應用質點系的動量定理求解柔軟鏈條的運動

邵 云

(南京曉莊學院 電子工程學院，江蘇 南京 211171)

本文將應用質點系的動量定理詳細地求解出3類柔軟鏈條的運動，一則顯示出該方法的優(yōu)勢[1-4]，二則揭示出這3種運動各自的細節(jié)特點，以供讀者參考．

1 光滑桌面上一團靜止柔軟鏈條的逐節(jié)下落運動

例1：如圖1所示，有一段柔軟的鏈條長為l，單位長度的質量為λ，被放置在有一小孔的光滑桌面上．設開始時(t=0)鏈條一端由小孔稍稍伸下，其余部分堆在小孔周圍.現(xiàn)由于某種擾動，鏈條因自身重量開始下落，試求鏈條下落的速度與距離的關系．

圖1 一團靜止柔軟鏈條的逐節(jié)下落運動

解析：建立Oy坐標軸如圖1中所示．設上、下兩段鏈條的質量分別為m2和m1，并設t時刻下段鏈條的長度為y，速度為v，則在t時刻，有

m2=λ(l-y)

(1)

m1=λy

(2)

設上段鏈條不包括小孔口開始運動的那一小節(jié)，則它處于受力平衡狀態(tài)．現(xiàn)將上、下兩段鏈條視為一個系統(tǒng)，則不難看出，系統(tǒng)在豎直方向所受的合外力為FG1=m1g，總動量為m1v．于是，根據質點系的動量定理，則有

(3)

將式(2)代入式(3)，約簡后在圖1中y軸正方向進行投影，則得分量方程為

(4)

再將式(4)兩邊同乘以ydy，得

(5)

(6)

其中已將yv整體視作一變量．式(6)經計算整理后即得

(7)

此即鏈條下落的速度與距離的關系式．

將式(7)兩邊分別對時間t求導，再利用式(7)本身便得

(8)

可見下落段鏈條的實際運動是一個加速度為g/3的勻加速直線運動．

2 光滑桌面上柔軟直鏈條沿桌邊逐節(jié)下滑的運動

例2：如圖2所示，有一段柔軟的鏈條長為l，單位長度的質量為λ，被拉直放置在一光滑的桌面上．設開始時(t=0)鏈條的一端稍稍伸出桌子邊緣，現(xiàn)由于某種擾動，鏈條因自身重量開始下落，試求鏈條下落的速度與距離的關系．(注：不考慮鏈條在桌子邊緣的離心運動[3]).

圖2 柔軟直鏈條沿桌邊的逐節(jié)下滑運動

解析：對于如本例這種鏈狀質點系沿固定切向(τ)的約束運動，其上任意質點mi沿切向的動力學方程可以寫成

(9)

(10)

式(10)可稱為“鏈狀質點系沿切向運動的動力學方程”．

(11)

將式(11)兩邊同乘以dy并整理得

(12)

再結合初始條件，對式(12)兩邊進行定積分得

(13)

解得

(14)

此即鏈條下落的速度v隨距離y的變化關系．易見鏈條下落的加速度為

(15)

這表明鏈條在做一加速度隨距離(或位移)均勻遞增的變加速直線運動，當鏈條完全脫離桌面時，加速度達到最大值g．

3 恒力逐節(jié)豎直拉起一大團靜止柔軟細鏈條的運動

3.1 問題的提出及初步的研究

例3：如圖3所示，有一大團柔軟的細鏈條疊放在水平地面上，單位長度質量為λ．現(xiàn)以恒力F將鏈條一端豎直提起，試求鏈條接下來的運動．

圖3 恒力逐節(jié)拉起一大團靜止柔軟細鏈條的運動

解析：將整段鏈條視為一個系統(tǒng)，因地面靜止鏈條部分處在瞬間平衡狀態(tài)，故系統(tǒng)所受合外力為F+λyg，系統(tǒng)的總動量為λyv．于是，根據質點系的動量定理，沿圖3中y軸正方向有

(16)

根據初始條件對式(16)進行積分可解得

(17)

此即鏈條在首次(其后會有反復振蕩)上升過程中的速度v上1與位移y的關系．將式(17)對時間t求導并利用式(17)本身，便得加速度:

(18)

可見鏈條在首次上升過程中做一加速度為-g/3的勻減速直線運動．

從式(17)又可見，當鏈條上升的速度v上1=0,也即

(19)

時，鏈條上升至第一個最高點．此外，由式(16)結合式(17)或式(18)可得

(20)

對比式(16)、(20)可以發(fā)現(xiàn)，上升段鏈條的靜力平衡點處在

(21)

處，此處yv達到極大值，將式(21)代入式(17)即得此極大值為

(22)

當鏈條首次到達最高點后開始下落時，式(16)將不再成立．這是因為瞬間落地的極小段鏈條會對地面有一個類似于上文“拖拽力”的變質量沖力λv2，因而地面對鏈條的支持力也將額外增加λv2，式(16)需要修改成

(23)

(24)

(25)

它迥然不同于首次上升時的加速度-g/3．

根據首次下落過程的初始條件，從式(25)積分可得鏈條首次下落時的速度與位置的關系為

(26)

將式(19)代入式(26)即得

(27)

令式(27)中的v下1=0，即可數(shù)值解得鏈條(端點)首次下落的最低點坐標為

(28)

(29)

3.2 鏈條的第2次振蕩

對于鏈條的第二次上升過程，在考慮到相應的初始條件后，對式(16)進行變換并積分可得

(30)

由此解得鏈條第二次上升的速度為

(31)

聯(lián)立式(16)、(31)即求得加速度為

(32)

令式(31)中的v上2=0，即解得鏈條第二次上升的最大高度為

(33)

(34)

將式(34)代回式(31)，即求得鏈條第二次上升時的最大速度為

(35)

不難驗證，若令式(31)—(35)中的y1min→0，則它們將還原成上文首次上升時的結果．

對于鏈條的第二次下落過程，由于其動力學方程依然服從式(25)，因此下落速度與位置的關系應與式(26)類似，為

(36)

(37)

3.3 鏈條運動的完整描述

(38)

(39)

式(38)、(39)分別是以第n+1次上升、下落運動的起點為計時起點的，它們都是隱函數(shù)形式的運動學方程，且都是積分方程，需要數(shù)值計算．因此，要獲得鏈條完整的運動學方程是頗費周折的．

(40)

(41)

諸參量的具體數(shù)據詳見表1，其中均選擇了歸一化的單位．根據表1，可作出鏈條振蕩的最低點和最高點坐標隨時間的變化圖4，以及鏈條在各段振蕩過程中的最大速度變化圖5．圖4中的時間t為累計時間．

表1 鏈條各次振蕩的幾個主要的運動狀態(tài)參量

圖4 鏈條振蕩的最低點和最高點坐標隨時間的變化

圖5 鏈條在各段振蕩過程中的最大速度變化情況

4 總結與說明

本文通過3個典型的例題，闡述了應用質點系的動量定理來求解柔軟鏈條運動的具體方法．從結果看，該方法物理思想凸出，計算過程也較為簡潔．

從加速度的觀點看，光滑桌面上一團靜止柔軟鏈條的逐節(jié)下落運動是一個加速度為g/3的勻加速直線運動；光滑桌面上柔軟直鏈條沿桌邊逐節(jié)下滑的運動則是一個加速度隨位移均勻遞增的變加速運動；而恒力逐節(jié)豎直拉起一大團靜止柔軟細鏈條的運動則是一個振幅不斷衰減的上下振蕩，其中上、下運動的動力學方程存在差別，導致鏈條的上、下振蕩并不對稱，無論幅度、時間還是最大速度等，參見表1．本文第3節(jié)又顯示，在同一次上下振蕩中，鏈條上升的幅度和最大速度分別總是大于下降的幅度和最大速度，但是上升和下落的時間τ上n與τ下n在變化趨勢上恰相反，兩者之間存在著一個等值的交匯點(見表1)；不過，τ上n與τ下n之和即所謂的振蕩“周期”，除首次振蕩外卻幾乎是一常量，這就意味著鏈條幾乎在做等“周期”的振蕩．

本文的式(31)—式(37)都是通用的表達式，它們對包括首次在內的任意一次振蕩皆適用．因此本文第3節(jié)能夠運用Excel軟件，通過迭代的方法求出各次振蕩的主要特征參量，以此呈現(xiàn)該鏈條大致的振蕩圖像．再次聲明，由于從隱函數(shù)形式的運動方程式(38)、(39)數(shù)值積分，分別求出第n+1次上升、下落運動的y-t曲線，再逐段合并拼得鏈條完整的y-t曲線，這其中的程序頗為繁瑣復雜，因此本文省略了該項工作，轉而采用運動特征參量來描述該鏈條的振蕩運動，如此或可使其運動特征更加鮮明．

最后，順便說一下，與例1、3不同，例2中鏈條的各節(jié)之間不存在非彈性碰撞，因此其系統(tǒng)的機械能是守恒的．此外，例2中所推導采用的“鏈狀質點系沿切向運動的動力學方程”式(10)，其實是切向的自然坐標軸上牛頓第二定律分量式的必然結果，事實上它在基礎力學的實際教學中經常被采用[3]，并非罕見．