá)式，如何判斷彈簧是在安全范圍內(nèi)使用，將是本文研究的問題．

1 旋轉(zhuǎn)彈簧的長度和臨界角速度定義

設(shè)一勻質(zhì)圓柱形彈簧，質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k，原長為l0，當(dāng)它靜止于水平面上時在彈性限度內(nèi)的極限長度是lc．將彈簧一端固定于原點(diǎn)O，另一端是自由端，在彈簧上沿其軸線建立Ox坐標(biāo)軸，如圖1所示．讓彈簧在水平面內(nèi)繞O點(diǎn)以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)．假定：當(dāng)ω=0時，彈簧上各點(diǎn)位置用x表示(0≤x≤l0)；當(dāng)ω≠0時彈簧上位置為x的點(diǎn)A沿軸向位移為u(x)．則A點(diǎn)到O點(diǎn)的距離y為

圖1 彈簧示意圖

y=x+u(x)

(1)

在點(diǎn)A附近取長為dx的一段線元，其質(zhì)量是dm=λdx，其中λ=m/l0．在與彈簧一起勻速旋轉(zhuǎn)的參考系中，線元受慣性離心力和彈性力作用，慣性離心力的大小為ω2ydm，其相關(guān)的勢能(取O為勢能零點(diǎn))是(-1/2)ω2y2dm=(-1/2)λω2(x+u)2dx．線元伸長量為du=u(x+dx)-u(x)，該線元的勁度系數(shù)[1]表示為kl0/dx，則彈性勢能是(1/2)(kl0/dx)(du)2=(1/2)kl0(u′)2dx，故體系總能量V為

(2)

點(diǎn)x處彈力為

F(x)=kl0u′(x)

(3)

kl0u″+λω2(x+u)=0

(4)

(5)

彈簧形變滿足的第一個邊界條件是原點(diǎn)固定，彈簧的形變量為零：u(0)=0．第二個邊界條件是彈簧末端的彈性力F(l0)為零，這是由于彈簧末端為不受約束的自由端．由此及式(3)可得彈簧系統(tǒng)滿足的邊界條件是

(6)

把式(5)代入式(6)可解出C1、C2，再將C1、C2的解代入式(5)得

(7)

結(jié)合式(7)和式(1)得到彈簧的長度分布為

(8)

所以彈簧總長度是

(9)

圖2表示根據(jù)式(9)畫出的彈簧長度與角速度的函數(shù)關(guān)系曲線．由圖2可知，當(dāng)ω=0時，彈簧長度等于原長．隨著ω的增加，其長度單調(diào)增加．當(dāng)ω/ω0→π/2時，彈簧長度趨于無限長．顯然從物理上講這是不可能的，因?yàn)閺椈稍缫殉^其彈性限度，隨著ω的逐漸增加，上邊的討論和導(dǎo)出的公式已經(jīng)不能成立．因此存在某一角速度ωc，當(dāng)ω<ωc時，胡克定律成立；當(dāng)ω>ωc時，胡克定律不成立．我們把ωc叫做旋轉(zhuǎn)彈簧的臨界角速度，此時對應(yīng)的彈簧長度Lc叫旋轉(zhuǎn)彈簧的臨界長度．下面將導(dǎo)出ωc和Lc的表達(dá)式．

圖2 水平旋轉(zhuǎn)彈簧長度與角速度的曲線圖

2 旋轉(zhuǎn)彈簧的彈力分布和臨界參數(shù)的確定

(10)

圖3表示根據(jù)式(10)畫出的當(dāng)ω/ω0=π/3時彈簧上彈力隨x的變化曲線．由圖3可知彈簧末端的彈力為零，這是因?yàn)閺椈赡┒藶樽杂啥耍溆辔恢玫膹椓﹄Sx的增加而減?。畯椈缮献畲髲椓ξ恢迷谠c(diǎn)(見圖3)，對應(yīng)的彈力為

圖3 當(dāng)ω/ω0=π/3時，彈簧上彈力F(x)隨x的變化曲線

(11)

前面已經(jīng)假定水平靜止彈簧在彈性限度內(nèi)的極限長度即能使胡克定律成立的極限長度為lc．根據(jù)胡克定律，可推知該彈簧任意位置所能承受的極限彈力是

Fc=k(lc-l0)

(12)

當(dāng)有重彈簧于水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，由于慣性離心力的作用，彈簧上彈力分布不均勻．顯而易見，旋轉(zhuǎn)彈簧上任一點(diǎn)的彈力不能超過Fc，否則它將不滿足胡克定律，并且有可能被損壞．由于彈簧最大彈力位置在原點(diǎn)(見圖3)，故為了使胡克定律在旋轉(zhuǎn)彈簧中的所有點(diǎn)成立，要求

Fmax=F(0)

(13)

ωc=ω0arccos(l0/lc)

(14)

用式(14)中ωc取代式(9)中ω就得到旋轉(zhuǎn)彈簧的臨界長度，即

(15)

3 討論

2) 式(14)表明ωc∝ω0，即在l0/lc相同情況下，彈簧的勁度系數(shù)越大(俗話說彈簧越硬)，角速度的臨界值越大，彈簧不容易被損壞，這符合人們的生活經(jīng)驗(yàn)．

小結(jié):以上指出了目前文獻(xiàn)在研究旋轉(zhuǎn)彈簧臨界角速度問題上的不妥之處．根據(jù)胡克定律成立的條件給出了旋轉(zhuǎn)彈簧的臨界角速度的定義．由最小勢能原理導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)彈簧上各點(diǎn)的位移分布，并由該位移分布導(dǎo)出彈簧上各點(diǎn)的彈力分布．最后根據(jù)彈力分布和臨界參數(shù)的定義得到旋轉(zhuǎn)彈簧的臨界角速度表達(dá)式(14)和臨界長度表達(dá)式(15)，并進(jìn)行相關(guān)問題的討論，得出結(jié)論：對于質(zhì)量不能忽略的彈簧，無論是旋轉(zhuǎn)狀態(tài)還是懸掛狀態(tài)，其臨界長度均小于它處于水平靜止?fàn)顟B(tài)下在彈性限度內(nèi)的極限長度．

致謝：

感謝于鳳軍教授耐心細(xì)致的指導(dǎo)．