考慮極限應(yīng)力相對(duì)量度的Manson-Coffin改進(jìn)模型

蔣廣龍,高月華,劉其鵬,2

(1.大連交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，江西 南昌 330063；3.大連交通大學(xué) 機(jī)車車輛工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

低周疲勞破壞是工程結(jié)構(gòu)中常見的一種失效形式，大多數(shù)研究者把失效循環(huán)數(shù)低于104～105次的疲勞定義為低周疲勞[1].現(xiàn)有的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型主要有Manson-Coffin模型、應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)法和三參數(shù)冪函數(shù)能量法等，這些模型就是將疲勞壽命與循環(huán)應(yīng)力、應(yīng)變幅和循環(huán)滯回能等參量聯(lián)系在一起得到的[2-3].其中，Manson-Coffin模型在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，然而該模型更適用于對(duì)稱循環(huán)載荷加載的情況，實(shí)際工程中的疲勞載荷幾乎都是非對(duì)稱循環(huán)載荷.在載荷從最小值變化到最大值的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生平均應(yīng)力，研究[4-5]表明，平均應(yīng)力會(huì)影響到裂紋的擴(kuò)展速度，進(jìn)而會(huì)對(duì)疲勞壽命產(chǎn)生影響.因此，在非對(duì)稱循環(huán)載荷下進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)時(shí)，需要對(duì)Manson-Coffin模型進(jìn)行平均應(yīng)力修正.早在1968年，Morrow就將平均應(yīng)力修正準(zhǔn)則引入到Manson-Coffin模型中來(lái)考慮平均應(yīng)力的影響[6].Smith等假設(shè)通過(guò)SWT參數(shù)來(lái)確定一個(gè)循環(huán)周期中的疲勞損傷量[7].Dowling結(jié)合Walker平均應(yīng)力修正準(zhǔn)則和Manson-Coffin模型得到了包含應(yīng)力比修正的應(yīng)變-壽命方程[8].Kwofie基于平均應(yīng)力直接影響疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′的前提，提出了一種指數(shù)應(yīng)力函數(shù)來(lái)反映平均應(yīng)力對(duì)疲勞壽命的影響[9].呂志強(qiáng)將平均應(yīng)力靈敏系數(shù)γ引入到SWT參數(shù)模型，得到了預(yù)測(cè)精度更高的修正模型[10]，但這些Manson-Coffin改進(jìn)模型針對(duì)不同材料的預(yù)測(cè)結(jié)果具有較大的分散性，且預(yù)測(cè)精度仍有待進(jìn)一步提高.

本文在考慮平均應(yīng)力對(duì)疲勞壽命的非線性影響的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮屈服極限和強(qiáng)度極限的相對(duì)量度對(duì)平均應(yīng)力以及疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′的影響關(guān)系，對(duì)Manson-Coffin模型進(jìn)行改進(jìn)，并采用三種常用材料的非對(duì)稱加載試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)與既有改進(jìn)模型對(duì)比分析，對(duì)本文改進(jìn)模型進(jìn)行有效性和可行性驗(yàn)證.

1 Manson-Coffin模型及既有改進(jìn)模型

應(yīng)變-壽命曲線是用于表示結(jié)構(gòu)應(yīng)變和疲勞壽命之間的關(guān)系，其中最通用的應(yīng)變壽命預(yù)測(cè)模型是由Basquin在1910年提出的，用以表示彈性應(yīng)變?chǔ)舉a和疲勞壽命N之間的關(guān)系，其表達(dá)式為[11]：

(1)

式中，σf′為疲勞強(qiáng)度系數(shù)，b為疲勞強(qiáng)度指數(shù),E為彈性模量，Nf為疲勞壽命.由于Basquin公式?jīng)]有考慮平均應(yīng)力對(duì)疲勞壽命的影響，而且只能對(duì)以彈性應(yīng)變?yōu)橹鞯慕Y(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè).對(duì)此，1954年，Manson和Coffin在獨(dú)立研究熱疲勞問題的過(guò)程中分別提出了一種以塑性應(yīng)變幅εpa為參量的壽命模型[12]：

εpa=εf′(2Nf)c

(2)

式中，εf′為疲勞延性系數(shù)，c為疲勞延性指數(shù).在恒幅應(yīng)變疲勞試驗(yàn)中，總應(yīng)變幅εa可以寫成彈性應(yīng)變幅εea和塑性應(yīng)變幅εpa之和，即Manson-Coffin公式：

(3)

對(duì)于Manson-Coffin模型，它是在對(duì)稱循環(huán)載荷下提出的，沒有考慮平均應(yīng)力對(duì)疲勞壽命的影響.但是之后的試驗(yàn)證明，平均應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞壽命的影響不可忽略，一般情況下，拉伸平均應(yīng)力對(duì)疲勞壽命具有削弱作用，壓縮平均應(yīng)力對(duì)疲勞壽命具有促進(jìn)作用，本文主要考慮拉伸平均應(yīng)力.針對(duì)Manson-Coffin模型未能考慮平均應(yīng)力影響的缺點(diǎn)，Morrow提出了相應(yīng)的平均應(yīng)力修正準(zhǔn)則，并將其引入到Manson-Coffin公式中提出了僅對(duì)結(jié)構(gòu)彈性應(yīng)變部分進(jìn)行平均應(yīng)力修正的模型[6]：

(4)

(5)

式中，σar=σf′(2Nf)b為等效對(duì)稱應(yīng)力幅值，σa為循環(huán)應(yīng)力幅值，σm為平均應(yīng)力.

同樣地，Smith、Watson和Topper也提出了一種平均應(yīng)力修正準(zhǔn)則(SWT平均應(yīng)力修正準(zhǔn)則)：

(6)

式中，σmax=σm+σa是最大應(yīng)力值.同時(shí)他們認(rèn)為在給定疲勞壽命下，最大應(yīng)力σmax和循環(huán)應(yīng)變幅εa兩者的乘積會(huì)保持不變，因此假設(shè)在一個(gè)循環(huán)周期中的疲勞損傷量是通過(guò)SWT參數(shù)σmaxεa確定的，并結(jié)合式(6)提出了SWT參數(shù)模型[7]：

(7)

對(duì)比式 (4)～(7) 可以看出，兩種改進(jìn)模型都是在Manson-Coffin模型的基礎(chǔ)上對(duì)疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′進(jìn)行修正，Morrow改進(jìn)模型假設(shè)疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′與平均應(yīng)力σm之間是一次函數(shù)關(guān)系，而SWT參數(shù)模型則是假設(shè)兩者之間是冪函數(shù)關(guān)系.文獻(xiàn)[9]則認(rèn)為疲勞強(qiáng)度系數(shù)損傷的嚴(yán)重程度取決于平均應(yīng)力σm和強(qiáng)度極限σb之間的相對(duì)量度，并采用指數(shù)應(yīng)力函數(shù)的形式來(lái)反映疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′與平均應(yīng)力σm之間的非線性關(guān)系，即：

(8)

Nk=Nfexp(-σm/σb)1/b

(9)

2 Manson-Coffin模型的改進(jìn)

根據(jù)Basquin公式可知，疲勞強(qiáng)度指數(shù)b通常為負(fù)值，當(dāng)應(yīng)力幅值一定時(shí)，疲勞壽命Nf和疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′為正比關(guān)系，由于平均應(yīng)力使疲勞裂紋尖端保持張開，能夠加速疲勞損傷的累積過(guò)程，使得疲勞壽命減少，從而引起σf′的降低，即可以假定σf′是σm的某一函數(shù)，即σf′=f(σm).大量的理論和試驗(yàn)數(shù)據(jù)證明，材料的疲勞壽命在加載的過(guò)程中以非線性函數(shù)的形式變化，因此假定疲勞強(qiáng)度系數(shù)和平均應(yīng)力這兩者之間是非線性函數(shù)關(guān)系是可取的，符合疲勞裂紋擴(kuò)展的規(guī)律.

需要注意的是，一方面，只有當(dāng)施加的最大應(yīng)力小于材料的強(qiáng)度極限時(shí)，才會(huì)發(fā)生疲勞破壞而不是單調(diào)破壞，而屈服極限是表征工程材料塑性行為及其相關(guān)疲勞性能的關(guān)鍵指標(biāo)，其對(duì)于低周疲勞壽命的影響也是不可忽略的.Soderberg曾提出一種極限應(yīng)力線來(lái)補(bǔ)償拉伸平均應(yīng)力的影響，將屈服極限引入到平均應(yīng)力修正準(zhǔn)則中，以此來(lái)考慮屈服極限的影響[13]，但后續(xù)試驗(yàn)表明只考慮屈服極限而得出的結(jié)果會(huì)比較保守[14]，因此應(yīng)該綜合考慮強(qiáng)度極限和屈服極限兩個(gè)因素.另一方面，因?yàn)椴牧系牧W(xué)性能差異，不同材料的平均應(yīng)力效應(yīng)明顯不同，文獻(xiàn)[10]認(rèn)為材料對(duì)平均應(yīng)力影響的靈敏度和屈服極限、強(qiáng)度極限存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，由此可得平均應(yīng)力對(duì)每種材料疲勞壽命的影響程度與屈服極限σs和強(qiáng)度極限σb有關(guān).綜上，可以認(rèn)為疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′的平均應(yīng)力損傷程度與屈服極限和強(qiáng)度極限的相對(duì)量度σs/σb有關(guān).

考慮到文獻(xiàn)[9]通過(guò)平均應(yīng)力與強(qiáng)度極限的相對(duì)量度σm/σb的指數(shù)應(yīng)力函數(shù)形式來(lái)體現(xiàn)平均應(yīng)力對(duì)疲勞強(qiáng)度系數(shù)的非線性影響具有較好的預(yù)測(cè)性能，本文改進(jìn)模型中亦將相對(duì)量度σm/σb作為基本變量，并采用指數(shù)應(yīng)力函數(shù)形式對(duì)疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′進(jìn)行修正.根據(jù)上述分析，對(duì)疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′進(jìn)行平均應(yīng)力修正時(shí)，除考慮相對(duì)量度σm/σb的影響外，還需進(jìn)一步考慮屈服極限和強(qiáng)度極限的相對(duì)量度σs/σb對(duì)平均應(yīng)力以及疲勞強(qiáng)度系數(shù)的影響.此外，在低周疲勞區(qū)域，塑性變形會(huì)減弱或消除平均應(yīng)力對(duì)疲勞強(qiáng)度的影響，因此主要考慮彈性部分的平均應(yīng)力修正.綜上，給出改進(jìn)的預(yù)測(cè)模型為：

(10)

3 算例及對(duì)比分析

為驗(yàn)證本文改進(jìn)的Manson-Coffin模型的疲勞壽命預(yù)測(cè)能力，采用SAE 1045 HRC 55鋼、7075-T651鋁和16MnR鋼[4,15-16]三種材料的低周疲勞壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)，同時(shí)為驗(yàn)證改進(jìn)模型的有效性和準(zhǔn)確性，將其疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果與其他改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.

SAE 1045 HRC 55、7075-T651和16MnR三種材料的疲勞性能參數(shù)的試驗(yàn)值見表1，表2～表4分別給出了三種材料的疲勞壽命試驗(yàn)值和不同模型的預(yù)測(cè)值，表中應(yīng)力σ單位均為MPa，疲勞壽命N的單位均為cycle.由表2～表4的結(jié)果可以看出，本文改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果比較接近試驗(yàn)值，具有較高的預(yù)測(cè)精度.為了量化不同模型的疲勞壽命預(yù)測(cè)誤差，這里采用文獻(xiàn)[17]中的方法，定義預(yù)測(cè)對(duì)數(shù)壽命與試驗(yàn)對(duì)數(shù)壽命之差δ為預(yù)測(cè)誤差，即：

表1 SAE 1045 HRC 55、7075-T651和16MnR疲勞性能參數(shù)

表2 SAE 1045 HRC 55鋼疲勞壽命試驗(yàn)值和不同模型預(yù)測(cè)值

表3 7075-T651鋁疲勞壽命試驗(yàn)值和不同模型預(yù)測(cè)值

表4 16MnR鋼疲勞壽命試驗(yàn)值和不同模型預(yù)測(cè)值

δ=lg(Nf)-lg(Nt)

(11)

均方差是總結(jié)模型預(yù)測(cè)誤差集中趨勢(shì)和擴(kuò)散的良好統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算均方差作為壽命預(yù)測(cè)模型的度量， 不同模型的疲勞壽命預(yù)測(cè)的均方差值見表5.

表5 不同模型疲勞壽命預(yù)測(cè)的均方差值

由表5的計(jì)算結(jié)果可知，本文改進(jìn)模型對(duì)各個(gè)材料的壽命預(yù)測(cè)均方差值均最小，偏離試驗(yàn)值的程度最低，顯示了良好的預(yù)測(cè)穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和適用性.

圖1(a)～1(c)分別針對(duì)三種材料，將本文改進(jìn)模型的疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果與SWT參數(shù)模型和文獻(xiàn)[9]中模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.

(c)16MnR鋼圖1 不同模型疲勞壽命預(yù)測(cè)值對(duì)比

從圖1可以看出，對(duì)于SAE 1045 HRC 55鋼，本文改進(jìn)模型預(yù)測(cè)結(jié)果最優(yōu)，明顯優(yōu)于SWT參數(shù)模型和文獻(xiàn)[9]模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，三種模型分別有60%、30%和40%的數(shù)據(jù)位于±1.5倍誤差帶內(nèi)；對(duì)于7075-T651鋁，三種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果比較接近，大部分?jǐn)?shù)據(jù)均在±1.5倍誤差帶內(nèi)，預(yù)測(cè)精度均較高，本文改進(jìn)模型略優(yōu)于其他兩種既有模型，同時(shí)顯示了SWT模型對(duì)于鋁制材料的預(yù)測(cè)效果也較好；對(duì)于16MnR鋼，本文改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果十分接近試驗(yàn)值，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)均在±1.5倍誤差帶內(nèi)， 預(yù)測(cè)精度顯著高于SWT參數(shù)模型和文獻(xiàn)[9]模型，其中SWT參數(shù)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果最差，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)幾乎都在1.5倍誤差帶以外.綜上，本文改進(jìn)模型對(duì)非對(duì)稱載荷下結(jié)構(gòu)的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)是比較有效和準(zhǔn)確的，相比于傳統(tǒng)Manson-Coffin模型、SWT模型以及文獻(xiàn)[9]模型，本文改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)精度均有較為明顯的提高.

4 結(jié)論

(1)為了解決平均應(yīng)力對(duì)疲勞壽命影響的問題，在采用相對(duì)量度σm/σb的指數(shù)應(yīng)力函數(shù)形式基礎(chǔ)上，引入屈服極限和強(qiáng)度極限的相對(duì)量度σs/σb來(lái)修正疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf′，以此對(duì)Manson-Coffin模型進(jìn)行改進(jìn).所提出的改進(jìn)模型反映出了疲勞強(qiáng)度系數(shù)和平均應(yīng)力之間的非線性關(guān)系以及極限應(yīng)力之間的相對(duì)量度對(duì)兩者之間關(guān)系的影響；

(2)采用三種常用材料的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)改進(jìn)模型的合理性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果顯示本文改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，疲勞壽命的預(yù)測(cè)精度相較于傳統(tǒng)Manson-Coffin模型，其既有模型得到了明顯的提高，且形式較為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預(yù)測(cè).