Hilbert空間上的算子值 (p,q)-Bessel乘子*

孫 悅, 李鵬同

(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院,210016,江蘇省南京市)

0 引 言

1952年,Duffin和Schaeffer[1]在研究非調(diào)和Fourier分析時(shí),進(jìn)一步發(fā)展了Gabor 分解信號(hào)的方法,提出了Hilbert空間中框架的概念. 特別是受Daubechies等人在1986年的工作[2]的刺激，人們對(duì)框架理論及其應(yīng)用進(jìn)行了深入研究,產(chǎn)生了一系列重要研究成果.

設(shè)H是Hilbert空間,{fj}j∈是H中的序列,是有限或可數(shù)指標(biāo)集. 如果存在常數(shù)A,B>0,使得

(1)

則稱{fj}j∈是H中的框架,常數(shù)A,B分別稱為該框架的下界和上界. 如果A=B(=1),則稱 {fj}j∈是緊框架(Parseval 框架). 在(1)式中如果只要求右不等式成立，則稱{fj}j∈是 Bessel 序列. 關(guān)于框架理論的詳細(xì)知識(shí),可參閱文獻(xiàn)[8，10].

框架作為Hilbert空間中Riesz基的推廣,具有許多優(yōu)于Riesz基的優(yōu)良性質(zhì),在傳感器、 信號(hào)和圖像處理、 編碼與傳輸以及無(wú)線電通信等領(lǐng)域中一直是一個(gè)研究重點(diǎn). 信號(hào)表示在數(shù)字信號(hào)處理中起著基礎(chǔ)性的作用,而表示的有效性可決定信號(hào)壓縮、去噪和特征提取等相關(guān)算法的性能.因?yàn)榭蚣苡胁煌诨娜哂嘈?所以它可以為不同空間中的元素生成靈活的表示.此外,某些學(xué)科中的許多對(duì)象都可以被描述為框架乘子,例如,信號(hào)處理中的時(shí)變?yōu)V波器和聽(tīng)覺(jué)場(chǎng)景分析中的時(shí)頻濾波器. Balazs 在文獻(xiàn)[3]中首次提出了Hilbert空間中的Bessel乘子的概念.

設(shè)H1,H2是兩個(gè)Hilbert空間,{gj}j∈?H1,{fj}j∈?H2是Bessel 序列,數(shù)列m={mj}j∈∈l∞. 稱算子

是關(guān)于Bessel序列{fj}j∈,{gj}j∈的Bessel乘子,并稱數(shù)列m為該乘子的符號(hào). 如果 {fj}j∈,{gj}j∈是框架或Riesz序列，則稱相應(yīng)的乘子為框架乘子或Riesz乘子.

隨著框架理論研究的不斷深入以及應(yīng)用的需要,出現(xiàn)了框架的各種推廣形式. Gasazza在文獻(xiàn)[6]中提出了子空間框架的概念,之后又與Kutyniok 和Li合作在文獻(xiàn)[7]中 對(duì)這類新框架作了進(jìn)一步研究，并將其重新命名為融合框架. 融合框架在信號(hào)傳輸?shù)姆植际教幚碇芯哂兄匾膽?yīng)用,它是通過(guò)加權(quán)分布式處理將Hilbert 空間上所有子空間的信號(hào)融合到了一起,比較有效地解決了因框架系統(tǒng)太大而難以有效處理相關(guān)數(shù)據(jù)的問(wèn)題，這也將Hilbert空間中滿足框架條件的“向量列”推廣到了滿足一定條件的“子空間列”. 受此啟發(fā),很多學(xué)者開(kāi)始研究滿足一定條件的“算子列”. 2006年,Sun 在文獻(xiàn)[13,14]中提出了g-框架的概念,并刻畫(huà)了這類框架的若干性質(zhì).g-框架涵蓋了框架的很多推廣形式,融合框架就是一種特殊的g-框架. 在此基礎(chǔ)上,Kaftal,Larson和Zhang在文獻(xiàn)[9]中引入了算子值框架的概念,著重從算子理論與算子代數(shù)的角度對(duì)它進(jìn)行了深入研究.

設(shè)H和H0是Hilbert 空間,{Aj}j∈?B(H,H0). 稱{Aj}j∈是H上的算子值框架,如果存在常數(shù)0

(2)

a,b分別稱為該框架的下界和上界. 如果a=b,則稱{Aj}j∈是算子值緊框架;如果a=b=1,則稱{Aj}j∈是算子值Parseval框架;如果(2)右邊不等式成立,則稱{Aj}j∈是算子值Bessel序列.

受上述這些工作的啟發(fā),本文將在Hilbert空間上 引入算子值p-框架、算子值p-Riesz基和算子值(p,q)-Bessel乘子等概念,重點(diǎn)對(duì)乘子進(jìn)行研究. 我們將會(huì)看到一個(gè)算子值 (p,q)-Bessel乘子是一個(gè)有界線性算子,它是由一個(gè)算子值p-Bessel序列、一個(gè)算子值q-Bessel序列和一個(gè)有界數(shù)列構(gòu)成. 主要結(jié)果體現(xiàn)在3個(gè)方面:一是在一定條件下,證明了當(dāng)有界數(shù)列分別屬于c0、l1和l2時(shí),相應(yīng)的乘子分別是緊算子、跡類算子和Hilbert-Schmidt算子 (定理7);二是當(dāng)構(gòu)成乘子的算子值q-Bessel序列換成p-Riesz基時(shí),有界數(shù)列與乘子之間的對(duì)應(yīng)是一對(duì)一的(定理9);三是在某種意義下,證明了乘子關(guān)于其構(gòu)成元素具有連續(xù)依賴性(定理10).

本節(jié)最后固定幾個(gè)本文中使用的記號(hào). 設(shè)H,K是Hilbert空間.IH或I表示H上的恒等算子,B(H,K)表示從H到K上的全體有界線性算子,并記B(H):=B(H,H). 對(duì)于向量f∈H,g∈K,用g?f表示H到K的秩一算子：x|→(x,f)g,x∈H. 若無(wú)特別說(shuō)明,表示某個(gè)有限或可數(shù)指標(biāo)集,H和Hj(j∈)是可分的Hilbert空間,常數(shù)1

1 算子值(p,q)-Bessel乘子

首先給出算子值p-框架等概念.

定義1設(shè)Tj∈B(H,Hj),j∈,1

(3)

則稱{Tj}j∈是H關(guān)于{Hj}j∈的算子值p-框架,常數(shù)A,B分別稱為框架的下界和上界. 如果A=B,則稱{Tj}j∈是算子值緊p-框架;如果A=B=1,則稱{Tj}j∈是算子值p-Parseval框架；如果(3)式只有右邊不等式成立,則稱{Tj}j∈是算子值p-Bessel序列.

對(duì)任一如上定義的算子值p-Bessel序列{Tj}j∈,總可定義如下的有界線性算子

稱Θ(Tj)是{Tj}j∈的分析算子. 利用H?lder 不等式,不難證明收斂,進(jìn)而得到 Θ(Tj)的伴隨算子具有形式

又設(shè)Sj∈B(H,Hj)使得{Sj}j∈是算子值q-框架,如果則稱{Tj}j∈是{Sj}j∈的對(duì)偶框架. 容易知道,當(dāng)且僅當(dāng)這表示如果{Tj}j∈是{Sj}j∈的對(duì)偶框架,那么{Sj}j∈也是{Tj}j∈的對(duì)偶框架. 此時(shí)，有重構(gòu)公式

根據(jù)定義,下面的結(jié)論是明顯的.

引理2 設(shè)Tj∈B(H,Hj),j∈. 如果{Tj}j∈是界為B的算子值p-Bessel序列,那么.

引理3 設(shè)Tj,Sj∈B(H,Hj),{Tj}j∈是算子值p-Bessel序列,{Sj}j∈是算子值q-Bessel序列,界分別是B1,B2,m={mj}j∈∈l∞,則算子

是良定義的.

證明不妨設(shè)是自然數(shù)集. ?f,g∈H,根據(jù)H?lder 不等式,有

定義4稱引理3中的算子M=Mm,(Tj),(Sj)是關(guān)于序列{Tj}j∈,{Sj}j∈的算子值(p,q)-Bessel乘子,m是該乘子的符號(hào). 如果{Tj}j∈是算子值p-框架,{Sj}j∈是算子值q- 框架,則稱M是算子值(p,q)-框架乘子.

命題5 設(shè)Tj,Sj∈B(H,Hj),{Tj}j∈是算子值p-Bessel序列,{Sj}j∈是算子值q-Bessel序列,界分別是B1,B2,m={mj}j∈∈l∞,則

(ⅰ) {mjTj}j∈是算子值p-Bessel序列且界為

證明(ⅰ) ?f∈H,

進(jìn)而結(jié)論成立.

(ⅱ) ?f,g∈H,根據(jù)H?lder 不等式和引理3,

(ⅲ) ?f,g∈H,

設(shè)T∈B(H),{ej}j∈是H的標(biāo)準(zhǔn)正交基,稱T是正算子,如果(Tx,x)≥0,?x∈H. 稱T是Hilbert-Schmidt算子,如果此時(shí)稱

為算子T的Hilbert-Schmidt范數(shù).

稱T是跡類算子,如果存在Hilbert-Schmidt算子A,B使得T=AB;此時(shí)稱

為T(mén)的跡. 下面的引理描述了幾個(gè)基本的事實(shí).

引理6設(shè)T∈B(H),{ej}j∈是H的標(biāo)準(zhǔn)正交基,則

定理7 設(shè) {dimHj}j∈∈l∞,m={mj}j∈∈l∞,Tj,Sj∈B(H,Hj),{Tj}j∈是算子值p-Bessel序列,{Sj}j∈是算子值q-Bessel序列,界分別是B1,B2,M=Mm,(Tj),(Sj),則

(ⅰ) 若m∈c0,則M是緊算子.

證明(ⅰ) 設(shè)m={mj}j∈∈c0,記mN:={Nj}j∈={m1,m2,…,mN,0,0,…),則?ε>0,存在正整數(shù)Nε,當(dāng)N>Nε時(shí)有‖m-mN‖∞<ε. 于是,?f∈H,當(dāng)N>Nε時(shí),有

從而 ‖Θ(NjSj)-Θ(mjSj)‖→0(N→∞). 又因?yàn)?dimHj<∞(?j∈),有

(ⅱ) 對(duì)每個(gè)j∈,因?yàn)镾j是有限秩算子,故可設(shè)其中yk∈H,fk∈Hj,Nj=rankSj. 結(jié)合Schmidt正交化過(guò)程,不妨設(shè){yk是標(biāo)準(zhǔn)正交序列,則?k,Sjyk=fk并且

設(shè){ei}i∈是H的標(biāo)準(zhǔn)正交基. 由條件) 是正算子知M也是正算子,從而M=|M| 并且有

定義8設(shè)Tj∈B(H,Hj),j∈. 如果{Tj}j∈是完全的,即 {f∈H:Tjf=0,j∈}={0},并且存在常數(shù)0

則稱{Tj}j∈是算子值p-Riesz基.

定理9設(shè)Tj,Sj∈B(H,Hj),m={mj}j∈∈l∞,{Tj}j∈是算子值p-Bessel序列且Tj≠0,?j∈,{Sj}j∈是算子值p-Riesz基,則

(ⅰ) {Sj}j∈是算子值q-框架.

(ⅱ) 映射m|→Mm,(Tj),(Sj)是單射.

證明(ⅰ) 由于{Sj}j∈是算子值p-Riesz基,故存在常數(shù) 0

(4)

設(shè)f∈H,fj∈Hj,?是有限子集,則

(5)

即 {Sj}j∈是算子值q-Bessel序列. 記{Sj}j∈的分析算子為Θ,則

當(dāng)f∈H使得Θf=0時(shí),有Sjf=0,?j∈. 而{Sj}j∈是完全的,故f=0,進(jìn)而Θ是單射. 設(shè)則由(4)式的左不等式易知Θ*也是單射.

即Θ 是滿射;類似地,Θ*也是滿射. 由逆算子定理可得Θ 和 Θ*都具有有界逆.

結(jié)合(5)式有

(6)

即{Sj}j∈是算子值q-框架.

?k∈,由于Tk≠0,故可取f(k)∈H使得Tkf(k)≠0. 于是由(4)式得

從而mk=0,?k∈,所以m|→Mm,(Tj),(Sj)是單射.

定理10 設(shè)Tj,Sj∈B(H,Hj),{Tj}j∈是算子值p-Bessel序列,{Sj}j∈是算子值q-Bessel序列,界分別是B1,B2,m={mj}j∈∈l∞,則M=Mm,(Tj),(Sj)連續(xù)依賴于{Tj}j∈,{Sj}j∈和m,亦即

(ⅰ) 若m(k)∈l∞,k=1,2,…, 且 ‖m(k)-m‖∞→0,則‖Mm(k),(Tj),(Sj)-Mm,(Tj),(Sj)‖→0(k→∞).

證明(ⅰ) 由命題5(ⅱ)可得

(7)

從而結(jié)論成立.

(ⅱ) ?f,g∈H,利用H?lder不等式得

因此

(8)

由此即知結(jié)論成立.

(ⅲ)與(ⅱ)的證明類似.

(ⅳ)由(7)和(8)可得

因此結(jié)論成立.