基于Catmull-Rom算法的樣條曲線在測(cè)繪CAD制圖軟件中的應(yīng)用研究

賀衛(wèi)中，陳 昀

(常州市自然資源和規(guī)劃服務(wù)中心，江蘇 常州 213022)

0 引 言

按傳統(tǒng)測(cè)繪CAD制圖方法，地物空間、形狀的表達(dá)是先采集必要的測(cè)量點(diǎn)，然后構(gòu)造直線、規(guī)則曲線來(lái)表達(dá)地物的形狀。對(duì)于多數(shù)規(guī)則地形要素，通過(guò)少量特征點(diǎn)即可以準(zhǔn)確表達(dá)該地物的空間特征。而對(duì)于一些不規(guī)則要素如彎曲的小路、等高線等，若想準(zhǔn)確表達(dá)其特點(diǎn)，則需要采集較多的特征點(diǎn)以保證其實(shí)際形狀，而這無(wú)疑會(huì)增大內(nèi)外業(yè)的測(cè)繪工作量，降低工作效率[1]。

樣條曲線是指通過(guò)給定一組控制點(diǎn)而繪制得到一條曲線，曲線的形狀大致由這些點(diǎn)進(jìn)行控制，一般可分為插值樣條和逼近樣條兩種，目前樣條曲線在CAD機(jī)械設(shè)計(jì)等方面得到了廣泛應(yīng)用。為解決不規(guī)則地物測(cè)繪效率較低的問(wèn)題，本文對(duì)基于Catmull-Rom算法的樣條曲線進(jìn)行了研究，使用少數(shù)特征點(diǎn)，對(duì)地物曲線及等高線進(jìn)行插值擬合，從而還原連續(xù)但不規(guī)則地物的形狀特征。

1 Catmull-Rom數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

Catmull-Rom樣條曲線是從三次曲線方程演變而來(lái)的，是一種分段式連續(xù)平滑曲線[2]，相對(duì)于廣泛使用的B樣條曲線，Catmull-Rom樣條的曲線會(huì)經(jīng)過(guò)其每一個(gè)控制點(diǎn)。圖1即為基本的Catmull-Rom樣條曲線，該曲線共有4個(gè)控制點(diǎn)，分別為P0，P1，P2，P3，另外定義一個(gè)浮點(diǎn)坐標(biāo)t，t∈[0.0，1.0]。

圖1 Catmull-Rom曲線

Catmull-Rom曲線方程為：

(1)[3]

該曲線方程又可表示為：

綜上可知，Catmull-Rom樣條曲線通過(guò)控制點(diǎn)，且曲線在控制點(diǎn)處的切線與前后兩控制點(diǎn)連線平行，增加控制點(diǎn)后其每一分段均可以獨(dú)立計(jì)算，且分段間可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)平滑。該特性較適用于在測(cè)量點(diǎn)數(shù)較少的情況下對(duì)平滑連續(xù)但不規(guī)則的地形要素如小路、地類界、花圃、等高線等進(jìn)行擬合。

2 應(yīng)用研究

2.1 基于Vb.net的代碼實(shí)現(xiàn)

使用Vb.net對(duì)AutoCAD進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，實(shí)現(xiàn)了測(cè)繪制圖中Catmull-Rom曲線的生成功能。由上節(jié)Catmull-Rom樣條曲線數(shù)據(jù)基礎(chǔ)可知，每次插值生成曲線均需要4個(gè)基礎(chǔ)控制點(diǎn)，因此首先定義4個(gè)特征點(diǎn)P0、P1、P2、P3，定義浮點(diǎn)t，按式2可計(jì)算P1與P2之間的插值點(diǎn)X/Y坐標(biāo)，代碼如圖2所示。

圖2 Catmull-Rom基礎(chǔ)插值算法

由于Catmull-Rom樣條曲線只能生成P1到P2點(diǎn)之間的曲線，若需要生成P0到P1與P2到P3之間的曲線，則需要新增其它測(cè)量點(diǎn)，在實(shí)際CAD制圖情況中，按閉合面與非閉合的情況兩種情況進(jìn)行分類處理。

(1)閉合面：閉合面中所有測(cè)量點(diǎn)是循環(huán)且連續(xù)的，因此對(duì)于其中任意相鄰兩點(diǎn)間的樣條曲線，不需要添加新的測(cè)量控制點(diǎn)，通過(guò)連續(xù)的4個(gè)測(cè)量點(diǎn)即可直接生成，圖3中代碼即為閉合面起點(diǎn)與第二點(diǎn)之間的曲線生成，其中PointOnCatmullRomCurve為Catmull-Rom基礎(chǔ)插值算法。

圖3 閉合面生成樣條曲線

圖4 非閉合面生成樣條曲線

在實(shí)際測(cè)繪CAD制圖過(guò)程中，需要根據(jù)測(cè)量比例尺情況，確定兩兩特征點(diǎn)之間的插值數(shù)，插值數(shù)越大，則曲線平滑度越高。通過(guò)軟件算法計(jì)算得到所有插值點(diǎn)坐標(biāo)后，將所有點(diǎn)(包括測(cè)量點(diǎn)與插值點(diǎn))進(jìn)行連線，即形成了覆蓋所有測(cè)量點(diǎn)的Catmull-Rom樣條曲線。

2.2 Catmull-Rom樣條曲線在不規(guī)則地物繪制中的運(yùn)用

在日常測(cè)繪中，經(jīng)常會(huì)遇到一些帶弧度的不規(guī)則地物，如圖5所示,測(cè)設(shè)該段草地外圍曲線共采集了50多個(gè)測(cè)量點(diǎn)，工作量相對(duì)較大，而Catmull-Rom樣條曲線的方法運(yùn)用能夠一定程度減輕工作量，并使最后成果與實(shí)際地形高度擬合。

圖5 彎曲的不規(guī)則地物

如圖6所示，基于AutoCAD 2019開(kāi)發(fā)了多種樣條曲線生成算法，包含B樣條曲線、貝塞爾曲線、Catmull-Rom樣條曲線、Chaikin曲線。對(duì)于該草地外沿曲線，在其轉(zhuǎn)折處、頂點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)位提取了19個(gè)特征點(diǎn)，并在AutoCAD里面使用各類樣條曲線進(jìn)行生成測(cè)試，生成結(jié)果如圖7所示。

圖6 各類樣條曲線

圖7 各類樣條曲線生成效果

由生成結(jié)果可以看出，貝塞爾曲線、B樣條曲線、Chaikin曲線均為逼近樣條曲線，貝塞爾曲線與真實(shí)地形相差較大，B樣條曲線、Chaikin曲線相差較小，但曲線并未通過(guò)測(cè)量點(diǎn)。Catmull-Rom樣條曲線為插值樣條曲線，與真實(shí)地形相差最小，且全部通過(guò)設(shè)定的測(cè)量點(diǎn)，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

2.3 Catmull-Rom算法在等高線繪制中的運(yùn)用

地形圖等高線插值一般需要滿足以下規(guī)則要求：① 曲線通過(guò)已知的等高線點(diǎn)；② 曲線在節(jié)點(diǎn)處光滑，具有連續(xù)的一階(或二階)導(dǎo)數(shù)；③ 曲線不應(yīng)自身相交；④ 逼近地形效果好[5]等。目前大部分軟件等高線擬合方式有：等值直線、張力樣條曲線、3次B樣條、Spline擬合等。

等高線插值規(guī)則與Catmull-Rom樣條曲線的特性十分相似，本文對(duì)Catmull-Rom算法繪制等高線進(jìn)行了試驗(yàn)，并基于CAD進(jìn)行了相關(guān)開(kāi)發(fā)。按照等高線自動(dòng)生成的步驟，首先將各高程點(diǎn)展點(diǎn)，然后根據(jù)高程點(diǎn)坐標(biāo)與高程構(gòu)建TIN，如圖8(a)所示。

基于生成的TIN，按等值直線與Catmull-Rom算法擬合兩種方式生成的等高線成果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖8所示。圖8(b)為等值直線的生成效果，圖8(c)為Catmull-Rom樣條曲線效果。從結(jié)果可以看出，Catmull-Rom算法擬合的等高線相交的情況極少，平滑度較高且與實(shí)際情況非常吻合，后期等高線局部調(diào)整工作量相對(duì)較小，更加適用于平時(shí)的測(cè)繪內(nèi)業(yè)工作。

圖8 等高線生成結(jié)果

3 結(jié) 語(yǔ)

基于Catmull-Rom算法的樣條曲線具有通過(guò)所有控制點(diǎn)且連續(xù)平滑的特點(diǎn)，與其它各類樣條曲線相比，生成的曲線與實(shí)際形狀更加符合。通過(guò)二次開(kāi)發(fā)Catmull-Rom算法的樣條曲線生成程序，實(shí)現(xiàn)了依靠少數(shù)關(guān)鍵特征點(diǎn)即能生成符合地物形狀的曲線，另外該算法生成的等高線平滑度較高且后期調(diào)整量較少，能夠有效地提高測(cè)繪內(nèi)外業(yè)效率。