一類(lèi)分?jǐn)?shù)階計(jì)算機(jī)病毒模型的穩(wěn)定性分析

周學(xué)勇，路振國(guó)，程曉明

(信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

計(jì)算機(jī)病毒(Computer Virus)是一種人為編制能夠?qū)τ?jì)算機(jī)正常程序的執(zhí)行或數(shù)據(jù)文件造成破壞，并且能夠自我復(fù)制的一組指令程序代碼[1]。計(jì)算機(jī)病毒具有極大的破壞性、不可預(yù)測(cè)性等特點(diǎn)，已成為互聯(lián)網(wǎng)安全的最大威脅[2]。建立計(jì)算機(jī)病毒傳播的數(shù)學(xué)模型，揭示計(jì)算機(jī)病毒的發(fā)展趨勢(shì)，進(jìn)而找到計(jì)算機(jī)病毒預(yù)防和控制的策略等對(duì)于抵御計(jì)算機(jī)病毒的侵害、維護(hù)良好的網(wǎng)絡(luò)安全和信息安全是非常有必要的。近年來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)黏彈性模型[3]、計(jì)算機(jī)病毒傳播模型[4]等許多問(wèn)題用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[5-6]來(lái)描述比較合適。本文將基于PIQUEIRA等[7]研究的一類(lèi)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，建立Caputo分?jǐn)?shù)階SIRA計(jì)算機(jī)病毒模型(1)，來(lái)研究計(jì)算機(jī)病毒的傳播特點(diǎn)。

(1)

其中：S(t)、I(t)、R(t)、A(t)分別表示t時(shí)刻易感計(jì)算機(jī)、感染計(jì)算機(jī)、臨時(shí)免疫計(jì)算機(jī)、永久免疫計(jì)算機(jī)的數(shù)量；參數(shù)N、a1、a2、β,μ、σ、δ均是正數(shù)。N表示外部計(jì)算機(jī)連入網(wǎng)絡(luò)的速率；a1(a2)表示易感計(jì)算機(jī)(感染計(jì)算機(jī))采取殺毒防護(hù)措施直接轉(zhuǎn)為永久免疫型計(jì)算機(jī)的概率，即永久免疫率；β表示病毒發(fā)生率；μ表示淘汰率；σ表示重復(fù)感染率；δ表示臨時(shí)免疫率，0<α≤1。

模型(1)的初值條件為

S(0)=S0≥0,I(0)=I0≥0,

R(0)=R0≥0,A(0)=A0≥0。

(2)

1 主要結(jié)果

本節(jié)給出模型(1)解的非負(fù)性、有界性，計(jì)算出平衡點(diǎn)的表達(dá)式并討論其穩(wěn)定性。

1.1 非負(fù)性和有界性

由文獻(xiàn)[5]知，模型(1)滿(mǎn)足初值條件(2)的解是存在唯一的。

定理1 假設(shè)G(t)=(S(t)，I(t)，R(t)，A(t))是模型(1) 滿(mǎn)足S(0)=S0>0，I(0)=I0>0，R(0)=R0>0，A(0)=A0>0的任意一個(gè)解，則對(duì)任意的t>0，都有S(t)>0，I(t)>0，R(t)>0，A(t)>0。

證明假設(shè)R(t)在(0，∞)不是非負(fù)的，則存在t>0，使得R(t)<0，令t*=inf{t:R(t)<0}，那么R(t*)=0，R′(t*)<0。由模型(1)的第三個(gè)方程知R′(t*)=δI(t*)<0,則I(t*)≤0。

若對(duì)任意的t>0,有I(t)>0，則產(chǎn)生矛盾；若存在t>0,使得I(t)<0，令t*=inf{t:R(t)<0}，則I(t*)=0，I(t*)<0。于是有下列兩種情況：

(i)當(dāng)t*≤t*時(shí)，得到I(t*)<0,產(chǎn)生矛盾；

(ii)當(dāng)t*>t*時(shí)，得到I′(t*)=0，也產(chǎn)生矛盾。

由此可知，當(dāng)t>0時(shí)，I(t)≥0，R(t)≥0。 顯然，當(dāng)I(t)=0時(shí)，DαI(t)=0；當(dāng)R(t)=0時(shí)，DαR(t)≥0。 因此，對(duì)于所有的t>0，如果I(t)=I0>0，R(t)=R0>0，那么對(duì)于任意的t>0,有I(t)>0，R(t)>0。同理，當(dāng)t>0時(shí)，S(t)≥0，A(t)≥0。顯然，當(dāng)A(t)=0時(shí)，DαA(t)=0;當(dāng)S(t)=0時(shí)，DαS(t)=N+σR(t)≥0。因此，對(duì)于所有的t>0，若有S(t)=S0>0，A(t)=A0>0，則對(duì)于任意的t>0，有S(t)>0，A(t)>0。 證畢。

定理2 模型(1)所有滿(mǎn)足初值條件(2)的解是有界的。

1.2 平衡點(diǎn)的存在性

令DαS=0，DαI=0，DαR=0，DαA=0。模型(1)可能存在4個(gè)平衡點(diǎn)：

(b)當(dāng)Na1>μ2時(shí)，模型(1)存在平衡點(diǎn)E2(S2，0，0，A2)，其中

(c)當(dāng)Nβ>μ(δ+μ)時(shí)，模型(1)存在平衡點(diǎn)E3(S3，I3，R3，0)，其中

(d)當(dāng)μ2(β+a2)>a1(Na2+δμ+μ2)，(β+a2)(σ+μ)>a1(σ+δ+μ)，βS4>δ+μ時(shí)，模型(1)存在正平衡點(diǎn)E4(S4，I4，R4，A4)，其中

這里

F1=(β+a2)(σ+μ)-a1(σ+δ+μ)，

F2=μ2(β+a2)-a1(Na2+δμ+μ2)。

1.3 局部穩(wěn)定性

本節(jié)分別研究平衡點(diǎn)E1、E2、E3、E4的局部漸近穩(wěn)定性。

其中:

證明模型(1)在平衡點(diǎn)E1處的特征方程為

(3)

由方程(3)知，模型(1)在平衡點(diǎn)E1處有兩個(gè)負(fù)特征值λ1=-μ，λ2=-(σ+μ)。 其余兩個(gè)特征值為

因此平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的。

因此平衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定的。證畢。

定理4 當(dāng)βS2a1(S2-A2)時(shí)，平衡點(diǎn)E2是局部漸近穩(wěn)定的；否則，平衡點(diǎn)E2是不穩(wěn)定的。

證明模型(1)在平衡點(diǎn)E2處的特征方程為

(λ+a2A2-βS2+δ+μ)(λ+

σ+μ)[λ2+(a1(A2-S2)+2μ)λ+

μa1(A2-S2)+μ2]=0。

(4)

由方程(4)知，模型(1)在平衡點(diǎn)E2的特征值為

λ1=-(σ+μ)<0，λ2=-μ<0，

λ3=βS2-(a2A2+δ+μ)，

λ4=-μ-a1(A2-S2)。

當(dāng)βS2a1(S2-A2)時(shí)，λ3<0,λ4<0。此時(shí)特征值滿(mǎn)足

平衡點(diǎn)E2是局部漸近穩(wěn)定的。

接下來(lái),研究平衡點(diǎn)E3的穩(wěn)定性。模型(1)在平衡點(diǎn)E3處的特征方程為

(λ-a1S3-a2I3+μ)(λ3+m1λ2+

m2λ+m3)=0，

(5)

其中:

m1=σ+2μ+δ+βI3-βS3，

m2=(σ+μ)(μ+δ+βI3-βS3)+

(βI3+μ)(μ+δ-βS3)+β2S3I3，

m3=(σ+μ)[(βI3+μ)(μ+δ-βS3)+

β2S3I3]-σδβI3。

當(dāng)a1S3+a2I3>μ時(shí)，特征值

λ1=a1S3+a2I3-μ>0，

當(dāng)a1S3+a2I3<μ時(shí)，特征值λ1=a1S3+a2I3-μ<0。平衡點(diǎn)E3(S3，I3，R3，0)的穩(wěn)定性由下列方程確定:

P(λ)=λ3+m1λ2+m2λ+m3=0。

記

18m1m2m3+(m1+m2)2-

利用文獻(xiàn)[8]得到如下結(jié)論：

定理5 假設(shè)a1S3+a2I3>μ且E3(S3，I3，R3，0)存在，

(i)如果D(P)>0，m1>0，m3>0和m1m2>m3，那么對(duì)所有的α∈(0，1)，平衡點(diǎn)E3是局部漸近穩(wěn)定的；

(iii)如果D(P)<0，m1>0，m2>0，m1m2=m3，那么對(duì)所有的α∈(0，1)有平衡點(diǎn)E3是局部漸近穩(wěn)定的。

下面研究正平衡點(diǎn)E4(S4，I4，R4，A4)的穩(wěn)定性。正平衡點(diǎn)E4(S4，I4，R4，A4)處的特征方程為

Q(λ)=λ4+n1λ3+n2λ2+n3λ+n4=0，

其中:

n1=a1S4+a2I4+βS4-a1A4-4μ-

βI4-a2A4-δ-σ，

n2=(βS4-βI4-a1A4-a2A4-

2μ-δ)(a1S4+a2I4-σ-2μ)-

(a1A4+βI4+μ)(βS4-a2A4-δ-μ)-

(σ+μ)(a1S4+a2I4-μ)+

n3=(βS4-a2A4-δ-μ)(σ+μ)(a1S4+

a2I4-a1A4-βI4-2μ)+

(a1A4+βI4+μ)(a1S4+

a2I4-μ)(βS4-a2A4-δ-σ-2μ)+

a2I4-μ)-δσ]-a1A4[βa2S4I4+

a1S4(βS4-a2A4-δ-μ)]+

n4=βI4(a1S4+a2I4-μ)[δσ+

β(σ+μ)S4]-a1A4(σ+μ)[βa2S4I4+

a1S4(βS4-a2A4-δ-μ)]+

(a1A4+βI4+μ)(σ+μ)[(βS4-a2A4

βa2I4A4(a1A4+βI4+μ)(σ+μ)+

σδa1a2A4I4。

記

(6)

由文獻(xiàn)[9]可得下面結(jié)果。

定理6 假設(shè)E4(S4，I4，R4，A4)存在，

(i) 若u1、u2、u3是Routh-Hurwitz判別式，其中:

則當(dāng)α=1時(shí)，條件

u1>0，u2>0，u3=0，u4>0

(7)

滿(mǎn)足時(shí)，正平衡點(diǎn)E4是局部漸近穩(wěn)定的。

(v) 平衡點(diǎn)E4是局部漸近穩(wěn)定的必要條件是u4>0。

注1 對(duì)所有的α∈(0,1)，條件(7)是平衡點(diǎn)E4(S4，I4，R4，A4)局部漸近穩(wěn)定的充分而非必要條件。

2 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，采用Adams-Bashforth-Moulton(ABM)預(yù)測(cè)-校正算法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬。 為了用該算法給出近似解，考慮以下非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階微分方程[10-11]:

(8)

方程(8) 等價(jià)于下列積分方程：

(9)

其中，m=[α]。

βSjIj-μSj+σAj)，

a2AjIj-δIj-μIj)，

a2AjIj-μAj)，

其中:

βSjIj-μSj+σAj)，

a2AjIj-δIj-μIj)，

σRj-μRj)，

a2AjIj-μAj)，

aj,n+1=

(n-j)α)，0≤j≤n。

限于篇幅，這里僅給出E4局部漸近穩(wěn)定的情況。選取N=0.8，a1=0.025，a2=0.25，μ=0.2，σ=0.8，δ=0.4，β=0.5，初值為(S(0)，I(0)，R(0)，A(0))=(1.5，0.5，0.2，1)，通過(guò)計(jì)算得模型存在3個(gè)平衡點(diǎn)E1(4，0,0,0)、E3(1.2，2，0.8，0)、E4(1.846，0.615，0.246，1.292)。由模型(1)的時(shí)間序列圖(圖1)可知，模型(1)的解均趨向于平衡點(diǎn)E4，這說(shuō)明E4是局部漸近穩(wěn)定的。

圖1 正平衡點(diǎn)E4存在情況下模型(1)的時(shí)間序列圖Fig. 1 Time series of system (1) when the positive equilibrium E4 exists

3 結(jié)語(yǔ)

建立了一類(lèi)Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的SIRA模型，證明了模型(1)滿(mǎn)足初始條件(2)的解是存在唯一的且正有界的；在一定條件下，給出模型(1)的平衡點(diǎn)表達(dá)式；討論了模型(1)所有的平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。 最后，采用Adams-Bashforth-Moulton的預(yù)測(cè)-校正迭代算法給出了模型(1)的數(shù)值解，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性。 從圖1可以看出,對(duì)于不同的α值，曲線(xiàn)上升和下降速度不同。但是，隨著時(shí)間的推移，α大小不同的曲線(xiàn)最終都趨于穩(wěn)定。 另外，當(dāng)其他參數(shù)固定不變，而把感染率β降低到一定值時(shí)，數(shù)值解顯示感染計(jì)算機(jī)、臨時(shí)免疫計(jì)算機(jī)、永久免疫計(jì)算機(jī)數(shù)量經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后都將趨于0， 即計(jì)算機(jī)病毒傳播得到有效控制。