本原性問題驅(qū)動下的數(shù)學(xué)變式教學(xué)初探

◎?qū)O 珊(北京師范大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100052)

許多新入學(xué)的初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有方法，不求甚解、機械地死記硬背，缺乏對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的挖掘.為了改善學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，筆者在初一年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中嘗試了本原性問題驅(qū)動下的數(shù)學(xué)變式教學(xué).數(shù)學(xué)學(xué)科中的“本原性問題”就是反映學(xué)科最原始、最本質(zhì)的問題，“問題驅(qū)動”則是強調(diào)以問題為學(xué)習(xí)的媒介，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)知識.數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、不同側(cè)面、不同背景，從多個方面變更所提供的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式.恰當(dāng)變式的數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生對知識的理解及問題解決方法和策略的形成.本原性問題驅(qū)動下的數(shù)學(xué)變式教學(xué)是圍繞本原性的問題，通過不斷地變更問題的情境或改變思維的角度，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式.

認(rèn)知心理學(xué)的現(xiàn)代研究結(jié)果表明，認(rèn)知并非人腦對外部世界的簡單、被動反映，而是一個以已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)過程或信息加工的過程.特別地，主體已有的知識和經(jīng)驗在新知識的獲得過程中發(fā)揮了十分重要的作用.知識不是通過教師傳授得到的，而是在教師的指導(dǎo)下主動建構(gòu)獲得的，學(xué)生以自己原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對外部信息進行主動的選擇、加工和處理，建構(gòu)自己的體系.

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平.兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū).教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)，然后在此基礎(chǔ)上進行下一個發(fā)展區(qū)的培養(yǎng).本原性問題驅(qū)動下的數(shù)學(xué)變式教學(xué)就是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置問題，通過變式練習(xí)讓學(xué)生主動建構(gòu)知識，從而達(dá)到對知識的深層次理解，進行高水平的思考.下面就以兩個案例來說明如何在本原性問題的引領(lǐng)下，進行有效的變式教學(xué).

案例一：絕對值的幾何意義

1.課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》(2011年版))對絕對值的要求如下：借助數(shù)軸理解絕對值的意義，掌握絕對值的求法，知道|x|的幾何含義.可以看出，《課標(biāo)》(2011年版)對絕對值的幾何意義有較高的要求，而絕對值的幾何意義比較抽象，對初一的學(xué)生來說是難點，這就要求教師在教學(xué)時應(yīng)設(shè)計有利于學(xué)生思考、理解、掌握的教學(xué)情境.

2.教育價值

《課標(biāo)》(2011年版)指出，數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，為學(xué)生的持續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展奠基.絕對值的幾何意義比較抽象，要借助數(shù)軸來教學(xué)，因此在解決問題的過程中自然會用到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.利用數(shù)形結(jié)合解決絕對值的相關(guān)問題是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中第一次遇到，是課堂上除了掌握絕對值的幾何意義這個顯性知識外的另一個需要領(lǐng)悟的隱性知識.本節(jié)課可以讓學(xué)生體會思想方法在解決問題時的優(yōu)勢.

3.絕對值的幾何意義教學(xué)分析

本節(jié)課是筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)完絕對值的概念、意義，整式的加減，一元一次方程的解法后根據(jù)教材、學(xué)生情況自主開發(fā)的一節(jié)課.絕對值概念的形成及應(yīng)用過程中蘊含著分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想，剛開始教學(xué)絕對值知識時，雖然筆者對該方法進行了滲透，但學(xué)生因為數(shù)學(xué)知識積累不夠，所以不能充分理解、體會.學(xué)生對整式的加減及一元一次方程知識的掌握為絕對值的應(yīng)用提供了很好的訓(xùn)練素材，能幫助學(xué)生進一步體會、理解分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決問題中的作用，而解決問題的過程對發(fā)展學(xué)生的智力與能力都有積極的影響.

初一學(xué)生的認(rèn)知水平有限，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識不強，用數(shù)軸解決絕對值的問題時不知從何處下手.因此，在本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計中，筆者以問題驅(qū)動引領(lǐng)學(xué)生思維聚焦的方向，通過合理設(shè)置有梯度的活動，不斷變換問題情境，促使學(xué)生思考，讓學(xué)生在先行知識的基礎(chǔ)上通過探究發(fā)現(xiàn)問題，在教師指導(dǎo)下做到“數(shù)”與“形”的結(jié)合，從而積累數(shù)學(xué)思考研究的經(jīng)驗，加深對絕對值幾何意義的理解與體會.

4.教學(xué)安排

【驅(qū)動問題1】絕對值是怎么定義的？數(shù)軸上表示2的點到原點的距離是2，所以2的絕對值是2，數(shù)軸上表示 -3的點到原點的距離是3，所以-3的絕對值是3，數(shù)軸上表示a的點的絕對值等于什么？

設(shè)計意圖：確認(rèn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，喚醒相關(guān)的知識和經(jīng)驗，有利于知識的提取和遷移.

【驅(qū)動問題2】已知|x|=3，則x=________.

【變式問題1】已知|x-1|=3，則x=________.

【變式問題2】已知|x+2|-1=0，則x=________.

設(shè)計意圖：先從最簡單的|x|=3入手，讓學(xué)生用絕對值的概念求解，接著變換問題情境，將單項式x變?yōu)閤-1和x+2，學(xué)生類比|x|=3的解法從代數(shù)意義角度應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解決問題，在解決變式問題時將x-1和x+2看成整體，并理解和體會整體及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

【驅(qū)動問題3】|x|的幾何意義是什么？

【變式問題1】|5|的幾何意義是什么？|5-2|的幾何意義是什么？|5+3|的幾何意義是什么？|-5+2|的幾何意義是什么？

【變式問題2】|x-3|的幾何意義是什么？|x1-x2|的幾何意義是什么？

設(shè)計意圖：從數(shù)軸上兩特殊點間的距離到數(shù)軸上任意兩點間的距離，讓學(xué)生逐步理解絕對值的幾何意義.由特殊到一般的過程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可以讓學(xué)生逐步體會絕對值的幾何意義，發(fā)展學(xué)生的符號意識，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解絕對值的幾何意義，為后續(xù)解決問題做準(zhǔn)備.

【驅(qū)動問題4】已知|x|=3，則x=________.怎樣用數(shù)軸來表示？若|x|>3，則x的取值范圍是什么？|x|<3呢？

【變式問題1】剛才已用分類討論的方法解了方程|x-1|=3，借助數(shù)軸能解決這個問題嗎？

【變式問題2】若將上述方程改為|x-1|>3，則x的取值范圍是什么？若|x-1|<3呢？

設(shè)計意圖：以上述例題|x|=3為例，先討論除了用分類討論的方法解決外，還可以用絕對值的幾何意義來解決，再由方程問題到不等式問題，變換問題情境，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸解決問題，并和分類討論的代數(shù)解法做比較，讓學(xué)生逐步體會借助絕對值的幾何意義解決問題的優(yōu)勢.

【驅(qū)動問題5】式子|x-1|+2的最小值是________.

【變式問題1】式子|x-1|+|x+2|的最小值是________，此時x的取值范圍是________.

【變式問題2】若|x-1|+|x+2|>3，則x的取值范圍是________.

【變式問題3】解方程|x-1|+|x+2|=7；若|x-1|+|x+2|>8，則x的取值范圍是________.

【變式問題4】解方程|x-1|+|x+2|=a.

【變式問題5】方程|x-1|+|x+2|=a有解的條件是什么？

設(shè)計意圖：從解決含有一個絕對值的方程和不等式到解決含有兩個絕對值的方程和不等式，圍繞本原性問題——絕對值的幾何意義，以問題為驅(qū)動，不斷變換問題情境，利用數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從形感知，逐步提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)圖形解決問題的思維能力,開闊學(xué)生的思維，讓學(xué)生在解決問題的過程中，不斷地加深理解絕對值的幾何意義.

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一種“認(rèn)知建構(gòu)”的過程.新知識只有在其成為個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個組成部分時，才算是意義建構(gòu)的真正完成.在本節(jié)課中，教師先以學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知——絕對值的概念為新的建構(gòu)起點，圍繞絕對值的幾何意義(本原性問題)，不斷地變換問題情境(問題變式)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)思維活動過程，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)思維方式、方法的魅力，從而實現(xiàn)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗的獲得目標(biāo).

案例二：三角形中角平分線專題復(fù)習(xí)

1.三角形中角平分線專題復(fù)習(xí)教學(xué)內(nèi)容分析

一般來說，幾何知識的復(fù)習(xí)，很難找到一條思維的主線，將待復(fù)習(xí)的內(nèi)容串成一線.因此，對于幾何復(fù)習(xí)課，教師一般會選擇幾道典型的習(xí)題，用解題來代替復(fù)習(xí).這種復(fù)習(xí)方法固然能起到回顧知識、訓(xùn)練思維、發(fā)展能力的效果，但是還是有知識結(jié)構(gòu)、學(xué)科體系自主構(gòu)建不到位的問題.如何在學(xué)科體系、學(xué)科結(jié)構(gòu)下進行幾何復(fù)習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)科系統(tǒng)下看清知識的結(jié)構(gòu)，并在此過程中有機地構(gòu)建思維通道，進而發(fā)展學(xué)生的能力？基于上述對幾何復(fù)習(xí)課的理解，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計嘗試通過圍繞本原性問題，進行幾何圖形的變式處理，達(dá)到開闊學(xué)生思維、提高學(xué)生能力的教學(xué)目的.

2.教育價值

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要重視對顯性數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，也要注重對學(xué)生進行隱性知識即數(shù)學(xué)思想方法的滲透、培養(yǎng)和積淀.轉(zhuǎn)化和方程是數(shù)學(xué)思想的核心，本節(jié)課圍繞本原性問題——三角形的內(nèi)角和定理及推論，綜合角平分線的知識，設(shè)置各種變式問題供學(xué)生思考探索，學(xué)生在知識解決和認(rèn)知沖突中不斷反復(fù)體會轉(zhuǎn)化、方程思想，既很好地解決了三角形的角平分線的綜合問題，也進一步培養(yǎng)和提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

3.教學(xué)安排

圖1

圖2

設(shè)計意圖：三角形的內(nèi)角和及其推論是三角形一章中的重點內(nèi)容.學(xué)完三角形一章后，學(xué)生根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°這一本原性問題，能夠通過設(shè)未知數(shù)列方程較容易地解決三角形內(nèi)的角平分線的問題，但對于變式問題就顯得無從下手了.對此，學(xué)生若有了解決驅(qū)動問題的方法經(jīng)驗，就能較容易地類比遷移，從而解決變式問題.

圖3

圖4

設(shè)計意圖：類比驅(qū)動問題1，將三角形的內(nèi)角平分線變?yōu)橥饨瞧椒志€進行考查，進而變式為三等分角及n等分角的問題，變式練習(xí)的精髓在于將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題，從而使問題得解.布盧姆在《教育目標(biāo)分類學(xué)》中指出：數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想具備把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力.在解決問題的過程中，學(xué)生能夠體會轉(zhuǎn)化和方程的數(shù)學(xué)思想.

圖5

圖6

設(shè)計意圖：圍繞三角形的內(nèi)角和定理及推論(本原性問題)，將三角形的內(nèi)角平分線和外角平分線綜合起來進行多角度的推廣變式，力求覆蓋這類問題的各種類型，讓學(xué)生“做一題，會一類”，在有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率的同時，提高學(xué)生思維的發(fā)散性，加深學(xué)生對幾何知識的整體理解.

本節(jié)課圍繞本原性問題——三角形的內(nèi)角和定理及其推論，和角平分線知識進行綜合，不斷變換問題情境來展示思維的生長過程，內(nèi)化學(xué)生的知識，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.

數(shù)學(xué)問題可分解為表面形式特征和深層結(jié)構(gòu)特征，表面形式特征指問題呈現(xiàn)的表述形式方面的淺層特征；深層結(jié)構(gòu)特征指涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系、原則等方面的深層特征.驅(qū)動問題及變式問題相對于本原性問題來說，不僅表述形式方面的淺層特征發(fā)生了變化，而且在涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系、原則等方面的深層次特征也發(fā)生了變化，可使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中體悟知識的發(fā)生、發(fā)展過程，訓(xùn)練其思維，發(fā)展其能力.