高中數(shù)學(xué)立體幾何平面化思想的實(shí)踐探究

周玉珍

摘要：立體幾何，是平面幾何的延伸，是從空間的二維向三維自然過渡的過程.立體幾何問題，需要學(xué)生具備空間想象與推理論證能力，學(xué)生在解題時(shí)不易發(fā)現(xiàn)幾何體中隱藏的數(shù)量與位置關(guān)系，從而影響解題.應(yīng)用立體幾何平面化思想，將問題轉(zhuǎn)化到平面幾何的知識范疇后，圖形里的線線、線面關(guān)系將會一覽無余地呈現(xiàn)，這樣就能化難為易、化繁為簡.因此，立體幾何問題解題時(shí)，思路是平面化思想，將空間問題轉(zhuǎn)化到更容易觀察的平面上，應(yīng)用初中平面幾何相關(guān)的知識定理，使問題得以解決.

關(guān)鍵詞：立體幾何;平面化;轉(zhuǎn)化;平面幾何

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0061-03

1 高中數(shù)學(xué)立體幾何與平面幾何的關(guān)聯(lián)與對應(yīng)

高中數(shù)學(xué)立體幾何，是初中平面幾何的延伸，二者同屬幾何學(xué)，知識方法具有關(guān)聯(lián)性.平面幾何培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和代數(shù)化簡能力，而立體幾何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與空間想象能力.教師在立體幾何中的教學(xué)方式，只有符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，能夠引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、歸納，才能取得良好的教學(xué)效果.學(xué)生在立體幾何中的學(xué)習(xí)方式，只有完善思維結(jié)構(gòu)特征，能夠?qū)栴}分析、遷移、轉(zhuǎn)化，才能取得良好的學(xué)習(xí)效果.而學(xué)習(xí)立體幾何，可以借助平面幾何類比得到立體幾何，或?qū)⒘Ⅲw幾何轉(zhuǎn)化得到平面幾何，二者在教學(xué)與學(xué)習(xí)中既有統(tǒng)一性，又有關(guān)聯(lián)性.作為平面幾何的延伸，立體幾何在知識、方法及思想上和平面幾何是相呼應(yīng)的，其本質(zhì)是二維對三維的對應(yīng)關(guān)系.

2 高中數(shù)學(xué)立體幾何的平面化思想的定義

立體幾何的平面化思想，即將空間中的點(diǎn)、線、面的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化的思想，使之轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面內(nèi)，利用平面幾何相關(guān)的知識、定理進(jìn)行研究的思想方法.在解決問題時(shí)，抓住平面幾何圖形的特征，比如三角形的中位線原理，三角形全等原理，三角形的相似比關(guān)系，或者通過解三角形，得到題目所需的代數(shù)、幾何關(guān)系，對于更為復(fù)雜的幾何問題，應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想解決問題.

3 高中數(shù)學(xué)立體幾何問題應(yīng)用平面化思想的對策

3.1 平面抽離法

當(dāng)幾何體中的線與面的關(guān)系不明確時(shí)，可以將問題所涉及的局部平面抽離出空間，借助其平面圖形更加直觀的觀察，并結(jié)合平面幾何知識，得到需要的線線、線面或面面關(guān)系.以立體幾何探究性問題為例：已知平面ABCD⊥平面AA1D1D，其中正方形AA1D1D棱長為1，矩形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，試問：線段AB上是否存在點(diǎn)P，使平面D1PC與平面PCD的夾角大小為60°？若存在，求出BP的長，若不存在，說明理由.

解題分析

（1）立體幾何問題平面化： 過點(diǎn)D1作D1H⊥PC，可證明得到PC⊥平面D1DH，從而證明得到DH⊥PC，說明∠D1HD即為平面D1PC與平面PCD的夾角;

（2）平面抽離：在立體幾何中抽離出與未知量有關(guān)的平面圖形，將知識化歸為平面幾何問題;

（3）平面幾何問題代數(shù)化：在Rt△D1DH中，由三角函數(shù)tan∠D1HD=DD1DH，計(jì)算得到DH=3;在矩形ABCD中，由△DHC與△CBP的相似性，得到DHCB=DCCP ，從而確定CP的值，根據(jù)勾股定理BP2=CP2-CB2，計(jì)算得到BP，從而說明點(diǎn)P的存在性.

3.2 側(cè)面展開法

常應(yīng)用在立體幾何的折疊問題中.通過對幾何體的側(cè)面進(jìn)行展開，結(jié)合其側(cè)面展開圖研究問題，是平面化思想的重要手段與方法.通過化曲為直、化折為直，結(jié)合側(cè)面，展開研究其平面與幾何體的關(guān)聯(lián)性，找到題目所需的的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，借助平面幾何相關(guān)知識解決問題.以立體幾何的折疊問題為例：在△ABC中，AD⊥BC，ED=2AE，過E作FG∥BC，且將△AFG沿FG折起，使∠A′ED=60°，求證：A′E⊥平面A′BC.

解題分析

（1）幾何體的側(cè)面展開：借助展開后的平面圖形，結(jié)合立體圖形研究，抓住圖形的兩個(gè)關(guān)鍵：不變的線線關(guān)系，不變的數(shù)量關(guān)系;

（2）立體幾何問題平面化：由平面圖形的AD⊥BC，得到空間中的AE′⊥BC，在△A′ED中，構(gòu)造余弦定理，計(jì)算得到A′D⊥A′E;根據(jù)線面垂直的判定定理推導(dǎo)證明，得到A′E⊥平面A′BC.

3.3 截面法

常用于立體幾何的截面問題與球的切接問題.截面法大體分為兩種，交線法與性質(zhì)法.應(yīng)用交線法作截面，作圖關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，作圖依據(jù)為基本事實(shí);應(yīng)用性質(zhì)法作截面，作圖關(guān)鍵在于找到平行的直線或平面，作圖依據(jù)為線面平行、面面平行的性質(zhì)定理.通過作出與未知量有關(guān)的截面圖形，數(shù)形結(jié)合，產(chǎn)生與問題有關(guān)的平面幾何關(guān)系，將立體幾何問題平面化.

以立體幾何的截面問題為例：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別是A1B1、A1D1的中點(diǎn)，過直線BD作平面α，使得平面α∥平面AMN，求平面α截該正方體的截面面積.

解題分析

（1）性質(zhì)法作截面：以C1D1，B1C1的中點(diǎn)P，Q為截點(diǎn)，連接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，得到截線，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，作出滿足條件（過直線BD，且與平面AMN平行）的截面DBQN;

（2）立體幾何問題平面化：根據(jù)平面幾何中梯形的定義，證明得到四邊形DBQN為梯形，通過梯形的面積公式，計(jì)算得到截面DBQN的面積.

以外接球問題為例：三棱錐P-ABC中，△ABC為直角三角形，AB=AC=1，△PBC是正三角形，平面ABC⊥平面PBC，求三棱錐P-ABC的外接球的半徑.

解題分析

（1）交線法找球心：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可知△ABC的外接圓圓心是BC的中點(diǎn)D，直線PD⊥平面ABC;根據(jù)正三角形的性質(zhì)，可知△PBC的中心O為△PBC的外接圓圓心;過O作平面PBC的垂線l，找到球心也就是兩垂線的交點(diǎn)O;

（2）立體幾何問題平面化：根據(jù)外接球的定義，易得OB為三棱錐P-ABC的外接球半徑，借助正三角形的性質(zhì)和直角三角形的勾股定理，列出代數(shù)關(guān)系，計(jì)算得到球半徑.

4 高中數(shù)學(xué)立體幾何的平面化思想的實(shí)踐難點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)立體幾何問題中，如何尋找關(guān)鍵的平面，如何轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，是教師教學(xué)的難點(diǎn)，也是學(xué)生解題的難點(diǎn)，它的實(shí)質(zhì)是利用幾何相關(guān)的定義和性質(zhì)定理將立體幾何問題平面化，從思想上要注意空間與平面的相互轉(zhuǎn)化.

5 高中數(shù)學(xué)立體幾何的平面化思想的教學(xué)案例

5.1 高中數(shù)學(xué)必修第二冊《立體幾何初步》中應(yīng)用平面化思想的教學(xué)實(shí)例

已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，線段AD的中點(diǎn)為M，動點(diǎn)P在不含邊界的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，滿足B1P∥平面A1BM，求線段C1P的最小值.

教學(xué)內(nèi)容分析必修第二冊《立體幾何初步》中，處理立體幾何的最值問題，需要將動態(tài)問題靜態(tài)化，應(yīng)用幾何推理與代數(shù)推理相結(jié)合的辦法實(shí)施.也就是找到動點(diǎn)在變化過程中的特殊的、確定的位置，借助平面幾何的相關(guān)定理或進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)、不等式問題來處理.

解題思路分析：根據(jù)面面平行的相關(guān)定理，推導(dǎo)得到動點(diǎn)P落在定直線DN上;關(guān)聯(lián)平面幾何的知識，代入點(diǎn)到直線的距離公式，或者構(gòu)造勾股定理，計(jì)算點(diǎn)C1到直線DN的距離.

解題難點(diǎn)分析由線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理推導(dǎo)關(guān)系，構(gòu)造截面，找到動點(diǎn)P所在的定直線的過程，是解題的難點(diǎn).

平面化思想的應(yīng)用分析：

（1）作出截面：由B1P//平面A1BM，轉(zhuǎn)化得到過點(diǎn)B1的平面與平面A1BM平行，作出截面B1QDN，從而構(gòu)造出與之相關(guān)的不變因素，即動點(diǎn)P在定直線DN上;

（2）動態(tài)問題靜態(tài)化：動點(diǎn)P到定點(diǎn)C1的距離C1P，轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)C1到定直線DN的距離，當(dāng)C1P⊥DN時(shí)，C1P取得最小值.根據(jù)三垂線定理，可證明底面上CP⊥DN，最終將問題轉(zhuǎn)化成平面幾何的最值問題;

（3）立體幾何問題平面化：在底面ABCD上，由△DCN等面積關(guān)系：12DN·CP=12DC·CN，求解DN;在Rt△PCC1中，根據(jù)勾股定理C1P2=CP2+C1C2，計(jì)算得到C1P的最小值.

5.2 高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊《空間向量與立體幾何》中應(yīng)用平面化思想的教學(xué)實(shí)例

在四棱錐A-BCDE中，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，△BCE為正三角形，平面DAC與平面ACE的夾角大小為60°.（1）求證：CD//平面ABE;（2）若AC=2，BC=2，點(diǎn)G為線段AB上的點(diǎn)，直線BC與平面CEG所成角的正弦值為217，求線段AG的長度.

教學(xué)內(nèi)容分析：選修第一冊《空間向量與立體幾何》中，空間向量法是解題的重要工具.解題的難點(diǎn)在于建系及寫出坐標(biāo)，對于較復(fù)雜的不能直接建系的幾何體，將局部平面抽離出幾何體，轉(zhuǎn)化到該平面圖形中研究坐標(biāo)系及求解坐標(biāo).

解題思路分析：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以證明AC與CD、CE分別垂直.結(jié)合平面與平面的夾角公式，構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理，推證得到CD//平面ABE;建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需的各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算所需的方向向量，求得平面的法向量，利用空間向量中直線與平面的夾角公式，列出方程關(guān)系，計(jì)算未知數(shù)的值，代入得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出線段AG的長度.

解題難點(diǎn)分析

（1）建系中的難點(diǎn)：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，證明AC⊥平面CDE，可得AC為z軸，難點(diǎn)在于底面BCDE上要找到經(jīng)過點(diǎn)C且互相垂直的兩條直線;

（2）坐標(biāo)化的難點(diǎn)：底面BCDE上各點(diǎn)的坐標(biāo)，及線段AB上的點(diǎn)G的坐標(biāo)的求解.

高中數(shù)學(xué)立體幾何問題的平面化思想，即空間向平面轉(zhuǎn)化、三維向二維轉(zhuǎn)化的思想，是立體幾何中最基本也是最重要的數(shù)學(xué)方法，貫穿著整個(gè)立體幾何學(xué)習(xí)的始末.平面化的本質(zhì)是應(yīng)用平面化思想的對策，包括平面抽離法、側(cè)面展開法、截面法，把空間中的元素轉(zhuǎn)化到與已知條件和未知結(jié)論有關(guān)的平面中解決.應(yīng)用平面化思想解題的過程中需要把握三個(gè)要點(diǎn)，一要弄清立體幾何中線與面的位置、數(shù)量關(guān)系;二要找到三維中的幾何元素對應(yīng)的二維平面的幾何元素;三是利用平面幾何知識解決問題，構(gòu)造已知元素與未知元素的代數(shù)關(guān)系式.立體幾何問題的平面化思想，對突破空間障礙，對提高解題效率，靈活學(xué)習(xí)立體幾何有巨大的幫助.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李璟]