判斷函數(shù)奇偶性常出現(xiàn)的錯(cuò)誤以及規(guī)避的措施

王穎

函數(shù)奇偶性是函數(shù)至關(guān)重要的性質(zhì)之一.在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，很多同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.對(duì)此，筆者就同學(xué)們?cè)谂袛嗪瘮?shù)奇偶性時(shí)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行了分析，并提出一些規(guī)避的措施，以期同學(xué)們能夠從中吸取教訓(xùn)，避免重蹈覆轍.

錯(cuò)誤之一：忽略了函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域是函數(shù)的三大要素之一，即函數(shù)自變量的取值范圍.在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，很多同學(xué)常常忽略函數(shù)的定義域，致使解題出錯(cuò).

所以f（m）為偶函數(shù);

上述解法之所以錯(cuò)誤，是因?yàn)楹雎粤撕瘮?shù)的定義域.事實(shí)上，具有奇偶性的函數(shù)的定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此判斷函數(shù)的奇偶性，需先要判斷該函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

正解：①因?yàn)楹瘮?shù)f（m）的定義域?yàn)閧-1，1}其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又f（-x）=±f（x），所以該函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù);

所以f（m）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

所以f（m）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是一個(gè)函數(shù)具有奇偶性的前提條件，所以在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，同學(xué)們要高度重視函數(shù)的定義域，首先弄清楚函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)不具有奇偶性.

錯(cuò)誤之二：忽略了對(duì)參數(shù)的分類討論

在判斷含參函數(shù)的奇偶性時(shí)，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.然而受習(xí)慣性思維的影響，許多同學(xué)經(jīng)常容易忽略對(duì)參數(shù)的分類討論，出現(xiàn)思慮不周的情況，致使求得的答案不完整，故而產(chǎn)生了錯(cuò)解.

錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域是（-∞，k）∪（k，+∞），其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

上述錯(cuò)解產(chǎn)生的原因主要是受思維定式的影響，以為函數(shù)f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故而沒(méi)有對(duì)參數(shù)k進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致解題出錯(cuò).事實(shí)上，當(dāng)k=0時(shí)，該函數(shù)具有奇偶性.

該函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），

所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù);

當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，k）∪（k，+∞），其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

在做題時(shí)，同學(xué)們要克服思維定式的影響，全面考慮問(wèn)題，對(duì)可能出現(xiàn)的情況作全面分析，尤其要重視對(duì)參數(shù)的分類討論，從而做到不重復(fù)不遺漏任何情況，增加解答過(guò)程的完整性和準(zhǔn)確性.在對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí)，可將實(shí)數(shù)R看作全集，根據(jù)函數(shù)的定義域或函數(shù)式有意義確定分類討論的分界線，將實(shí)數(shù)集劃分為幾個(gè)區(qū)間段，逐個(gè)進(jìn)行討論，最后綜合所得的結(jié)果.

在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，同學(xué)們務(wù)必要沉著冷靜，仔細(xì)審題，抓住函數(shù)式的特征，明確函數(shù)的定義域和參數(shù)對(duì)函數(shù)奇偶性的影響，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.同時(shí)要養(yǎng)成檢查和驗(yàn)算的良好習(xí)慣，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤，從而確保解題無(wú)誤.