數(shù)學小課題研究的“三項注意”

王雪晶

摘要：數(shù)學小課題研究，主要是在綜合與實踐理念的指導下，綜合運用數(shù)學知識與方法，多維探索，展開猜測、驗證、推理、計算、觀察、操作、調(diào)查、交流等活動，解決現(xiàn)實問題。在教學內(nèi)容、教學活動、教學評價三個方面，需要注意以下三點：研究內(nèi)容要兼顧現(xiàn)實性與數(shù)學性，突出趣味性與開放性;以學生為主體，促進學生經(jīng)歷完整的研究過程;引導學生反思研究過程，發(fā)展元認知能力。

關鍵詞：數(shù)學小課題研究;綜合與實踐;“腳長與身高的關系”

數(shù)學小課題研究，就是在綜合與實踐理念的指導下，直面現(xiàn)實生活中的各種綜合性問題，運用已有數(shù)學知識與方法，通過查閱資料、調(diào)查分析、實驗操作與觀察、推理與計算等手段，經(jīng)歷探索、研究、實踐、發(fā)現(xiàn)等過程，處理信息、解決問題，并運用數(shù)學的語言表達見解、得出個性化結(jié)論的活動，可以幫助學生增強應用意識、創(chuàng)新意識，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。本文結(jié)合筆者的教學實踐與思考，以“腳長與身高的關系”（安排在四年級的“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容后）為例，談談帶領學生開展數(shù)學小課題研究需要注意些什么。

一、研究內(nèi)容要兼顧現(xiàn)實性與數(shù)學性，突出趣味性與開放性

數(shù)學小課題研究，主要是運用數(shù)學知識與方法解決現(xiàn)實問題。因此，課題（研究內(nèi)容）選擇應該兼顧現(xiàn)實性與數(shù)學性，引導學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界（生活現(xiàn)象），提出有關問題;同時，突出趣味性與開放性，能引起學生的研究興趣，具有一定的研究空間。

【片段1】

師老師前一段時間看了一個綜藝節(jié)目，有一個片段很有意思，想分享給大家，我們一起看一看。（播放綜藝節(jié)目片段視頻，內(nèi)容是一位足跡專家通過測量腳印長度準確地推斷出留下腳印的嘉賓的身高、年齡等個人信息）同學們，視頻中的警官是怎么推測出嘉賓身高的？

生測量腳印長度。

師哦，知道腳長就能知道身高。你有什么想說的嗎？

生為什么知道腳長就能知道身高呢？

生我覺得，腳長和身高之間可能存在一些關系。

生我想知道，腳長和身高之間究竟存在什么樣的關系。

師同學們都很善于思考！沒錯，腳長和身高之間確實存在一定的關系。今天，我們就來研究“腳長與身高的關系”。

這里，教師利用“足跡專家通過測量腳印長度推斷出留下腳印的嘉賓的身高”這一現(xiàn)實行為，激起學生的好奇，引發(fā)學生的思考，讓學生自己提煉出“腳長與身高的關系”的課題。這一課題不僅真實、有趣，而且與數(shù)學有關，可利用統(tǒng)計的知識與方法研究，同時研究方法與結(jié)論具有一定的開放性，小學生可利用平均數(shù)的知識初步解決，高中生則可利用相關性分析和線性回歸（擬合）的知識嘗試解決。

二、以學生為主體，促進學生經(jīng)歷完整的研究過程

學生主動參與、親身經(jīng)歷是數(shù)學小課題研究的主要特征。學生要在綜合運用數(shù)學知識與方法解決現(xiàn)實問題的過程中，多維探索，展開猜測、驗證、推理、計算、觀察、操作、調(diào)查、交流等活動。這些活動不僅是解決問題所必需的，而且是重要的過程性目標。在教學中，教師要以學生為主體，引導學生經(jīng)歷數(shù)學小課題研究的完整過程。

【片段2】

師在研究之前，你們大膽地猜想一下：腳長和身高之間可能存在什么樣的關系？

生身高越高，腳長越長。

生身高和腳長可能存在倍數(shù)關系。

師我們做數(shù)學研究光有猜想可不行，有了猜想還得怎么樣？

生（齊）驗證。

師要驗證“身高和腳長存在一定的倍數(shù)關系”這個猜想，你想怎么做？小組內(nèi)交流，設計出你們的研究方案。

生我們小組的方案是，先搜集一些身高和腳長的信息，然后計算出它們的商，看是不是有倍數(shù)關系。

……

[教師結(jié)合學生的回答，相機板貼：收集數(shù)據(jù)、計算（身高÷腳長）、分析數(shù)據(jù)。]

師對，收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)是統(tǒng)計的基本方法，我們學過的統(tǒng)計知識都是圍繞這一方法展開的，而統(tǒng)計可以幫助我們解決很多現(xiàn)實問題。那么，收集多少身高和腳長的數(shù)據(jù)合適呢？一個人的身高和腳長行嗎？

生太少了，越多越好。

師是的。數(shù)據(jù)越多，越能看出有沒有規(guī)律，得到的結(jié)論也越符合實際的情況。但是，世界上有那么多人，有那么多的身高和腳長數(shù)據(jù)，我們能把這些數(shù)據(jù)都收集到嗎？

生太難了！

生辦不到。

師是的，辦不到，但其實，也不需要。根據(jù)一些客觀規(guī)律，可以隨機抽取一部分數(shù)據(jù)，用來代表所有的數(shù)據(jù)。這就是統(tǒng)計中的抽樣方法，同學們到中學會進一步學習，這里不細說?；氐轿覀兊膯栴}，今天我們大家坐在一起學習，怎么利用集體的力量獲得盡可能多的數(shù)據(jù)呢？

生把我們每個人的身高和腳長數(shù)據(jù)匯總到一起。

師很好！除了我們自己的數(shù)據(jù)，還可以加上我們熟悉的人（比如家人）的數(shù)據(jù)哦。昨天，老師請同學們做了一份自己的家庭檔案，其中有你需要的數(shù)據(jù)嗎？

生有，有我爸爸、媽媽、爺爺、奶奶的身高和腳長數(shù)據(jù)。

師那我們就來匯總一下吧。全班直接匯總到老師這兒要用很多時間，那就各個小組先匯總到組長那兒吧。老師給每個小組發(fā)了一張表，請組長將組員和家人的身高和腳長數(shù)據(jù)填在表中，填完表的格子為止，并分別計算出它們的商。

（學生小組統(tǒng)計、計算。）

師（投影展示各個小組完成的表格）全班的數(shù)據(jù)都在這里，觀察“商”這一欄，有什么感覺嗎？

生商都很接近。

生有幾個商與其他的差距大一點。

師這樣的商多嗎？

生很少。

師這是一個很重要的發(fā)現(xiàn)。由此，拋開測量誤差以及各種導致個體差異的因素不談，我們可以認為，身高和腳長確實存在一定的倍數(shù)關系。但是，這些商畢竟還是有一些差異的，那么，取什么數(shù)據(jù)來表示身高和腳長的倍數(shù)關系最合理呢？

生用平均數(shù)。

師沒錯，我們剛剛學習了平均數(shù)，平均數(shù)是一個重要的統(tǒng)計量，可以代表一組數(shù)的水平。不過，我們也知道，平均數(shù)代表一組數(shù)的水平也有一定的局限性，主要是一組數(shù)中，如果有一個（些）數(shù)特別大或特別小，那么平均數(shù)受其影響，就不能很好地代表一組數(shù)的水平。這時，可以怎么辦？

生去掉最大值和最小值。

師很好！既然異常的值可能影響平均數(shù)的代表性，我們就把它們?nèi)サ?。去掉最大值和最小值是一個好方法。這樣，我們能不能算一算全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

（學生遲疑。）

師有什么困難嗎？

生有一百多個數(shù)據(jù)，算起來太麻煩了！

師有什么好辦法嗎？

生可以先算出各小組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再算出全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

師同意嗎？（稍停）這里有一個問題：怎么由各小組數(shù)據(jù)的平均數(shù)得到全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

生對各小組數(shù)據(jù)的平均數(shù)再求平均數(shù)？

師為什么各小組數(shù)據(jù)平均數(shù)的平均數(shù)等于全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

（學生遲疑。）

師這個問題有一點難度，和同學們今后會學到的加權(quán)平均數(shù)有關。老師來舉一個例子，一組數(shù)是1、2，一組數(shù)是3、4、5，它們的平均數(shù)分別是多少？它們合在一起的平均數(shù)是多少？

生它們的平均數(shù)分別是1.5和4，它們合在一起的平均數(shù)是3。

師1.5和4的平均數(shù)是多少？等于3嗎？

生2.75，不等于3。

（學生驚奇。）

師為什么會這樣？（稍停）其實，是因為這兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)不等。只要各組數(shù)的個數(shù)相等，它們平均數(shù)的平均數(shù)就等于合在一起的平均數(shù)了。有興趣的同學課后可以仔細想一想為什么。那么，我們可以用這個方法算全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)嗎？為什么？

生可以。因為每組的表格中都只有10個數(shù)據(jù)。

師那我們就來算一下吧。

（學生分組計算，匯總再算。）

師最終結(jié)果是多少？

生6.72。

師這說明身高大約是腳長的6.72倍。為什么是大約？

生因為我們用平均數(shù)代表了一組數(shù)，而一組數(shù)中的每個數(shù)其實都不一樣，也就是說，具體到每個人，身高不一定是腳長的6.72倍，但差不多是腳長的6.72倍。

生還因為我們用一個班同學和家人的數(shù)據(jù)代表了所有人的數(shù)據(jù)，而其他人群的數(shù)據(jù)可能和我們班的不一樣。

師同學們很厲害，已經(jīng)知道平均數(shù)和抽樣方法的意義和局限性了。其實，通過更多數(shù)據(jù)的分析，人們發(fā)現(xiàn)了身高與腳長有一定的倍數(shù)關系，這個倍數(shù)關系因為地區(qū)、種族、性別、年齡等因素，會有一些差別。而我們只是通過腳長推斷大約的身高，為了方便計算，通常說身高大約是腳長的7倍。

這里，教師引導學生直面問題，展開自然、深入的思考和探究，先根據(jù)經(jīng)驗提出猜想，再聯(lián)系實際制訂驗證方案，然后經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、計算以及分析數(shù)據(jù)的驗證過程，最終得出結(jié)論，經(jīng)歷課題研究的全過程。這一過程中，教師以學生為主體，充分尊重學生的想法，讓學生相互交流，只在學生認識不夠到位之處介入講解;特別是，在制訂驗證方案、選擇統(tǒng)計量及其計算方法、認識驗證結(jié)果時，教師不斷追問，引發(fā)學生的認知沖突，促進學生展開合情推理以及統(tǒng)計推斷，完善想法，加深理解。

三、引導學生反思研究過程，發(fā)展元認知能力

“成長=經(jīng)驗+反思”，這是波斯納的成長公式。評價具有促進反思、激勵與改進教學的功能。學生經(jīng)歷了數(shù)學小課題研究的完整過程后，教師可以通過評價，引導學生反思研究過程，以感悟研究方法，發(fā)展元認知能力（學習遷移能力），并找到不足之處，明確改進的方向。

【片段3】

師回顧一下剛剛的研究，看看我們做得怎么樣，有哪些經(jīng)驗與教訓值得總結(jié)。首先，我們經(jīng)歷了哪些過程？

生我們經(jīng)歷了猜想，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，計算、分析數(shù)據(jù)和得出結(jié)論的過程。

生我們經(jīng)歷了猜想、驗證和得出結(jié)論的過程。

師沒錯，收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、計算和分析數(shù)據(jù)就是驗證猜想的過程。如果換一個課題，可能驗證的方法會不同，但依然要經(jīng)歷猜想、驗證、得出結(jié)論的過程。（稍停）那么，在今天的研究過程中，我們用到了哪些數(shù)學知識和方法呢？

生統(tǒng)計的方法，平均數(shù)的知識。

師你覺得自己本節(jié)課的表現(xiàn)如何？（出示自我評價卡，如圖1所示）根據(jù)自己的表現(xiàn)完成自我評價卡。

師我來采訪幾位同學，每一項給自己打了幾顆星，有什么需要改進的地方。

生第一項5顆星，第二項3顆星，第三項4顆星;我覺得我需要改進的地方是在小組合作方面不夠積極。

生第一項5顆星，第二項4顆星，第三項3顆星;我覺得我需要改進的地方是不知道怎么反思。

……

師同學們的自我評價基本上比較客觀，既看到了優(yōu)點，也看到了不足，很了不起！只要改進自己的不足，就能成為更好的自己，加油！

師最后，老師想請一些同學談談上完這節(jié)課的收獲以及感受。

生我知道了身高和腳長之間的關系，我也能根據(jù)腳印判斷身高了。

生小課題研究很有意思，我還想研究腳長和年齡有什么關系。

生只要用心去觀察，用數(shù)學的眼光去發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學的方法去研究，就可能得出一些有趣的結(jié)論，幫助我們解決難題。

生原來我們身邊處處都有數(shù)學，學好數(shù)學真的很有用！

……

這里，教師引導學生帶著評價的目的反思研究過程，體會研究思路與方法，然后利用評價的工具評價研究過程，找到自己的不足之處，最后進一步提升認識，感悟數(shù)學的價值。這樣的做法，有助于學生提升活動經(jīng)驗，實現(xiàn)從知識、經(jīng)驗向能力、素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化。