局部支承功能梯度板的自由振動(dòng)分析

韓振南，隨歲寒，2，劉金建

（1.商丘工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 商丘 476000；2.無(wú)錫金元啟信息技術(shù)科技有限公司，江蘇 無(wú)錫 214000）

為了完成各種極端環(huán)境下的任務(wù)，近年來(lái)，許多工程領(lǐng)域都對(duì)結(jié)構(gòu)的材料性能提出要求，復(fù)合材料因此被廣泛應(yīng)用于各種場(chǎng)合[1-3]。雖然鐵和銅等金屬在常溫下具有良好的強(qiáng)度與韌性，但處于高溫條件下時(shí)，其強(qiáng)度與韌性都大幅降低，并且金屬材料極易被腐蝕。而陶瓷具有良好的耐高溫與耐腐蝕性能，但是它的韌性較差。金屬與陶瓷常被選用為復(fù)合材料的原材料，以期得到耐高溫耐腐蝕的高韌性高強(qiáng)度材料。但是傳統(tǒng)的復(fù)合材料采用層合結(jié)構(gòu)，將材料簡(jiǎn)單地粘合在一起，金屬與陶瓷之間存在明顯的分界面，材料性能的突變導(dǎo)致層間出現(xiàn)應(yīng)力集中，特別是在高溫下，結(jié)構(gòu)容易出現(xiàn)分層、裂紋和其他損傷[4-5]。

為了克服傳統(tǒng)復(fù)合材料的上述缺陷，沿著板厚逐漸改變材料成分的功能梯度材料被提出[6]。相比傳統(tǒng)復(fù)合材料，它的優(yōu)勢(shì)在于材料性能的平滑變化緩和了材料的應(yīng)力集中現(xiàn)象，顯著提高了耐高溫性與耐磨性，同時(shí)降低了熱應(yīng)力殘余[7-8]。依賴于其優(yōu)越的材料性能，功能梯度材料在被提出后的幾十年內(nèi)被廣泛應(yīng)用于土木工程、航空航天、交通運(yùn)輸與生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，各種功能梯度結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為分析也成為研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]采用諧波微分求積法研究了具有內(nèi)線支承的軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度板的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[10]基于一階剪切變形理論，研究了液體環(huán)境中不同類型的孔隙率分布、流體深度和長(zhǎng)寬比等參數(shù)對(duì)功能梯度多孔板自由振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[11]采用擴(kuò)展正弦板理論，研究了磁場(chǎng)、電載荷和梯度指數(shù)等參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)支功能梯度壓電板彎曲的影響。文獻(xiàn)[12]基于Mindlin板理論，研究了縱橫比、厚長(zhǎng)比、冪律指數(shù)值和不同邊界條件對(duì)功能梯度矩形板自由振動(dòng)的影響。近年來(lái)也有很多學(xué)者關(guān)注含孔隙功能梯度材料板[3，13]以及納米功能梯度板[14-15]的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。以上研究表明功能梯度材料對(duì)環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，因而眾多學(xué)者采用各種方法研究其材料參數(shù)和外界環(huán)境因素對(duì)功能梯度結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)特性的影響，極大地?cái)U(kuò)展了功能梯度材料的應(yīng)用場(chǎng)景。

以上文獻(xiàn)大都關(guān)注了功能梯度結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，而邊界條件對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性有重要影響[16-17]，對(duì)于方形板結(jié)構(gòu)，這些文獻(xiàn)主要關(guān)注固支、簡(jiǎn)支和自由等邊界條件，且這些邊界條件一般貫穿整條邊。然而，工程應(yīng)用中很難做到四邊完全固支或簡(jiǎn)支，常常會(huì)出現(xiàn)一個(gè)邊界上只有局部有支承的情形，因此研究局部支承條件下的功能梯度板具有實(shí)際意義，目前這方面的研究還比較少。由于局部支承的特殊性，解析法、復(fù)模態(tài)法和Galerkin 法等方法難以處理，而有限元法能處理局部支承條件，建模方法簡(jiǎn)單且便于與ANSYS 軟件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性。本文基于Mindlin板理論，假設(shè)板的材料是由陶瓷和金屬組成的功能梯度材料，利用虛功原理建立局部支承功能梯度板的有限元方程，重點(diǎn)研究了100%、50%和25%3種支承條件下系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性，并分析了振動(dòng)特性與梯度指數(shù)間的關(guān)系。

1 控制方程

如圖1所示，考慮一個(gè)長(zhǎng)a、寬b、厚h的功能梯度矩形板，紅色代表局部支承長(zhǎng)度。功能梯度板由陶瓷和金屬混合物制成，上表面為陶瓷，下表面為金屬，其材料特性被認(rèn)為符合冪律函數(shù)。則功能梯度板的彈性模量E和密度ρ可分別表示為

圖1 3種支承條件下的功能梯度板Figure 1 Functional gradient plate under three supporting conditions

功能梯度板的物理方程可以表示為

2 數(shù)值算例

式（12）結(jié)合邊界條件可以解得各階固有頻率及其模態(tài)，本文采用四邊固支（簡(jiǎn)稱CCCC）和四邊簡(jiǎn)支（簡(jiǎn)稱SSSS）兩類局部支承邊界條件來(lái)對(duì)功能梯度板的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值分析，功能梯度板的材料性能參數(shù)與幾何參數(shù)如表1所示。

表1 物理參數(shù)值Table 1 Values for physical parameters.

為驗(yàn)證本文建立的有限元模型的正確性，分別利用本文方法和ANSYS軟件計(jì)算了純金屬和純陶瓷板的前三階固有頻率，并在圖2～4給出了四邊固支陶瓷板對(duì)應(yīng)的100%、50%和25%支承的模態(tài)，四邊簡(jiǎn)支的板的模態(tài)圖形有類似形狀，篇幅所限不再給出。對(duì)比可見(jiàn)，隨著支承范圍的縮小，各階模態(tài)變化明顯：第一階模態(tài)表現(xiàn)出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的特性，但最大振幅處仍然在板的中心位置；第二階模態(tài)仍然有兩個(gè)最大振幅，但最大振幅位置逐漸向局部自由的邊界處靠近；第三階模態(tài)更加復(fù)雜，從面內(nèi)四個(gè)最大振幅過(guò)渡到邊界上四個(gè)最大振幅。由式（1）可知，梯度指數(shù)的變化意味著材料密度和彈性模量的變化，k=0代表純陶瓷板，k=+∞代表金屬板。前三階固有頻率分別在表2～4給出。由表2可見(jiàn)，100%固支支承時(shí)隨著模態(tài)階次升高誤差增大，第三階固有頻率誤差為1.27%；100%簡(jiǎn)支支承時(shí)有類似規(guī)律，不同的是第三階頻率的誤差僅為0.86%，說(shuō)明本文方法更適用于簡(jiǎn)支條件。ANSYS采用10 000個(gè)SHELL181單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)6個(gè)自由度。本文方法采用400個(gè)單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)自由度。正是由于單元數(shù)量和節(jié)點(diǎn)自由度的差異導(dǎo)致本文結(jié)果的誤差。表3和表4分別為50%和25%支承時(shí)的對(duì)比數(shù)據(jù)，誤差與100%支承接近，但是采用了2 304個(gè)單元，說(shuō)明在局部支承時(shí)需要更多的單元來(lái)滿足精度要求。

表2 100%支承前三階固有頻率對(duì)比Table 2 Comparison of the first three order natural frequencies with 100%support

表3 50%支承前三階固有頻率對(duì)比Table 3 Comparison of the first three order natural frequencies with 50%support

表4 25%支承前三階固有頻率對(duì)比Table 4 Comparison of the first three order natural frequencies with 25%support

圖2 固支100%支承下陶瓷板前三階振動(dòng)模態(tài)Figure 2 The first three vibration modes of ceramic plate with 100%fixed support

圖3 固支50%支承下陶瓷板前三階振動(dòng)模態(tài)Figure 3 The first three vibration modes of ceramic plate with 50%fixed support

圖4 固支25%支承下陶瓷板前三階振動(dòng)模態(tài)Figure 4 The first three vibration modes of ceramic plate with 25%fixed support

圖5～7給出了100%固支和簡(jiǎn)支條件下的前三階固有頻率隨梯度指數(shù)的變化規(guī)律，梯度指數(shù)對(duì)固有頻率的影響及其成因已有較多報(bào)道[14-15]，這里不再贅述。對(duì)比3 種支承范圍可以發(fā)現(xiàn)，支承由100%降低到25%時(shí)，固支邊界對(duì)應(yīng)的一至三階固有頻率分別降低約43%、50%和62%，而簡(jiǎn)支邊界對(duì)應(yīng)的一至三階固有頻率分別降低約37%、47%和61%，這一規(guī)律與梯度指數(shù)無(wú)關(guān)。同時(shí)，圖5中100%固支支承時(shí)，第二階和第三階固有頻率的數(shù)值分別接近第一階固有頻率的2倍和3倍；而圖6中50%固支支承時(shí)，這一關(guān)系為1.91倍和2.3倍；在圖7中25%固支支承時(shí)這一關(guān)系為1.76倍和1.96倍，同樣這一規(guī)律也與梯度指數(shù)無(wú)關(guān)。由于第二和第三階固有頻率相對(duì)第一階固有頻率的倍數(shù)在減小，且這兩個(gè)倍數(shù)在數(shù)值上也逐漸接近，這使得圖6和圖7的第二階和第三階頻率看起來(lái)更接近。

類似地，圖5中100%簡(jiǎn)支支承時(shí)，第二階和第三階固有頻率的數(shù)值分別接近第一階固有頻率的2.5倍和4倍；而圖6中50%簡(jiǎn)支支承時(shí)，這一關(guān)系為2.2倍和2.7倍；在圖7中25%簡(jiǎn)支支承時(shí)這一關(guān)系為1.9倍和2.3倍，這一倍數(shù)關(guān)系比固支板更大，同樣這一規(guī)律也與梯度指數(shù)無(wú)關(guān)。因此局部簡(jiǎn)支的第二和第三階頻率看起來(lái)差值更小。據(jù)以上現(xiàn)象可以進(jìn)一步推論，隨著支承范圍的進(jìn)一步減小，第一階固有頻率將進(jìn)一步降低，同時(shí)第二和第三階固有頻率在極限情況下將重合。

圖5 100%支承前三階固有頻率與梯度指數(shù)關(guān)系Figure 5 First three order natural frequencies vs.gradient index with 100%support

圖6 50%支承前三階固有頻率與梯度指數(shù)關(guān)系Figure 6 First three order natural frequencies vs.gradient index with 50%support

圖7 25%支承前三階固有頻率與梯度指數(shù)關(guān)系Figure 7 First three order natural frequencies vs.gradient index with 25%support

3 結(jié)論

基于Mindlin板理論，采用四邊形單元離散板域，應(yīng)用虛功原理建立了功能梯度板的自由振動(dòng)有限元模型，針對(duì)四邊固支和四邊簡(jiǎn)支兩類邊界條件，考慮各邊25%、50%和100%3種局部支承條件，通過(guò)與ANSYS軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，證實(shí)了本文方法的正確性，并給出了固支條件下的模態(tài)。隨后分析了梯度指數(shù)和局部支承范圍對(duì)系統(tǒng)固有振動(dòng)的影響。梯度指數(shù)改變導(dǎo)致板材料參數(shù)變化，進(jìn)而影響各階固有頻率，梯度指數(shù)越大各階固有頻率越大。隨著支承范圍的減小，各階模態(tài)變化較大，同時(shí)各階固有頻率相應(yīng)變化。具體體現(xiàn)為各階固有頻率隨支承范圍降低逐漸降低，但階次越高降低的幅度越大，使得第二和第三階頻率逐漸接近，同時(shí)固支板的降幅大于簡(jiǎn)支板。