知識(shí)巧交匯 數(shù)列妙應(yīng)用

?安徽省阜陽(yáng)市紅旗中學(xué) 王茂快

1 引言

在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題”是高考數(shù)學(xué)大綱的明確要求與高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想之一，作為高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一的數(shù)列，更是多知識(shí)交匯與綜合的重要場(chǎng)所，是創(chuàng)新應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)的更深層次體現(xiàn)，在高考中的地位將越來(lái)越重要，是每年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)之一.數(shù)列的交匯綜合問(wèn)題，以數(shù)列的相關(guān)知識(shí)為背景或串聯(lián)點(diǎn)，把相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以合理創(chuàng)新與交匯，類型多樣，變化多端，倍受關(guān)注.

2 數(shù)列與新信息的交匯綜合

含“新信息”情境背景的數(shù)列交匯綜合問(wèn)題，經(jīng)常以圖表遷移、新運(yùn)算、新概念、新情境等形式出現(xiàn).此類問(wèn)題與新信息相關(guān)，變化形式多樣，要運(yùn)用的相關(guān)知識(shí)隱藏比較深，破解的關(guān)鍵是找到解題的方向，借助數(shù)列的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與處理.

例1如圖1，是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.

圖1

若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列{an}，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列說(shuō)法中正確的是( ).

A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列

B.數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

C.數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是a11

D.數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)是S11

解析：因?yàn)?月28日的新增確診病例數(shù)小于1月27日的新增確診病例數(shù)，即a7>a8，所以{an}不是遞增數(shù)列，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?月23日新增確診病例數(shù)為0，所以S33=S34，所以數(shù)列{Sn}不是遞增數(shù)列，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)?月31日新增確診病例數(shù)最多，從1月21日算起，1月31日是第11天，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是a11，所以選項(xiàng)C正確；

數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)是S35，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：以新情境為問(wèn)題背景，結(jié)合數(shù)列的變化曲線圖，利用圖表遷移，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)具體的數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的數(shù)列，并結(jié)合通項(xiàng)、求和、數(shù)列性質(zhì)等來(lái)分析相應(yīng)的說(shuō)法的正確性問(wèn)題.

3 數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合

數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合問(wèn)題主要包括：(1)借助函數(shù)條件來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題，一般利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列問(wèn)題；(2)借助數(shù)列條件來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題，一般利用數(shù)列的取值范圍、公式、求和方法，結(jié)合式子進(jìn)行化簡(jiǎn)變形來(lái)研究函數(shù)問(wèn)題.

例2(多選題)定義在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，那么稱函數(shù)f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(-∞，0)∪(0，+∞)上的如下函數(shù)，其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的為( ).

A.f(x)=x3B.f(x)=ex

故選擇答案：AC.

點(diǎn)評(píng)：以創(chuàng)新函數(shù)定義為問(wèn)題背景，結(jié)合數(shù)列與函數(shù)的交匯綜合來(lái)設(shè)置問(wèn)題，借助函數(shù)的解析式，通過(guò)等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，對(duì)比創(chuàng)新定義逐一剖析，進(jìn)而判定是否滿足對(duì)應(yīng)的創(chuàng)新定義問(wèn)題.

4 數(shù)列與不等式的交匯綜合

數(shù)列與不等式的交匯綜合問(wèn)題主要包括：(1)研究數(shù)列中項(xiàng)或前n項(xiàng)和的最值，一般利用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決；(2)研究數(shù)列與不等式的交匯融合，一般通過(guò)分解、轉(zhuǎn)化為數(shù)列與不等式單獨(dú)的問(wèn)題，各自利用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決.

例3已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)bn=anan+1an+2，若S7

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：由S7

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

由于a8+a9+a10>0，即3(a1+8d)>0，可得a9>0.又a9+a10<0，則知a10<0，所以d<0.

所以等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，且a7>0，a8>0，a9>0，a10<0.

所以b1>0，b2>0，……，b7>0，b8<0，b9>0，b10<0，b11<0，……

由于b9+b8=a9a10(a11+a8)，a11+a8=a9+a10<0，a10<0，a9>0，所以b9+b8>0，即當(dāng)Tn取得最大值時(shí)，n=9.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評(píng)：以等差數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系式為問(wèn)題背景，通過(guò)求和公式的轉(zhuǎn)化建立相應(yīng)的不等式組，通過(guò)不等關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，確定數(shù)列的單調(diào)性與最值，進(jìn)而確定數(shù)列的項(xiàng)數(shù)問(wèn)題.

5 數(shù)列與解析幾何的交匯綜合

數(shù)列與解析幾何的交匯綜合，經(jīng)常借助解析幾何曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系等來(lái)探究數(shù)列的遞推關(guān)系式問(wèn)題.破解的步驟是：①分析曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件；②探究數(shù)列的遞推關(guān)系式，并進(jìn)行檢驗(yàn).

圖2

解析：當(dāng)r1=1時(shí)，圓C1：x2+(y-a1)2=1.

將圓C1的方程與y=x2聯(lián)立，消去x，得y2-(2a1-1)y+a12-1=0.

由圖可知當(dāng)n≥2時(shí)，an=an-1+rn-1+rn.

①

將x2+(y-an)2=rn2與y=x2聯(lián)立，消去x，得

y2-(2an-1)y+an2-rn2=0.

②

點(diǎn)評(píng)：以平面解析幾何為問(wèn)題背景，通過(guò)曲線與圓的相切，結(jié)合函數(shù)與方程思維的應(yīng)用，代入消參，建立對(duì)應(yīng)的方程，并利用判別式的建立與轉(zhuǎn)化來(lái)確定數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與處理.

6 數(shù)列與平面向量的交匯綜合

數(shù)列與平面向量的交匯綜合問(wèn)題往往是把數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和滲透在平面向量的線性運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算中，利用向量滿足的條件轉(zhuǎn)化得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)一步解決數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題.

A.31 B.33 C.63 D.65

解析：如圖3所示，連接BD，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.因?yàn)椤鰽CD的面積是△ABC的面積的2倍，所以DF=2BE.

圖3

所以

an+1-3=2(an-2)，

即

an+1-1=2(an-1).

因此，數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為a1-1=2，公比為2的等比數(shù)列，an-1=2×2n-1=2n，則an=2n+1，從而a5=25+1=33.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：以平面幾何圖形為問(wèn)題背景，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)、平面向量的線性運(yùn)算等加以分解與展開(kāi)，巧妙轉(zhuǎn)化并確定平面向量的相關(guān)參數(shù)，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，為數(shù)列的進(jìn)一步分析與求解提供條件.

7 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)列與其他知識(shí)的交匯綜合問(wèn)題，一直都是歷年高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)所在與熟悉面孔，巧妙通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，溝通不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，增加數(shù)學(xué)之間的交匯與綜合，提升問(wèn)題的趣味性與拓展性，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).