以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為工具，求解三角函數(shù)問(wèn)題

張艷艷

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是以角度為自變量，角度對(duì)應(yīng)的任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù).我們可靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求解三角函數(shù)問(wèn)題.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)探討一下如何妙用導(dǎo)數(shù)法判斷三角函數(shù)在區(qū)間上的奇偶性以及求三角函數(shù)的最值、零點(diǎn).

一、判斷三角函數(shù)的奇偶性

一般地，奇函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法判斷三角函數(shù)的奇偶性，需首先對(duì)三角函數(shù)求導(dǎo)，然后選取關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，得到對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值之間的關(guān)系判斷三角函數(shù)的奇偶性.

例1.已知函數(shù)f（x）=sinx+2cosxsinx，判斷函數(shù)f（x）是否為偶函數(shù).

分析：首先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，然后判斷關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值是否相等.若相等，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，若互為相反數(shù)，則函數(shù)是偶函數(shù).

解：∵f′（x）=cosx+2cos2x，

∴函數(shù)y（x）不是偶函數(shù).

二、求三角函數(shù)的最值

導(dǎo)數(shù)法是求最值的重要工具.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解三角函數(shù)最值問(wèn)題，其主要思路為：①將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，使角度、函數(shù)名稱、冪統(tǒng)一，②對(duì)化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)式求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，③根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和圖象，求出三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最值.

則h′（x）=2sinxcosx-cosx=cosx（2sinx-1），

g（x）隨x變化如下表所示：

所以g′（θ）=2cosθ+2cos2θ=4cosθ+2cosθ-2，

g（θ）=2sinθ+sin2θ取最大值，

解答本題，需首先將三角函數(shù)式中的角度統(tǒng)一，然后對(duì)其求導(dǎo)，根據(jù)g′（θ）與0之間的關(guān)系，判斷三角函數(shù)在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）的最大值.

三、求三角函數(shù)的零點(diǎn)

求三角函數(shù)的零點(diǎn)，通常要根據(jù)三角函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，來(lái)確定每個(gè)區(qū)間上零點(diǎn)的值或個(gè)數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的圖象求得定義域內(nèi)函數(shù)零點(diǎn)的值或者個(gè)數(shù).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，需先對(duì)三角函數(shù)求導(dǎo)，判斷區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，然后將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題.最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象，借助圖象求得問(wèn)題的答案.

通過(guò)上述分析，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，“導(dǎo)數(shù)知識(shí)”也是解答三角函數(shù)問(wèn)題的重要工具.借助導(dǎo)數(shù)法，可以快速分析出三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值，明確函數(shù)圖象的大致走向，便可快速求得三角函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).同學(xué)們?cè)诮獯鹑呛瘮?shù)問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)將問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來(lái)解題.