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    含槽變截面懸臂式壓電俘能器性能研究

    2022-07-16 02:20:04周星德
    壓電與聲光 2022年3期
    關(guān)鍵詞:俘能器慣性矩懸臂

    蔡 浩,周星德

    (河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院,江蘇 南京 210098)

    0 引言

    微機電系統(tǒng)可以直接從工作環(huán)境中獲得能量,這對于存在環(huán)境激勵而又更換電池難的場合具有重要意義,已經(jīng)成為研究的熱點之一[1]。壓電俘能器有兩端固定式、一固一鉸式、懸臂式,可以適用于不同場合,其中,懸臂式壓電俘能器研究較多,文獻[2]提出增加壓電陶瓷鋪設(shè)數(shù)目來增大懸臂梁固有頻率,減小自由端最大位移,同時保持各監(jiān)測點應(yīng)變值不變。增大俘獲能量的方法主要有以下兩種:

    1)采用并聯(lián)的方式[3]。雖然該方式結(jié)構(gòu)復(fù)雜,但在增加能量的同時,可以加寬帶寬。

    2)采用變截面形式。近期有關(guān)此方面的研究較多,梁形式可以采用等厚度梯形[4-5]、等厚度矩形+三角形[6]、變厚度圓臺[7]等,結(jié)構(gòu)稍微復(fù)雜,但俘獲能量有明顯提高。為了進一步提高俘獲的能量,在采用變截面形式的前提下,近期出現(xiàn)了在梁基體上挖槽來提高俘獲能量的方式[8-9],可以是等厚度單槽、等厚度多槽、變厚度單槽等,通過仿真可看出俘獲的能量得到提高。

    目前有關(guān)梁基體挖槽的研究,梁形式還是采用矩形+三角形的模式,為了進一步提高俘獲的能量,本文提出了按指數(shù)變化的梁形式,以期獲得更大的俘獲能量,具體過程如下:

    1)梁形式采用指數(shù)變化,并且內(nèi)部挖槽。

    2)推導(dǎo)對應(yīng)的振動方程,確定振型表達(dá)式,進而寫出特征方程。

    3)推導(dǎo)電壓和輸出功率表達(dá)式,并根據(jù)電壓和輸出功率確定最優(yōu)指數(shù)。

    最后,本文給出一個仿真實例說明了該方法的有效性。

    1 懸臂式壓電俘能器模型

    1.1 模型詳圖

    圖1為懸臂式壓電俘能器結(jié)構(gòu)圖(n>1),圖中L為結(jié)構(gòu)截斷前的總長度,L1=L/3為結(jié)構(gòu)截斷后自由端與截斷前自由端的距離,L2=2L/3為結(jié)構(gòu)截斷前壓電片與自由端的距離,h為梁的總高度,bm為壓電片的寬度,br為梁固定端的寬度。結(jié)構(gòu)在x=L1處截斷并安裝電磁激勵器。

    圖2為壓電俘能器第二部分詳圖,梁的總高度h=h1+h2+h3+hp,其中h2,hp分別為矩形槽和壓電片的厚度,h1、h3分別為矩形槽與梁上下端之間的距離。中性軸與壓電層中點的距離為yc。

    1.2 運動方程

    利用歐拉伯努利梁理論建立模型[10]為

    f(x,t)

    (1)

    其中:

    M(x,t)=E(x)I(x)?2y(x,t)/?x2

    (2)

    m(x)=ρA(x)

    (3)

    式中:M(x,t),c(x),m(x),E(x),I(x)分別為彎矩、阻尼系數(shù)、單位長度質(zhì)量、剛度和慣性矩;ρ為密度;y(x,t)為橫向位移;A(x)為橫截面積;f(x,t)為外激振力。

    對于等厚度錐形梁,寬度b(x)=bL(x/L)n,其中bL為錐形梁固定端的寬度,錐形梁的彎曲程度由系數(shù)n決定,任意位置的橫截面積和任意位置的慣性矩為

    A(x)=AL(x/L)n(0≤x≤L)

    (4)

    I(x)=IL(x/L)n(0≤x≤L)

    (5)

    AL=bLh(0≤x≤L)

    (6)

    (7)

    無阻尼自由振動為

    (8)

    令梁的位移為y(x,t)=W(x)eiωt,其中ω為結(jié)構(gòu)的自振頻率,代入式(8)可得:

    (9)

    將式(4)、(5)代入式(9)可得:

    (10)

    將式(6)微分可得:

    (11)

    圖1中第一部分和第二部分的振型可表示為

    (12)

    (13)

    λ4=16ρALω2L2/(EIL)

    (14)

    式中:AL,IL分別為x=L時的截面面積和慣性矩;Jn,Yn分別為第一、二類的n階貝塞爾函數(shù);In,Kn分別為第一、二類的n階修正貝塞爾函數(shù);C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8為待定常數(shù)。

    圖2中第二部分結(jié)構(gòu)的中性軸Na(x)和每層的慣性矩Ij(x)分別為

    (15)

    (L2≤x≤L)

    (16)

    式中Ej,hj分別為第j層的楊氏模量和厚度,j與i取值分別為1,2,3,4和2,3,4。

    將壓電層中點作為y0,y0到Na(x)的距離為

    (L2≤x≤L)

    (17)

    1.3 邊界條件及連續(xù)性條件

    1)當(dāng)x=L1時,有:

    (18)

    (19)

    2)當(dāng)x=L時,有:

    W2(L)=0

    (20)

    dW2(L)/dx=0

    (21)

    連續(xù)性條件為

    當(dāng)x=L2時,有:

    W1(L2)=W2(L2)

    圖6為數(shù)值模擬得到的激光打孔中熔融物的噴濺過程圖,激光能量為21J。圖中深色與淺色部分分別表示氣體和鋁板,相交處是兩種物質(zhì)的過渡。由圖6(a)可知在打孔剛開始階段,熔融物噴濺行為還比較弱,此時孔內(nèi)的氣壓還比較小,且孔深還比較淺,孔壁比較平緩,熔融物的噴濺方向基本是垂直于材料表面的。在0.3~0.4 ms(圖6(b)、圖6(c))時,熔融物的噴濺行為比較劇烈,繼續(xù)到0.5 ms時(圖6(d))孔深進一步增加,可看到熔融物的噴濺開始減緩,這是由于孔形成后,底面變成了曲面,不利于熔融層內(nèi)形成這種壓力,再者孔壁的坡度逐漸增加,也增加了熔融物噴濺的難度。

    (22)

    (23)

    (24)

    (25)

    1.4 受迫振動的解及輸出電壓

    特征方程為

    η8×8C8×1=0

    (26)

    式中:η為特征方程;C為模態(tài)系數(shù)向量,其表達(dá)式為

    C=[C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8]T

    (27)

    令系數(shù)陣行列式為0可求系統(tǒng)特征值,即:

    |η8×8|=0

    (28)

    在梁的端部施加荷載Psin(ω′t)(其中ω′為外激頻率),則有:

    y1,2(x,t)=W1,2(x)GL-1pW2(L)sin(ω′t)/α

    (29)

    其中:

    (30)

    (31)

    式中ζ為阻尼比。

    電磁激勵器通電后,線圈在梁端產(chǎn)生的力p[9]為

    (32)

    式中:Nc為線圈的轉(zhuǎn)數(shù);I為通電線圈電流大??;A為橫截面積;D為永磁體的半徑。

    由壓電片產(chǎn)生的輸出電壓為

    (33)

    (34)

    (35)

    (36)

    式中Cp為電容。

    2 仿真分析

    利用第一節(jié)給出的模型,通過仿真對圖1、2所示的壓電俘能器的性能進行評估,梁和壓電貼片的尺寸如表1所示。

    通過改變電磁激勵器的輸入值,使施加的外激力恒定為0.1 N,Cp=65 nF,壓電俘能器的ζ=0.002 2。圖3為使用MATLAB給出了當(dāng)錐形梁的彎曲程度系數(shù)n=1.8、1.6、0.8時,輸出電壓與外激頻率間的關(guān)系。

    由圖3可知,將n=0.8~1.8時可得到不同n值對應(yīng)的輸出電壓,將n與輸出電壓進行回歸分析,得到的結(jié)果如圖4所示。

    3 結(jié)束語

    對于懸臂式壓電俘能器,文獻[8-10]已經(jīng)驗證了挖槽能夠提高輸出電壓,其梁形式采用矩形+三角形的簡單模式。為了進一步提高俘獲的能量,本文提出了按指數(shù)變化的梁形式,以期獲得更大的俘獲能量。通過仿真發(fā)現(xiàn),在保持梁長度不變的前提下,指數(shù)越大,則輸出電壓及功率越大,但系統(tǒng)的特征頻率也變大,因此,在實際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)實際需要確定合適的指數(shù)。

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