初高中視野下對(duì)一類(lèi)面積最值問(wèn)題的再認(rèn)識(shí)

何興月

【摘要】正方形是完美的四邊形.正因?yàn)檎叫卧谛螤睢⒔嵌?、邊長(zhǎng)等方面的特殊性，使得無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家、解題愛(ài)好者對(duì)它進(jìn)行著不懈的研究.其中，正方形的“半角”模型即是其中的一朵絢麗的小花.這個(gè)模型主要研究正方形與一個(gè)45°的角組成的三角形（其中角的頂點(diǎn)與正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，角的兩邊與正方形的兩邊分別相交，構(gòu)成一個(gè)特定的三角形），求該三角形面積的最小值.與該研究結(jié)果相關(guān)的初中幾何相似證明的例題、變形、推廣成果也豐富多彩，從而使得“45°”成為活躍在正方形中的一個(gè)特別“音符”.

本文結(jié)合筆者的教學(xué)體會(huì)和解題思考，從初高中不同的觀點(diǎn)出發(fā)，給出了六種求該三角形面積最小值的方法，并得到三角形面積最小值的公式.又在此基礎(chǔ)上將正方形推廣到矩形的情況，得到在矩形中求該三角形面積最小值的方法及一般性結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】正方形;“半角”模型;最小值;弱化條件

推廣 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，若a

最值問(wèn)題是模擬考以及中考中?？嫉囊活?lèi)問(wèn)題.最值問(wèn)題往往涉及動(dòng)態(tài)條件，最常見(jiàn)的就是動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致點(diǎn)、線、圖形的變化，讓學(xué)生抓不住題目的關(guān)鍵點(diǎn)，一遇到此類(lèi)問(wèn)題就茫然.本文從初高中不同的觀點(diǎn)出發(fā)，給出了正方形“半角”模型中三角形面積最小值的六種不同求解方法（其中包括初中的幾何最值、利用一元二次方程有解建立不等式求最值、基本不等式、利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值等），并給出了一般性的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上，將正方形推廣到了一般的矩形，通過(guò)構(gòu)造正方形，將矩形中該三角形面積最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成正方形“半角” 模型中三角形面積的最小值.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出，創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ);獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心;歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證是創(chuàng)新的重要方法.創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫串?dāng)?shù)學(xué)教育的始終.荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾的“再創(chuàng)造學(xué)習(xí)”理論表明：數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是一個(gè)活動(dòng)過(guò)程，在整個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生應(yīng)處于一種積極創(chuàng)造狀態(tài)，教師的任務(wù)就是為學(xué)生的發(fā)展、創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識(shí)、技能的途徑和方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.數(shù)學(xué)問(wèn)題的多解以及變式能使問(wèn)題得到引申和拓展，這是達(dá)到這一目標(biāo)的有效途徑.數(shù)學(xué)問(wèn)題的多解往往需要從多角度、多方位去思考解題方案.數(shù)學(xué)問(wèn)題的變式往往需要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的條件或者結(jié)論進(jìn)行強(qiáng)化或弱化來(lái)實(shí)現(xiàn).本文中就利用了弱化條件（將正方形弱化成矩形），進(jìn)而研究矩形中該三角形面積的最小值，且形成了一般性的結(jié)論.

【參考文獻(xiàn)】

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