“三招”破解平面向量數(shù)量積的最值問題

周小宏

平面向量兼有“數(shù)”和“形”兩種身份，因而解答平面向量問題往往可從“數(shù)”和“形”兩方面人手，尋找不同的解題思路.平面向量數(shù)量積的最值問題主要考查平面向量的數(shù)量積公式、數(shù)乘運算法則、三角形法則、平行四邊形法則、模的公式等.其命題形式多種多樣.那么，如何選擇合適的方法進行求解呢？下面結(jié)合實例來進行探討.

一、基底法

基底法是求解平面向量問題的重要方法.由平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，可知平面內(nèi)的任意一個向量都可用基底表示出來.若不易求得目標向量，可根據(jù)幾何圖形的特點，選擇兩個基底，將目標向量用基底表示出來，通過平面向量運算求得數(shù)量積的表達式，再根據(jù)幾何圖形的特點和位置關(guān)系找出表達式取得最小值的情形，即可求得平面向量數(shù)量積的最值.

二、坐標法

有些平面向量數(shù)量積的最值問題涉及的圖形為規(guī)則圖形，如矩形、直角三角形、等腰三角形等，此時，可根據(jù)幾何圖形的特點尋找垂直的兩條線段，據(jù)此建立平面直角坐標系，設(shè)出或求得各個點的坐標，并求得各個向量的方向向量，便可通過平面向量的坐標運算求得數(shù)量積的表達式，最后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求得最值.

三、函數(shù)性質(zhì)法

對于與動點有關(guān)的平面向量數(shù)量積的最值問題，常需運用函數(shù)性質(zhì)法求解.首先需根據(jù)解題需求設(shè)出變量，然后根據(jù)平面向量的基本定理、共線定理、數(shù)乘運算法則、數(shù)量積公式等求得目標式，再將其看作函數(shù)式，利用函數(shù)的有界性、單調(diào)性、最值來求得數(shù)量積的最值.

我們根據(jù)平面向量的共線定理，設(shè)出參數(shù)t，并用t表示出 OP·AP，然后將其看作關(guān)于t的二次函數(shù)式，通過配方，便可利用二次函數(shù)的有界性求得數(shù)量積的最小值.

相比較而言，基底法比較常用，且適用范圍較廣;坐標法和函數(shù)性質(zhì)法雖適用范圍較窄，但運算量較小.在解題時，同學(xué)們可根據(jù)題意和幾何圖形的特點靈活選用. （作者單位：江蘇省泰興市第三高級中學(xué)虹橋校區(qū)）