從兩個(gè)視角探究圓錐曲線中的定值問題

?甘肅省天水市第一中學(xué) 方春麗

1 引言

在圓錐曲線問題中，常常出現(xiàn)定點(diǎn)定值問題.求解的思路主要有兩個(gè)：一是利用代數(shù)的解法求解，即先選擇恰當(dāng)?shù)幕玖?，表示出所有的信息，利用代?shù)運(yùn)算求得結(jié)論，再對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行幾何化的解釋；二是直接利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.兩種方法并不獨(dú)立，有時(shí)也需要配合使用進(jìn)行證明.在2022屆汕頭市的質(zhì)量檢測(cè)中，考查了一道以橢圓為背景的定值問題，筆者分別從代數(shù)與幾何的視角進(jìn)行了證明，并將該結(jié)論推廣至雙曲線與拋物線.現(xiàn)將探究過程展示如下，以饗讀者.

2 題目及分析

(1)求橢圓E的方程；

(2)若動(dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)M(1,0)作直線l的垂線，垂足為Q，試探究：|OQ|是否為定值，如果是，則求出該值；如果不是，則說明理由.

3 解法呈現(xiàn)

解法1：基本量法.

設(shè)直線l的方程為x=my+t，與橢圓E聯(lián)立，可得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0.因?yàn)橹本€l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上式的判別式等于零.

化簡可得：t2=m2+2.

①

②

將式②代入直線l的方程，可得

③

將上述解法一般化即可證明上述結(jié)論成立.接下來，筆者將通過幾何的視角來證明.

解法2：利用極點(diǎn)極線，應(yīng)用幾何法求解.

在證明結(jié)論之前，先介紹以下兩個(gè)引理.

圖1

證明:如圖2,不妨設(shè)AB>AC(若AB=AC，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D不存在),在線段AB上找一點(diǎn)E，使得AE=AC，則∠3=∠4.

圖2

又∠B=∠B，

∴△BCE∽△BDA.

∴CE∥AD，

∴∠3=∠2，∠4=∠1.

因此∠1=∠2，即AD為△ABC對(duì)應(yīng)的外角平分線.

該引理即是橢圓的光學(xué)性質(zhì)：若從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射出一束光線，經(jīng)過橢圓反射后會(huì)經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

證明：如圖3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0).根據(jù)極點(diǎn)極線[2]的定義可得，過點(diǎn)P的切線l方程為

圖3

當(dāng)直線l與x軸無交點(diǎn)時(shí)，結(jié)論顯然成立.

根據(jù)外角平分線定理，則可得橢圓過點(diǎn)P的切線為∠F1PF2的外角平分線.

現(xiàn)根據(jù)引理證明上述一般性結(jié)論.

證明：如圖4，設(shè)切線l對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為點(diǎn)A，橢圓E的左焦點(diǎn)為F1，連接MA.過M作切線l的垂線，垂足為Q.延長MQ并與F1A的延長線交于點(diǎn)M′.根據(jù)引理2可知，切線l是∠MAM′的角平分線.

圖4

考慮△MAM′，結(jié)合MM′⊥l可得△MAM′為等腰三角形，從而可得AM=AM′，且點(diǎn)Q為MM′的中點(diǎn).

結(jié)合橢圓的定義可得|F1M′|=|F1A|+|AM′|=|F1A|+|MA|=2a.

在△F1MM′中，點(diǎn)O為F1M的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得|OQ|=a成立.

根據(jù)引理2，切線l為∠MAM′的角平分線，且MM′⊥l，從而可得△MAM′為等腰三角形，且點(diǎn)Q為MM′的中點(diǎn).

4 命題的拓展與練習(xí)

該問題的背景是橢圓，若將橢圓換成拋物線或雙曲線，也有類似結(jié)論成立.

定理1：已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為M，若動(dòng)直線l是拋物線E的切線，過點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q的軌跡為y軸.

在橢圓以及雙曲線中，所得的點(diǎn)Q的軌跡均為一個(gè)圓，所以所求的|OQ|的值為定值.在拋物線中，點(diǎn)Q的軌跡為直線，也可理解為半徑無限大的圓.從這個(gè)意義來講，三個(gè)圓錐曲線的意義相同.上述兩個(gè)定理的證明過程可模仿橢圓中的證明方法即可，但需要了解雙曲線與拋物線的光學(xué)性質(zhì).現(xiàn)簡介如下：

圖5

因此α=β.可知拋物線過點(diǎn)P的切線為∠FPP′的角平分線.

圖6

根據(jù)焦半徑公式|PF1|=a+ex0，|PF2|=ex0-a，則有

根據(jù)角平分線定理，雙曲線過點(diǎn)P的切線為∠F1PF2的角平分線.

根據(jù)上述定理，可命制出如下變式供大家練習(xí).

例1已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為M，若動(dòng)直線l是拋物線E的切線，過點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為Q，求點(diǎn)Q的軌跡.

答案：直線x=0.

答案：|OQ|為定值，且|OQ|=2.

兩個(gè)例題的證明過程相似，現(xiàn)簡證例2如下：

如圖7，設(shè)直線為l為雙曲線E右支的一條切線，切點(diǎn)為點(diǎn)A，延長MQ與AF1交于點(diǎn)M′，根據(jù)引理4，切線l為∠F1AM的角平分線，且MM′⊥l，可得△MAM′為等腰三角形，并且點(diǎn)Q為MM′的中點(diǎn).

圖7

當(dāng)切線l為雙曲線左支的切線時(shí)，證明方法與該證法相似，不再贅述.