遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程，讓思維“發(fā)聲”

北京十五中 鄭毅斌 黃思祺

一、問題的提出

20世紀(jì)上半葉，就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維。國(guó)外數(shù)學(xué)思維的研究，在理論層面比較有代表性的人物是斯托利亞爾、弗賴登塔爾、奧加涅相等，在實(shí)踐層面比較有代表性的人物是波利亞、克萊因、道爾等。我國(guó)早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代就已經(jīng)有了提高受教育者思維能力的意識(shí)，孔子就是代表人物。目前數(shù)學(xué)教育同時(shí)擔(dān)負(fù)了傳授學(xué)生知識(shí)與培養(yǎng)學(xué)生思維能力兩項(xiàng)重任。在這樣的情況下，我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者也一直在尋找如何最大限度提高學(xué)生思維能力的方法。

二、問題的研究

（一）理論研究

1.什么是思維

通常意義上的思維，涉及所有的認(rèn)知或智力活動(dòng)。它探索與發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)部本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律性，是認(rèn)識(shí)過(guò)程的高級(jí)階段，是人腦對(duì)客觀事物間接、概括的反映。

2.思維的特征是什么

思維具有間接性和概括性的特點(diǎn)。間接性是指不是直接通過(guò)感覺器官而是通過(guò)其他媒介來(lái)認(rèn)識(shí)客觀事物。概括性則表現(xiàn)在思維反映的是同一類事物共同的、本質(zhì)的屬性以及事物的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律。當(dāng)然，思維還有一個(gè)特征就是具有內(nèi)隱性，不易被發(fā)現(xiàn)、不易被察覺，有了問題也不易被糾正。

3.如何在課堂上進(jìn)行思維養(yǎng)成

“思維養(yǎng)成”是指通過(guò)有效的課堂構(gòu)建和教學(xué)方式設(shè)計(jì)，啟發(fā)學(xué)生思考，形成具有延續(xù)性和持續(xù)性思維方式。余文森指出，有效課堂是指創(chuàng)造課堂的高效益，這要求作為教育主體之一的教師，從課堂教學(xué)的基本要素和基本環(huán)節(jié)入手，創(chuàng)設(shè)和生成有價(jià)值的情境和問題是提升課堂教學(xué)有效性的前提。

（二）實(shí)踐研究

1.設(shè)計(jì)案例

下面以高中數(shù)學(xué)課程中非常經(jīng)典的一節(jié)課《函數(shù)單調(diào)性》為例，設(shè)計(jì)一節(jié)關(guān)注學(xué)生思維養(yǎng)成的一堂課。以下為教學(xué)實(shí)錄及設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明。

環(huán)節(jié)1 概念引入

問題1：在初中是怎樣描述函數(shù)變化趨勢(shì)的？以二次函數(shù)y=x2為例說(shuō)明。

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生回顧初中知識(shí)，結(jié)合函數(shù)圖像作答。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，回顧從“形”到“數(shù)”、從圖形語(yǔ)言到文字語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化過(guò)程。

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法作圖，再?gòu)膱D像上讀取該函數(shù)的變化趨勢(shì)，但由于取點(diǎn)的不同，一部分學(xué)生會(huì)忽略掉（0，1）區(qū)間上的點(diǎn)，從而導(dǎo)致信息讀取錯(cuò)誤或不完整，具體如圖1所示。

圖1 描點(diǎn)法作圖

追問1：通過(guò)手工描點(diǎn)得到的圖像準(zhǔn)確嗎？．

追問2：能否直接從解析式出發(fā)判斷函數(shù)的變化趨勢(shì)？

設(shè)計(jì)意圖：這里的設(shè)計(jì)是為了通過(guò)作圖讓學(xué)生思維第一次發(fā)“聲”，暴露思維中的錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，再?gòu)牟煌穆曇糁幸l(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會(huì)在高中階段從代數(shù)角度再次研究單調(diào)性的意義所在，及用代數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性的必要性。

環(huán)節(jié)2 概念形成

問題3：如何用符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)的變化趨勢(shì)？

問題3．1：如何用符號(hào)語(yǔ)言描述在［1，＋∞）區(qū)間上，f（x）隨x的增大而增大？

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生交流討論，第一次得到符號(hào)表述

追問1：什么叫x增大，一個(gè)變量能表示增大嗎？

追問2：存在兩組就行，存在無(wú)數(shù)組，任意兩組都滿足才行？

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生在剛才的基礎(chǔ)上進(jìn)一步修正完善表述方式，第二次得到符號(hào)表述

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)高一學(xué)生來(lái)說(shuō)，直接得到單調(diào)性符號(hào)語(yǔ)言的準(zhǔn)確闡述無(wú)疑是困難的，因?yàn)閷W(xué)生沒有類似的經(jīng)驗(yàn)，所以這里設(shè)置子問題搭設(shè)臺(tái)階，引導(dǎo)學(xué)生逐字逐句地將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，這里是學(xué)生思維的第二次發(fā)“聲”。

追問1：請(qǐng)嘗試用符號(hào)語(yǔ)言給出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增的定義

追問2：類比增函數(shù)的定義，試著給出減函數(shù)的定義

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生交流討論，建構(gòu)定義，并將自己給出的定義與教材中的定義進(jìn)行比較、修正

設(shè)計(jì)意圖：這里是學(xué)生思維的第三次發(fā)“聲”，在理解特殊函數(shù)單調(diào)性符號(hào)語(yǔ)言闡述的基礎(chǔ)上，將其推廣到一般函數(shù)中，并借此滲透從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，再通過(guò)類比思想由增函數(shù)定義得到減函數(shù)定義。

在上面概念形成的整個(gè)過(guò)程中，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，在自主建構(gòu)定義的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)直覺思維和形象思維。

環(huán)節(jié)3 概念辨析

問題4：判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由。

①設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，若f（1）＜f（3），則函數(shù)f（x）在［1，3］上為增函數(shù)。

②若函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，2］和（2，3］上均為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，3］上為增函數(shù)。

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立思考，并將自己的答案和想法記錄下來(lái)，再與同組同學(xué)交流討論，選定代表上臺(tái)通過(guò)實(shí)物投影展示本組成果。雖然此處剛剛學(xué)習(xí)完單調(diào)性的代數(shù)定義，但學(xué)生還是會(huì)更多地選擇先從圖像角度入手來(lái)舉反例。

設(shè)計(jì)意圖：再一次引導(dǎo)學(xué)生由“形”到“數(shù)”加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解，尤其讓學(xué)生體會(huì)單調(diào)性定義中“任意”的必要性，通過(guò)兩個(gè)具體的例子將其對(duì)“任意”的理解發(fā)“聲”出來(lái)。

環(huán)節(jié)4 概念應(yīng)用

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生上黑板板演過(guò)程，并向全體同學(xué)闡述自己的思路和想法

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生思維的第四次發(fā)“聲”，回扣課堂開始時(shí)提出的問題，并由此例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維。

環(huán)節(jié)5 目標(biāo)檢測(cè)

問題5：試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明下列函數(shù)的單調(diào)性。

設(shè)計(jì)意圖：① ③是三個(gè)特殊的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，這些函數(shù)都是學(xué)生在初中從圖像角度研究過(guò)單調(diào)性的函數(shù)，但缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)證明，放在這里既可以作為單調(diào)性定義應(yīng)用的練習(xí)，同時(shí)還可以彌補(bǔ)初中對(duì)單調(diào)性研究的缺憾；④是一個(gè)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)陌生的函數(shù)，對(duì)④的研究相當(dāng)于對(duì)一個(gè)一般函數(shù)單調(diào)性研究方法和思路的重現(xiàn)，可以讓學(xué)生再次體會(huì)如何從“數(shù)”的角度判斷函數(shù)單調(diào)性。這里可以布置為學(xué)生的課后作業(yè)，讓學(xué)生的思維發(fā)“聲”從課上延續(xù)到課下。

2.設(shè)計(jì)點(diǎn)評(píng)

目前教育要大力培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，這些基本素養(yǎng)正是數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)。讓學(xué)生在課堂教學(xué)中展示出來(lái)，這樣合理的高中數(shù)學(xué)教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)，對(duì)提高學(xué)生的核心素養(yǎng)是很有必要的，同時(shí)合理的情境也能充分展示知識(shí)的形成過(guò)程，展示學(xué)生的思維過(guò)程，讓他的思維發(fā)生，讓思維發(fā)“聲”。

本節(jié)課在教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)情境包括現(xiàn)實(shí)情境、純數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境。教師搭設(shè)合理的情境，讓學(xué)生更深刻地意識(shí)到數(shù)學(xué)情境可以幫助他們?nèi)ダ斫庑轮R(shí)，從而讓學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)知識(shí)的內(nèi)涵。

“概念的引入”的情境創(chuàng)設(shè)基于幾個(gè)原因：一是從學(xué)生認(rèn)知的簡(jiǎn)單函數(shù)模型入手，回顧已學(xué)的知識(shí)，動(dòng)手操作解決新的問題，既增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)更感興趣，也為學(xué)生提供了合作性學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，為學(xué)生提供一個(gè)探究學(xué)習(xí)的平臺(tái)；二是啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。這個(gè)情境的搭設(shè)主要是以學(xué)生的學(xué)為主體，讓他們把思維徹底展現(xiàn)出來(lái)，使教師更好地理解他們的認(rèn)知過(guò)程。搭設(shè)合理的臺(tái)階，幫助他們更好地認(rèn)識(shí)知識(shí)。思維外顯化通過(guò)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)，展示學(xué)生的思維歷程，通過(guò)學(xué)生的抽象概括，學(xué)生的互相傾聽交流，得到相關(guān)的結(jié)論。

“概念辨析”為學(xué)生提供了一個(gè)充分表達(dá)自我想法的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生互相交流討論，給學(xué)生機(jī)會(huì)互相傾聽同伴的意見，汲取合理因素，整理出相對(duì)正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。交流就需要學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述自己的思路和想法，那么思維勢(shì)必要先“發(fā)生”，然后再“發(fā)聲”。思維外顯化凸顯學(xué)生解決問題的過(guò)程，對(duì)教師把控課堂的教學(xué)進(jìn)度很有必要。

“概念形成”教師適時(shí)引導(dǎo)，學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的半開放性探究教學(xué)，為學(xué)生搭設(shè)臺(tái)階，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)用自己的語(yǔ)言描述相關(guān)的概念，雖然不是很成熟的表達(dá)，但是合理表達(dá)能讓教師體會(huì)到學(xué)生的想法，更好地指導(dǎo)，同時(shí)也讓學(xué)生經(jīng)歷了探索的過(guò)程，不是將概念硬塞給他。學(xué)生掌握知識(shí)有一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，對(duì)知識(shí)的認(rèn)知不是停留在死記硬背上，對(duì)知識(shí)的理解就更深刻。

正是這樣一節(jié)節(jié)探究課的實(shí)施，學(xué)生在課堂教學(xué)過(guò)程中，充分發(fā)揮了主體地位，全程參與到知識(shí)的理解掌握過(guò)程中，能從中感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)性內(nèi)容，領(lǐng)會(huì)到其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)思維得到鍛煉，將思維通過(guò)語(yǔ)言表述出來(lái)，進(jìn)而與教師和同伴分享思維過(guò)程，對(duì)促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，提高核心素養(yǎng)起到積極的作用。

三、思考與展望

數(shù)學(xué)家柯朗指出：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機(jī)。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。教師、學(xué)生和一般受過(guò)教育的人都要求有一個(gè)建設(shè)性的改造，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，是科學(xué)思考與行動(dòng)的基礎(chǔ)。”高中數(shù)學(xué)課程以立德樹人為根本任務(wù)，要求培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，而這一過(guò)程往往會(huì)隨著學(xué)生所處時(shí)代背景和思維方式的轉(zhuǎn)變而發(fā)生變化，固守的經(jīng)驗(yàn)主義收效甚微。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是讓學(xué)生思維本質(zhì)得到提升，那么如何調(diào)動(dòng)學(xué)生，讓學(xué)生思維發(fā)“聲”是教師每節(jié)課前要思考的問題。教師有時(shí)認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)關(guān)鍵是解題方法，但是如果強(qiáng)行給出方法，讓學(xué)生套用，學(xué)生就變成了解題的機(jī)器，而問題其中的精髓學(xué)生沒有悟到。設(shè)置問題鏈，給學(xué)生提供思維發(fā)“聲”的借力點(diǎn)，學(xué)生的思維慢慢展開，逐步深入，可極大地提升學(xué)生對(duì)思維的認(rèn)識(shí)，也使學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的更通透，更明了。

借用一位特級(jí)教師的話：“思維是一種力量！因?yàn)橹挥兴季S才最接近數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)；只有思維，才能讓我們變得越來(lái)越聰明、智慧！”這也正是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生所具備的品質(zhì)。