一道類等差數(shù)列問題的探究

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

每年的高考題或各地模擬試題,都會有一些難度相對較大的壓軸題,這類考題有較高的數(shù)學(xué)思維廣度與深度,主要考查考生的理解能力,運算能力等綜合素養(yǎng),以滿足高校對人才的選拔.當中出現(xiàn)了很多短小精悍、立意深遠、思維要求高,思路靈活的小題.下面以一份模擬試卷的第12題為例,進行分析探究,體會其魅力.

一、題目呈現(xiàn)與分析

題目記數(shù)列{an} 的前n項和為Sn,a1=2,an+1?an∈{1,3,5},Sk=100,則k可以等于( )

A.8 B.9 C.11 D.12

分析本題是2022 屆廣東省高三綜合能力測試(二)試卷的第12題,是多項選擇題.試題是一道“類等差數(shù)列”的數(shù)列題,其“類公差”的取值是{1,3,5},設(shè)置的情境是學(xué)生既熟悉,又陌生的.試題的綜合性較強,對于考生運用所學(xué)知識,尋找合理的解題策略以及推理論證能力有較高的要求.作為試卷多項選擇題的壓軸題,其內(nèi)涵豐富,思維要求高,是一道能突出選拔功能的好題.

二、解法探究

視角1:列舉法

解法1 設(shè)di∈{1,3,5},i=1,2,···,k?1.因為a1=2,an+1?an∈{1,3,5},于是a2=2+d1,a3=2+d1+d2,···,ak=2+d1+d2+···+dk?1.設(shè)di,i=1,2,···,k?1中有x個1,y個3,z個5,則ak=2+x+3y+5z,且x+y+z=k?1.從而,當x=k?1,y=z=0 時,ak有最小值ak=2+k?1=k+1;當x=y=0,z=k?1 時,ak有最大值ak=2+5(k?1)=5k?3.故有k+1≤ak≤5k?3,從而可得.

由Sk=100,可得,解得7≤k≤12.又因為a1=2,an+1?an∈{1,3,5}.所以{an}每一項的值按照順序應(yīng)為偶數(shù),奇數(shù),偶數(shù),奇數(shù),···.

當k=7 時,Sk=a1+a2+a3+···+a7=100,等式的左邊有4個偶數(shù),3個奇數(shù),其和不可能為偶數(shù),故此等式不成立,所以k=7 不正確.當k=8 時,數(shù)列2,5,8,11,14,17,20,23 符合題意,所以A 正確.當k=9時,數(shù)列2,3,4,7,10,13,16,21,24 符合題意,所以B 正確.當k=11 時,Sk=a1+a2+a3+···+a7=100,等式的左邊有6個偶數(shù),5個奇數(shù),其和不可能為偶數(shù),故此等式不成立,所以C 不正確.當k=12 時,數(shù)列2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14,15 符合題意,所以D 正確.所以選ABD.

評注在發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}組成項的奇偶性規(guī)律后,較易排除選項C,本解法采用列舉的形式找出符合條件的數(shù)列,屬于逐一試值的方法,較難說清如何構(gòu)造出符合題設(shè)條件的數(shù)列的過程,解答需要有較強的數(shù)感,也會比較耗時.

視角2:基于等差數(shù)列的調(diào)整法

解法2 若an+1?an=1,a1=2,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以an=n+1,S12=90,S13=104.

下面對數(shù)列{an}進行適當調(diào)整,構(gòu)造出符合條件的新數(shù)列.

當k=8 時,數(shù)列{an}為2,3,4,5,6,7,8,9,各項和為44,可以調(diào)整為2,3,4,9,14,19,22,27,所以A 正確.當k=9時,數(shù)列{an}為2,3,4,5,6,7,8,9,10,各項和為54,可以調(diào)整為2,3,4,5,8,13,18,21,26,所以B 正確.當k=11 時,數(shù)列{an}為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,各項和為77,又因為an+1?an=1 變?yōu)閍n+1?an=3 或an+1?an=5 時,其新數(shù)列的各項和的增量一定是偶數(shù),所以調(diào)整后的新數(shù)列的各項和一定不會等于100,所以C 不正確.當k=12 時,數(shù)列{an}為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,各項和為90,可以調(diào)整為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,16,19,所以D 正確.所以選ABD.

評注本解法先得到一個等差數(shù)列,然后在此基礎(chǔ)上進行調(diào)整,構(gòu)造出符合題設(shè)條件的數(shù)列,其中也用到列舉的形式,解法較解法1 要容易一些.

視角3:基于不定方程的構(gòu)造法

解法3 設(shè)di∈{1,3,5},i=1,2,···,k?1.因為a1=2,an+1?an∈{1,3,5},于是a2=2+d1,a3=2+d1+d2,···,ak=2+d1+d2+···+dk?1.所以Sk=a1+a2+a3+···+ak=2k+(k?1)d1+(k?2)d2+···+dk?1.

當k=8 時,S8=16+7d1+6d2+···+d7=100,即7d1+6d2+···+d7=84,令di=3,i=1,2,···,7,此時數(shù)列為2,5,8,11,14,17,20,23,所以A 正確.當k=9 時,S9=18+8d1+7d2+···+d8=100,即8d1+7d2+···+d8=82,令d1=5,d2=3,d3=d4=···=d8=1,此時數(shù)列為2,7,10,11,12,13,14,15,16,所以B 正確.當k=11 時,S11=22+10d1+9d2+···+d10=100,即10d1+9d2+···+d10=78,由于di∈{1,3,5},i=1,2,···,10,因此等式的左邊有5個偶數(shù),5個奇數(shù),其和不可能為偶數(shù),故此等式不成立,所以C 不正確.當k=12 時,S12=24+11d1+10d2+···+d11=100,即11d1+10d2+···+d11=76,令d7=3,其余的di=1,此時數(shù)列為2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14,15,所以D 正確.所以選ABD.

解法4 設(shè)di∈{1,3,5},i=1,2,···,k?1.因為a1=2,an+1?an∈{1,3,5},于是a2=2+d1,a3=2+d1+d2,···,ak=2+d1+d2+···+dk?1.所以Sk=2k+(k?1)d1+(k?2)d2+···+dk?1.設(shè)di,i=1,2,···,k?1中有x個1,y個3,z個5,則(k?1)+(k?2)+···+2+1=,所以

當Sk=100,k=8 時,即消去x,得y+2z=28,可得x=0,y=0,z=28 是方程組的一個解,所以A 正確.

當Sk=100,k=9 時,即消去x,得y+2z=23,可得x=23,y=3,z=10 是方程組的一個解,所以B 正確.

當Sk=100,k=11 時,即消去x,得2y+4z=23,方程無整數(shù)解,所以C 不正確.

當Sk=100,k=12 時,即消去x,得y+2z=5,可得x=63,y=1,z=2 是方程組的一個解,所以D 正確.所以選ABD.

評注兩個解法均是從不定方程的角度分析數(shù)列前n項和的構(gòu)成規(guī)律,其中解法3 能清晰地構(gòu)造出符合題設(shè)條件的數(shù)列的過程,較易得到符合條件的數(shù)列,而解法4 把符合條件的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的解,思路新穎.另外,從兩個解法可以知道符合條件的數(shù)列可能不是唯一的,例如當k=9 時,由8d1+7d2+···+d8=82,令d1=d4=1,其余的di=3,此時數(shù)列為2,3,6,9,10,13,16,19,22 也符合題意.

視角4:基于數(shù)列前n項和的調(diào)整法

解法5 設(shè)an+1?an=1+2bn+1,bn∈{0,1,2},n≥2.由a1=2,且a2?a1=1+2b2,a3?a2=1+2b3,···,an?an?1=1+2bn,累加可得an=n+1+2(b2+b3+···+bn).從而Sn=a1+a2+···+an=n(n+3)+2[(n?1)b2+(n?2)b3+···+bn].

記T=(n?1)b2+(n?2)b3+···+bn,利用調(diào)整法可知T總能取到區(qū)間[0,n(n?1)]內(nèi)的每一個整數(shù),具體調(diào)整方法如下:

令bi=0,i=2,3,···,n,則T=0; 令bn=1,bi=0,i=2,3,···,n?1,則T=1; 令bn=0,bn?1=1,bi=0,i=2,3,···,n?2,或bn=2,bi=0,i=2,3,···,n?1,則T=2;···令bn=2,i=2,3,···,n,則T=2[(n?1)+(n?2)+···+1]=n(n?1).所以T總能取到區(qū)間[0,n(n?1)]內(nèi)的每一個整數(shù).

評注解法5 將an+1?an∈{1,3,5} 轉(zhuǎn)化為bn∈{0,1,2},再用調(diào)整法的思想說明數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值規(guī)律,解題思路稍難理解,但可以看清楚問題的本質(zhì),解法具有一般性.

三、試題的拓展

問題1 記數(shù)列{an} 的前n項和為Sn,a1=2,an+1?an∈{1,3,5},Sk=1000,試求滿足條件k值.

解由解法5,當Sk=1000 時,則需要滿足:k(k+3)≤1000≤k(k+3)+2k(k?1),且k(k+3)為偶數(shù),解得21≤k≤43,且k ≡0 或1(mod4).故所有符合的k值只有21,24,25,28,29,32,33,36,37,40,41.

問題2 由解法3 與解法4,可知符合條件的數(shù)列可能不是唯一的.那么,在試題的條件下,當k=12 或k=9 時,滿足題意的數(shù)列{an}有多少個?是否存在某種規(guī)律?

這些留給感興趣的讀者進行研究了.

一題一世界,遇到一道經(jīng)典試題,要從多角度、深層次探尋其解法,通法也好,巧法也罷,不單要比較其優(yōu)劣,還要清楚其中的方法內(nèi)涵,知曉其中的來龍去脈,方能實現(xiàn)試題研究價值的最大化.另外,不要只滿足于問題的解決,要通過變式、類比進行研究,尋求問題的增長點,從而達到做一題會一類,甚至?xí)黄哪康?積累良好的數(shù)學(xué)思維和實踐經(jīng)驗,最終在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展.