相干信源的DOA空間譜估計(jì)研究

李君惠 楊志強(qiáng) 華 雷

(四川九洲空管科技有限責(zé)任公司 四川綿陽 621000)

0 引言

陣列信號(hào)處理中的一個(gè)重要且常用的領(lǐng)域就是DOA空間譜估計(jì)，想要對(duì)目標(biāo)進(jìn)行超分辨測向，必須計(jì)算出信號(hào)的空間譜。在實(shí)際空間環(huán)境中，由于反射遮擋等因素造成了多徑干擾，因此存在大量的相干信源。當(dāng)要進(jìn)行DOA的信源完全相干的時(shí)候，接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的秩降為一，DOA的信源數(shù)就要大于DOA子空間，因此，傳統(tǒng)的DOA算法，如MUSIC算法，不能對(duì)相干信號(hào)源進(jìn)行分辨測向。DOA算法對(duì)相干信源的超分辨測向一直具有研究意義。

1 MUSIC算法原理以及仿真分析

1.1 MUSIC算法原理

當(dāng)接收信號(hào)為窄帶時(shí)，天線陣列傳播期間接收到的信號(hào)的包絡(luò)可以認(rèn)為是恒定的。陣列天線為線陣時(shí)，天線陣列和信源為同一平面內(nèi)，陣元間距為，接收的信號(hào)數(shù)目為，信源方向(=1,2,…,)入射根天線，如圖1所示。

圖1 均勻線陣

入射信號(hào)向量()為

()=((),(),…())

(1)

線陣響應(yīng)矢量為

(2)

方向矩陣為

=[(),(),…,()]

(3)

接收到信號(hào)為

()=()()+…()()

(4)

實(shí)際中存在噪聲，陣列接收信號(hào)為

()=()+()

(5)

式(5)中，()表示為白噪聲向量；()表示為空間信號(hào)向量；()表示為接收數(shù)據(jù)向量；表示為方向矩陣。接收信號(hào)的空間相關(guān)矩陣可為

=[()()]=+

(6)

對(duì)式(6)中的進(jìn)行特征值分解，其中,,…,為特征值，由此,,…,是對(duì)應(yīng)的特征向量。其中與信號(hào)有關(guān)的特征值為,,…,，剩下的是與噪聲有關(guān)的-特征值，綜上可以定義噪聲子空間表示為

=[+1,+2,…,]

由此，MUSIC的譜估計(jì)為

(7)

式(7)中，信號(hào)入射方向也就是MUSIC譜函數(shù)中的第個(gè)峰值相應(yīng)的位置。

1.2 MUSIC算法仿真分析

利用Matlab仿真軟件產(chǎn)生3路信源，并仿真MUSIC算法，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)條件

在表1的條件下，用Matlab仿真給出了MUSIC測向結(jié)果，如圖2所示。

圖2 MUSIC算法仿真

圖2(a)仿真采用3路非相干信源，圖2(b)仿真采用兩個(gè)相干信源，方向?yàn)?40°和方向?yàn)?0°。圖2的仿真結(jié)果可得出結(jié)論，MUSIC算法可以有效地對(duì)非相干信源進(jìn)行測向，當(dāng)信源為相干信源時(shí)，MUSIC算法失效。

2 相干算法原理及仿真分析

在處理強(qiáng)相干信源的方法中，主要分為兩種：第一種方法采用非降維處理；第二方法采用降維處理。在這些方法中，空間平滑、矢量奇異值類、矩陣分解為降維處理算法；Toeplitz算法、改進(jìn)MUSIC算法為非降維處理算法。

2.1 空間平滑SS-MUSIC算法原理

為解決相干信源的超分辨測向，提出了只適合于均勻線陣的空間平滑算法(SS-MUSIC)算法。SS-MUSIC算法為了恢復(fù)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，采用子陣平滑的方法，算法分為：

1)前向平滑MUSIC算法(FSS)；

2)后向平滑MUSIC算法(BSS)；

3)修正的空間平滑MUSIC算法(MSS)。

空間平滑技術(shù)是對(duì)付強(qiáng)相關(guān)信號(hào)的有效方法，其算法原理是將均勻線陣(陣元)分成個(gè)相互重疊的子陣，其中每一個(gè)子陣的陣元數(shù)為，因此=+-1，為恢復(fù)滿秩協(xié)方差矩陣，需要求得各子陣協(xié)方差矩陣的均值。當(dāng)相干信源數(shù)大于子陣的陣元數(shù)目時(shí)，前后向平滑數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣均是滿秩矩陣。修正的空間平滑算法的實(shí)質(zhì)對(duì)前后向平滑矩陣的平均。經(jīng)過分析可知，F(xiàn)SS算法和BSS算法相比于MSS算法具有更大的孔徑損失，同時(shí)FSS算法和BSS算法可分辨的信源數(shù)相較于MSS算法更少，因此本文只仿真MSS算法。

2.2 改進(jìn)空間平滑ISS-MUSIC算法原理

在前述基礎(chǔ)上進(jìn)一步做相應(yīng)的互相關(guān)處理，最后對(duì)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行加和平均，即得到其等效的空間平滑矩陣。在文獻(xiàn)[6]中，作者改進(jìn)了平滑空間算法，ISS-MUSIC算法首先對(duì)信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正，然后根據(jù)修正后的空間平滑矩陣做波達(dá)方向估計(jì)計(jì)算，ISS-MUSIC算法具有更好的分辨力。

2.3 Toeplitz算法

陣列接收的數(shù)據(jù)在理想情況下，其協(xié)方差矩陣具有Toeplitz性質(zhì)，然而在實(shí)際情況下，接收到的數(shù)據(jù)會(huì)受到誤差的影響，尤其是信噪比很低的時(shí)候，接收數(shù)據(jù)的的協(xié)方差矩陣通常為對(duì)角占優(yōu)的矩陣。因此要想得到接近真實(shí)的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可通過對(duì)其進(jìn)行Toeplitz預(yù)處理。

Toeplitz算法與矩陣分解算法、空間平滑算法以及矢量重構(gòu)算法不同，因?yàn)樵撍惴ǖ慕庀喔傻男阅苁峭ㄟ^改變協(xié)方差矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)獲得的，不是由降低自由度而獲得，因此，Toeplitz算法具有相對(duì)更高的陣列的孔徑利用率。由于信號(hào)的先驗(yàn)信息沒有在算法的數(shù)據(jù)重構(gòu)中得到反應(yīng)，故而當(dāng)信號(hào)源功率不同時(shí)，算法的DOA估計(jì)精度就會(huì)相對(duì)不理想，以上分析會(huì)在其后的仿真中進(jìn)一步展示說明。

2.4 矢量奇異值VSV-MUSIC算法

矢量奇異值算法基于定理：陣列接收的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征值分解后，其特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量為各信號(hào)源導(dǎo)向矢量的一個(gè)線性組合，與信號(hào)源是否相干并沒關(guān)系。分析得出，當(dāng)信號(hào)源相干時(shí)，其數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣秩是1，其特征值分解后，只有一個(gè)最大特征值，其對(duì)應(yīng)的特征矢量包含所有相干源的信息，因此利用最大特征矢量來解相干。VSV-MUSIC算法需要找出一個(gè)矢量，并且這個(gè)矢量要含有所有信號(hào)源的信息，同樣只適用于均勻線陣。

2.5 矩陣分解MD-MUSIC算法

矩陣分解算法的思想和空間平滑相似，只是矩陣分解類算法陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，對(duì)其進(jìn)行分塊分解，然后增廣重構(gòu)。可以證明：理想情況下重構(gòu)后的矩陣的秩等于信源數(shù)。MD算法是針對(duì)理想情況下的矩陣重構(gòu)，與空間平滑技術(shù)相似，都是通過降低自由度獲得的，同樣只適用于均勻線陣。

2.6 相干算法仿真及對(duì)比

實(shí)驗(yàn)一：兩相干源下MSS-MUSIC算法與傳統(tǒng)MUSIC算法仿真測向?qū)Ρ取?/p>

利用Matlab軟件仿真，陣列接收信號(hào)為-40°和10°的兩個(gè)相干信源，仿真條件見表1所示，并進(jìn)一步給出了MSS-MUSIC算法和傳統(tǒng)MUSIC算法的測向結(jié)果，如圖3所示。

圖3 MSS-MUSIC與MUSIC算法仿真(兩相干信源)

圖3中，虛線表示傳統(tǒng)MUSIC仿真結(jié)果，實(shí)線表示MSS-MUSIC仿真結(jié)果，對(duì)比可知，當(dāng)接收信號(hào)為相干信源時(shí)，傳統(tǒng)MUSIC算法不能實(shí)現(xiàn)DOA測向，而MSS-MUSIC算法可以實(shí)現(xiàn)較好的DOA測向。

實(shí)驗(yàn)二：三相干源下MSS-MUSIC算法和ISS-MUSIC的仿真測向?qū)Ρ取?/p>

在表1的條件下，-40°、10°以及60°信源采用相干信源，按用Matlab仿真給出了平滑MSS-MUSIC測向結(jié)果和ISS-MUSIC測向結(jié)果，如圖4所示。

圖4 兩種平滑MUSIC算法仿真(相干信源)

根據(jù)圖4對(duì)比分析可知，ISS-MUSIC算法形成的譜峰高度要高于MSS-MUSIC算法的譜峰，并且ISS-MUSIC算法的譜峰要比MSS-MUSIC算法的譜峰更尖銳，因此可以認(rèn)為ISS-MUSIC算法的性能要比MSS-MUSIC優(yōu)越。

實(shí)驗(yàn)三：三相干源下各類相干算法的仿真測向?qū)Ρ取?/p>

在表1的條件下，-40°、10°以及60°信源采用相干信源，用Matlab仿真給出了ISS-MUSIC測向結(jié)果、Toeplitz算法測向結(jié)果、VSV-MUSIC測向結(jié)果以及MD_MUSIC測向結(jié)果，如圖5所示。

圖5 四種平滑MUSIC算法仿真(相干信源)

圖5可以看出，在三個(gè)相干源時(shí)，Toeplitz算法測向精度明顯小于其他三種算法，且譜峰的峰值高度也明顯低于其他三種算法，因此Toeplitz算法在三個(gè)相干源時(shí)，效果最差。在ISS-MUSIC、MD-MUSIC以及VSV-MUSIC測向算法中，MD-MUSIC譜峰值略高于ISS-MUSIC和VSV-MUSIC，圖5可知ISS-MUSIC和VSV-MUSIC曲線幾乎重合，測向精度三種算法大體相當(dāng)，因此進(jìn)一步分析在不同信噪比情況下的性能。

實(shí)驗(yàn)四：三相干源下各類相干算法的RMSE對(duì)比。

在表1的條件下，信噪比為-10dB到10dB。Matlab仿真給出了ISS-MUSIC測向結(jié)果、Toeplitz算法測向結(jié)果、VSV-MUSIC測向結(jié)果以及MD_MUSIC測向結(jié)果，如圖5所示。

圖6可以看出，在不同信噪比的情況下，Toeplitz算法的測向精度最高，且有相對(duì)較高的譜峰高度，其次是VSV-MUSIC和MD-MUSIC算法，其他的誤差較大。因此在低信噪比下，Toeplitz算法最優(yōu)。

圖6 四種滑MUSIC算法仿真(低信噪比)

3 結(jié)束語

根據(jù)以上分析，對(duì)八元超分辨給出以下建議：

1)若實(shí)際情況中，要估計(jì)三個(gè)相關(guān)源，且信噪比較高，優(yōu)先選擇VSV-MUSIC算法，其次是ISS-MUSIC算法以及MD-MUSIC算法。

2)若實(shí)際情況中，信噪比較低，且對(duì)分辨力和估計(jì)誤差要求不高，應(yīng)該選擇Toeplitz算法。