數(shù)學(xué)問題解答

2641已知△ABC的外接圓過點(diǎn)B、C的切線交于點(diǎn)P,延長BA至點(diǎn)D,使AD=AB,作DE∥BC交直線PB于點(diǎn)E.求證:

(華中師范大學(xué) 國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 430079；山西省臨縣一中 李有貴 033200)

2642已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=1,且

求p的最大值.

( 陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000 )

解先證：在x≥0時(shí)，有

事實(shí)上，不等式(*)等價(jià)于

(3x+2)(3x2-4x+3)≥6

而上面的不等式顯然成立，即(*)不等式成立.

在不等式(*)里，令x=a,b,c,d,得4個(gè)不等式

疊加，便有

2643設(shè)雙曲線C的兩焦點(diǎn)為F1、F2，兩準(zhǔn)線為l1、l2，過雙曲線上一點(diǎn)P，作平行于F1F2的直線，分別交準(zhǔn)線l1、l2于M1、M2，直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q，則P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

(江西省都昌縣第一中學(xué) 劉南山 332600)

根據(jù)對稱性知點(diǎn)Q在y軸上，

所以∠F1QF2=∠F1PF2，

故P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

(2)當(dāng)x0≠-c時(shí)，

所以∠F1QF2=∠F1PF2，

故P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

綜上所述，P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

2644在三角形ABC中，求證:

cosAcosB+cosCcosA+cosBcosC

(山東省單縣園藝中心校 張建平 274300)

證明

=(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)+(1+cosA)(1+cosB)(1+cosC)-2

=(1-∑cosA+∑cosAcosB-cosAcosBcosC)

+(1+∑cosA+∑cosAcosB+cosAcosBcosC)

-2

=2∑cosAcosB.

所以欲證結(jié)論成立.

注：本題在2022年第1期出題時(shí)，出現(xiàn)描述錯(cuò)誤，經(jīng)山東省壽光市教育科學(xué)研究中心張明同老師及華南農(nóng)業(yè)大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院甘超一同學(xué)指出，在這里給予了更正，同時(shí)本題的證明采用了甘超一同學(xué)提供的方法.在此向張明華老師及甘超一同學(xué)表示感謝！

2645如圖，△ABC中，直線AP,BP,CP分別與各自對邊所在的直線交于點(diǎn)D,E,F．

(i)求使得

(ii)求使得

S△PBD+S△PEA=S△PDC+S△PAF=S△PCE+S△PFB的所有點(diǎn)P.

(重慶市長壽龍溪中學(xué) 吳波 401249)

解設(shè)S△PBC=λ1，S△PCA=λ2，S△PAB=λ3．

則

(i) 不難求得

這表明，△ABC所在平面上除三邊所在直線外的所有點(diǎn)均滿足(i)中的等式．

(ii)S△PBD+S△PEA=S△PDC+S△PAF

=S△PCE+S△PFB

由第一個(gè)等式移項(xiàng)可得

所以λ2=λ3，

或者λ1(λ1+λ2)(λ1+λ3)=λ2λ3(λ2+λ3)．

(1)當(dāng)λ2=λ3時(shí)，顯然點(diǎn)P在△ABC中線AD上．代入消元可解得λ1=λ2或者λ1=2λ2．

當(dāng)λ1=λ2=λ3時(shí)，點(diǎn)P就是△ABC的重心；

當(dāng)λ1=2λ2=2λ3時(shí)，點(diǎn)P是△ABC中線AD的中點(diǎn)．

同樣的討論(對λ1=λ2或λ1=λ3)可知：點(diǎn)P是△ABC另兩條中線的中點(diǎn)時(shí)也滿足(ii)中的等式．

(2)當(dāng)λ1(λ1+λ2)(λ1+λ3)=λ2λ3(λ2+λ3)時(shí)，有

注意到λ1+λ2+λ3=S△ABC，上式可化為

在(1)中已討論了λ1,λ2,λ3有兩個(gè)相等的情形，此處可設(shè)λ1,λ2,λ3兩兩不等．因此同上可得另外兩個(gè)等式：

所以三式相等，約去公因式S△ABC可得

將第1個(gè)等式移項(xiàng)分解可得

(λ1+λ2+λ3)(λ1-λ2)=0．

即(λ1-λ2)S△ABC=0．

所以λ1=λ2．同理λ2=λ3．此時(shí)即是重心．

這個(gè)解在前面已得到過．

綜上可知：滿足(ii)中的等式的點(diǎn)P共有四個(gè)——△ABC的重心和其三條中線的中點(diǎn)．

2022年2月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

2647設(shè)R,r,p分別表示△ABC的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑、半周長，求證：

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

2648設(shè)△ABC的內(nèi)切圓I與邊BC，CA，AB分別切于D，E，F(xiàn)．記AB=c，BC=a，CA=b，若BE=CF，求證：b=c．

(湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)

(河南省周口師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 李居之 466001；北京航空航天大學(xué)圖書館

宋慶 100191)

2650已知⊙O1與⊙O2相交的一個(gè)交點(diǎn)為A，直線BC與⊙O1、⊙O2相切于B、C,⊙O3為△ABC的外接圓，O3關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為D,點(diǎn)M為O1O2的中點(diǎn).求證：∠O1DM=∠O2DA.

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)