形如(19+1)的孤立數(shù)

◎裔小蒙 管訓(xùn)貴(泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

1 引 言

1.1 孤立數(shù)的相關(guān)背景

數(shù)論是數(shù)學(xué)中最古老、最純粹、最優(yōu)美的一門學(xué)科.數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的.高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后,數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”.因此,數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中的一些懸而未決的疑難問題叫作“皇冠上的明珠”,以鼓勵(lì)人們?nèi)フ?對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)d(n)，σ(n)，φ(n)分別是n的約數(shù)函數(shù)、約數(shù)和函數(shù)及Euler函數(shù)，這是三個(gè)最近的數(shù)論函數(shù)，它們的各種性質(zhì)一直是數(shù)論中引人關(guān)注的課題.

在漫長的研究過程中，人們發(fā)現(xiàn)歐幾里得定理只是一個(gè)偶數(shù)是完全數(shù)的充分條件，已知偶完全數(shù)及其對(duì)應(yīng)的Mersenne素?cái)?shù)在計(jì)算機(jī)技術(shù)、編碼理論等方面被廣泛地應(yīng)用，而奇完全數(shù)的存在性則是迄今仍未解決的著名難題.如果證明了某正整數(shù)N是孤立數(shù)，就可以證明N不是完全數(shù).本文通過結(jié)合這些有價(jià)值的結(jié)論來研究孤立數(shù)的存在性，從另一個(gè)側(cè)面對(duì)完全數(shù)問題進(jìn)行研究探討，確定奇完全數(shù)的存在性.

要研究孤立數(shù)，我們就要先了解親和數(shù)的概念.對(duì)于任意的正整數(shù)n,定義σ(n)表示n的所有不同的正因數(shù)之和.兩個(gè)不同的正整數(shù)a，b，若滿足

σ(a)=σ(b)=a+b，

(1)

則稱(a,b)為一對(duì)親和數(shù)(Amicable Pair).反之，如果對(duì)于給定的正整數(shù)a,不存在任何正整數(shù)b適合(1)式，則稱a是一個(gè)孤立數(shù)(Anti-sociable Number).

1.2 孤立數(shù)的主要成就

2000年,Luca證明了F(2,n)都是孤立數(shù)，從而推出F(4,n)也都是孤立數(shù)，由此拉開了證明某些數(shù)是孤立數(shù)的序幕.

2005年,趙易和沈忠華證明了F(6,n)都是孤立數(shù).

2006年，沈忠華證明了E(5,n)都是孤立數(shù).

2007年,蔣自國和曹型兵證明了E(3,n)都是孤立數(shù).

2011年，張四保和呂明富證明了E(7,n)都是孤立數(shù).

2016年，徐聰卉和管訓(xùn)貴證明了E(11,n)都是孤立數(shù).

2018年，管訓(xùn)貴研究了一般形式的孤立數(shù)，給出了相應(yīng)的結(jié)論.

這期間，后文參考文獻(xiàn)[8]-[10]還研究了其他形式的孤立數(shù).

1.3 形如a)的孤立數(shù)的結(jié)論

2 相關(guān)引理及其證明

引理1素?cái)?shù)都是孤立數(shù).

證明：我們用反證法進(jìn)行證明.令m是素?cái)?shù)，假設(shè)m不是孤立數(shù),則有正整數(shù)n滿足

σ(m)=σ(n)=m+n.

由于σ(m)=m+1,故由上式可知n=1.又σ(1)=1≠m+1，矛盾，故m是孤立數(shù).證畢.

引理2對(duì)任意正整數(shù)t，有σ(t)φ(t)≤t2.

證明：當(dāng)t=1時(shí)，σ(t)φ(t)=1=t2.

引理3設(shè)x,y是互素的正整數(shù)，若素?cái)?shù)p滿足p∣(x2n+y2n)，則p=2或p≡1(mod2n+1).

當(dāng)2|xy,gcd(x,y)=1時(shí)，x2n+y2n≡1(mod4),則p為奇素?cái)?shù)，且x2n+y2n≡0(modp).

因此，當(dāng)y≥z>e時(shí)，有f(y)

即log(y+1)logz-log(z+1)logy<0，

證明：(ⅰ)先證log(1+x)

要證log(1+x)

所以ex>1+x.

證明:用數(shù)學(xué)歸納法.(1)當(dāng)s=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

eγ=1.781072417990198.

證明：當(dāng)3≤n≤286時(shí)，顯然成立.下證n>286的情況.

3 定理的證明

假定E(19,n)不是孤立數(shù)，則存在正整數(shù)t滿足(1)，使得

σ(E(19,n))=σ(t)=E(19,n)+t.

(2)

先證明:當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，E(19,n)對(duì)應(yīng)的σ(E(19,n)),t,σ(t)值如下：

由E(19,1)=181為素?cái)?shù)及引理1知，E(19,1)是孤立數(shù)；由E(19,2)=17·3833知，σ(E(19,2))=69012，m=3851，σ(m)=3852，σ(E(19,2))≠σ(m)，故E(19,2)是孤立數(shù)；由E(19,3)=15073·563377知，σ(E(19,3))=8492359972，m=3·192817，σ(m)=771272，σ(E(19,3))≠σ(m)，故E(19,3)是孤立數(shù)；由E(19,4)=97·1486811410142377153知，σ(E(19,4))=145707518193952961092，m=3·25583·19372388045999，σ(m)=1982492703075456000，σ(E(19,4))≠σ(m)，故E(19,4)是孤立數(shù).

綜上，當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，E(19,n)都是孤立數(shù).下設(shè)n≥5.根據(jù)引理2，得

即m>267.

于是，

E(19,n)≥p1p2…ps>(2n+1+1)s.

(3)

由于n≥5，故由(3)及引理4可得

(4)

再由(2)式及引理2、引理5，可得

于是有

(5)

又pi≡1(mod2n+1)，pi≥2n+1ii+1，i=1,2,…,s，代入(5)式，根據(jù)引理6，并結(jié)合(4)式，有

故有

(6)

由于267>e46，所以loglogt>log 46>3.8，根據(jù)引理2、引理9，得

(7)

由(6)(7)可得

2n+2<3(1+nlog 2)(1.79loglogt+0.66).

(8)

(9)

結(jié)合(8)(9)兩式得

2n+2<3(1+nlog 2)(1.79log(5·2n-3)+1.79loglog 2+0.66)<3(1+nlog 2)(1.79log 5+1.79nlog 2+1.79loglog 2+0.66)<3(1+nlog 2)(2.89+1.79nlog 2)

=5.37n2log22+14.04nlog 2+8.67.

(10)

當(dāng)n≥5時(shí)，(10)式不能成立.事實(shí)上，令

F(n)=2n+2-(5.37n2log22+14.04nlog 2+8.67)，

則F′(n)=2n+2log 2-2×5.37nlog22-14.04log 2，

整理易得F′(n)>0，

故當(dāng)n≥5時(shí)，F(xiàn)(n)是增函數(shù)，于是F(n)≥F(5)>0，即

2n+2>5.37n2log22+14.04nlog 2+8.67，

顯然不可能.