讓“線段圖”活起來
——以“和倍問題”教學為例

浙江紹興市柯橋區(qū)管寧實驗小學（312030）魏 雯

線段圖是由幾條線段組合在一起，常用來表示問題中的數(shù)量關(guān)系，是用于題意分析和問題解答的一種平面圖形。利用線段圖可以幫助學生解決一些稍復雜的問題。尤其到了小學的中高年級段，很多學生對于一些抽象的問題理解起來相對比較吃力，而線段圖的準確表達能幫助學生理解各個量之間的關(guān)系，從而分析并解決問題，達到事半功倍的學習效果。

那么，線段圖在小學數(shù)學教學中的實際應(yīng)用情況如何呢？

一、線段圖在學生心目中的地位

人教版教材第一次正式介紹線段圖是在三年級上冊，本冊一共出現(xiàn)兩個用線段圖來解決的問題：一個是“倍”的問題，另一個是“歸總”問題。那么，對于這個學段的學生來說，線段圖在他們心目中有著怎樣的地位呢？筆者設(shè)計了一個調(diào)查表，對所教三年級的兩個班共85位學生進行了調(diào)查，具體內(nèi)容如表1所示。

表1 利用線段圖解決問題小調(diào)查

續(xù)表

調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如圖1所示。

圖1

從調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果中可以看出，學生對于線段圖有一定的了解，但還不夠深入，不會靈活應(yīng)用。很多學生在解決問題時如果教師事先沒有要求利用線段圖，很多學生在解決問題時很少會想到線段圖。大部分學生在教師的提醒下能夠畫出線段圖并能較好地理解線段圖所表示的意思，由此可以看出，線段圖在學生理解題意及解題上有很大的幫助。

二、線段圖在“和倍問題”中的靈活應(yīng)用

1.從“物”到“線”，發(fā)現(xiàn)“它”

從抽樣調(diào)查結(jié)果可以看出，很多學生對于線段圖有一種莫名的恐懼。想讓學生真正利用線段圖，首先要讓學生做到不害怕，則需要讓學生發(fā)現(xiàn)線段圖其實就在身邊，并且是常常見面的“老朋友”，只是它會穿上一件“實物”的外衣。比如，二年級上冊第二單元“100以內(nèi)的加法和減法”中的解決問題教學：如圖2，一班得了12面小紅旗，二班比一班多得3面。二班得了多少面？其中，實物“小旗”整齊的排列就有線段圖的影子。類似這樣的例子在一、二年級的數(shù)學教材中還有很多。

圖2

將實物圖慢慢轉(zhuǎn)化成線段圖，幫助學生從形象思維過渡到抽象思維。

【教學片段1】

出示：蘋果的個數(shù)是梨的4倍。

師：你能用畫圖的方式表示它們之間的關(guān)系嗎？

圖3

圖4

師：你們對這兩位同學的表示方法有什么評價？

生3：這里沒有告訴我們蘋果的個數(shù)，感覺生2更加準確地表達了蘋果和梨之間的關(guān)系。

師：兩幅圖之間是否存在聯(lián)系？

生4：都表達了蘋果的個數(shù)是梨的4倍。

教師把兩幅圖重合在一起：

圖5

師（指著梨的部分）：這里的梨除了是1個，還可以是其他個數(shù)嗎？

生5：2個、3個……很多個。

師（指著蘋果部分）：如果梨的一小段表示2個，那么蘋果的一小段表示幾個？

生6：2個。

師：如果梨的一小段表示5個，那么蘋果的一小段表示幾個？

……

師：可見線段圖從實物圖而來，卻又比實物圖更簡潔。

上述教學中，通過實物圖與線段圖的比對，讓學生感知線段圖與實物圖之間的聯(lián)系，明白線段圖從實物圖中來，卻又比實物圖更簡潔。線段圖中的一小段中可以表示1，表示2，以及更大的數(shù)，而實物圖往往會有局限性。學生體會到線段圖帶來的便利，進而明白線段圖的重要性。

2.一“線”多用，靠近“它”

很多時候，學生對于線段圖這一解題工具的使用僅限于一道題，每每遇到新的情況，又會從頭來思考。觀察學生所畫的線段圖，還會發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象，當數(shù)據(jù)大時，學生總喜歡把線段畫得長一些，反之亦然，但實際上數(shù)據(jù)的大小與所畫線段圖的長短并沒有關(guān)聯(lián)。這些現(xiàn)象表明，學生顯然對于線段圖的實際使用還沒有形成正確的認識。讓學生正確理解和認識線段圖是教學的重中之重。

【教學片段2】

出示：兩筐蘋果一共重35千克，第一筐是第二筐的4倍，第一筐蘋果和第二筐蘋果各有多少千克？

師：你能用畫線段圖的方法來解決這個問題嗎？請大家畫一畫，算一算。

出示學生的線段圖：

圖6

出示學生的算式：

（1）35÷（1+4）=7（千克），35-7=28（千克）；

（2）7×5=35（千克），35-7=28（千克）；

（3）35÷5=7（千克）。

生1：第二筐畫1段，而第一筐是第二筐的4倍，所以第一筐要畫4段，每段就是35÷5。

師：5表示什么？

生2（上臺邊指線段圖邊講）：從圖上來看，5就是1段加4段，第二筐有1段，第一筐有4段，一共就是5段，而5段對應(yīng)的是35千克，所以35除以5就可以算出一段是多少。

師：大家聽懂了嗎？有不一樣的想法嗎？

……

師：同樣的線段圖，剛才表示蘋果的個數(shù)是梨的4倍，現(xiàn)在表示兩筐蘋果。現(xiàn)在一段線段所表示的數(shù)是多少？

生3：7千克。

師：那么這樣的線段圖還能有其他的應(yīng)用嗎？

出示：班級里有科技書和音樂書一共72本，科技書是音樂書的3倍，科技書有多少本？

生4：現(xiàn)在我們只需要在原來的那條線段圖上去掉一段就可以了。音樂書畫1段，科技書畫3段，一共就有4段。

師：現(xiàn)在一段線段又表示多少呢？

生5：18本。

師：同類型的線段圖，幫助我們解決了3個問題。你能根據(jù)此類線段圖自己編一道題考考大家嗎？

上述教學中，通過對同類型線段圖的重復利用，讓學生根據(jù)給出的線段圖自己創(chuàng)編題目，幫助學生進一步理解線段圖的本質(zhì)。可見，同一類型的解決問題能用相似的線段圖來解決，幫助學生舉一反三。

3.“線”“線”聯(lián)系，理解“它”

要讓線段圖成為學生解決問題時的首選，就要挖掘線段圖的內(nèi)在優(yōu)勢，利用線段圖進行創(chuàng)造性的學習活動。

【教學片段3】

出示題目：（1）教室里有科技書和音樂書一共72本，科技書是音樂書的3倍多4本，科技書和音樂書各有多少本？

（2）教室里有科技書和音樂書一共72本，科技書是音樂書的4倍少13本，科技書和音樂書各有多少本？

師：大家仔細觀察一下，題目發(fā)生了什么變化？你還能解決嗎？

（學生自主完成，集體交流）

師：題（1）中，一份表示幾？

生1：17本。

師：題（2）中，一份表示幾？

生2：17本。

師：仔細觀察線段圖（圖略），你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：從線段圖中可以看出，題（1）中多的4本和題（2）中少的13本正好能合成一份。

生4：科技書是音樂書的3倍多4本，等同于科技書是音樂書的4倍少13本。

師：你能根據(jù)該線段圖自己編一組題考考大家嗎？

上述教學中，利用兩組線段圖的內(nèi)在聯(lián)系，更好地幫助學生理解“和倍”問題，讓學生感受這類問題是“線與線”之間的聯(lián)系。同時，引導并放手讓學生從自己的知識經(jīng)驗出發(fā)自主構(gòu)建線段圖，通過實踐操作，感受線段圖的直觀、形象和實用，增強運用線段圖的自主性。

綜上，線段圖可以直觀地幫助學生分析題意，并簡潔明了地標示出題中復雜的數(shù)量關(guān)系，進而開拓學生的數(shù)學思維。小學生的年齡特點和心理特點，使得小學生對要解決的問題理解并不是很透徹。問題中大量復雜的數(shù)量關(guān)系和文字敘述使學生產(chǎn)生畏懼心理。教師要讓線段圖真正用起來，真正“活”起來，培養(yǎng)學生的作圖意識并不是一蹴而就的，需要在教學過程不斷地滲透，在教學實踐中積極探索，讓學生在潛移默化中將線段圖的應(yīng)用落到實處。