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    復(fù)雜介質(zhì)結(jié)構(gòu)電氣設(shè)備的FDTD 算法?

    2022-07-10 02:16:20聶睿瑞
    電子器件 2022年2期
    關(guān)鍵詞:非標(biāo)準(zhǔn)微商高階

    聶睿瑞 李 勃

    (1.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能交通學(xué)院,江蘇 南京 210023;2.南京航空航天大學(xué)無人機(jī)研究院,江蘇 南京 210016)

    在現(xiàn)有的電磁場(chǎng)算法中,時(shí)域有限差分法FDTD的使用越來越廣泛[1-4]。因?yàn)闆]有引入數(shù)學(xué)計(jì)算,傳統(tǒng)FDTD 運(yùn)算法則的網(wǎng)格劃分較為簡(jiǎn)單。然而,需要解決曲面問題時(shí),傳統(tǒng)FDTD 算法就不太適用了。對(duì)于電氣設(shè)備的不連續(xù)曲線表面和多重材料結(jié)構(gòu),傳統(tǒng)FDTD 算法還會(huì)產(chǎn)生發(fā)散和不穩(wěn)定現(xiàn)象。所以,很多項(xiàng)目都把FDTD 算法的穩(wěn)定性作為研究重點(diǎn)[5-7]。

    本文提出了一種基于非標(biāo)準(zhǔn)曲線算子的三維高階FDTD 算法,可以用于解決復(fù)雜介質(zhì)結(jié)構(gòu)電氣設(shè)備的電磁兼容問題。該三維高階FDTD 算法使用了足夠多的點(diǎn)來表示空間微商,而不是像傳統(tǒng)FDTD算法那樣只取兩個(gè)點(diǎn)。在完全導(dǎo)體邊界或吸收邊界處,空間模板不可避免的會(huì)擴(kuò)大,采用緊湊的曲線差分方案,能將無限空間轉(zhuǎn)換為修正過的PML 吸收邊界條件[8-9]??紤]到那些界面和任何網(wǎng)格都不相符的材料,該算法使用了特殊的轉(zhuǎn)換法。通過對(duì)多種三維曲線以及不同介質(zhì)結(jié)構(gòu)的電磁兼容性計(jì)算,結(jié)果表明該方法是有效的。

    1 高階非標(biāo)準(zhǔn)FDTD 算法

    1.1 非標(biāo)準(zhǔn)形狀的結(jié)構(gòu)

    三維高階FDTD 算法采用式(1)來描述三維電磁場(chǎng)的結(jié)構(gòu)[10]:

    式中:g是三維坐標(biāo)函數(shù);CS是修正函數(shù);Rm和Pm是穩(wěn)定性參數(shù);Dq是最佳節(jié)點(diǎn)算子。q是常規(guī)坐標(biāo)系(u,v,w)的變量,M表示準(zhǔn)確度的階數(shù)。該差分法能有效降低色差的影響。而且,只要參數(shù)和滿足式(2)和式(3),就可以確定幾何細(xì)節(jié)及場(chǎng)量分配的穩(wěn)定性。

    式中:L因子表示模板的數(shù)量,一般取L=3,lδq表示各軸上的坐標(biāo)。修正函數(shù)CS(klδq)用于確保從連續(xù)到離散的平滑過渡,其幅度取決于波數(shù)k,對(duì)網(wǎng)格電磁向量進(jìn)行傅立葉變換可以得出,CS一般由式(4)求得:

    式中:rA、rB是三維計(jì)算因子。

    同樣可以推出在方向u和方向w上的方程。

    高階非標(biāo)準(zhǔn)算子可以應(yīng)用到麥克斯韋旋度方程中的空間微商和時(shí)間微商的離散化中。根據(jù)其近似程度,通過一組參數(shù)關(guān)系式能夠得出基本模型。

    空間微商:

    時(shí)間微商:

    式中:?m是微分參數(shù),CT(δt)是T[·]的修正函數(shù),b1和b2是特定的調(diào)節(jié)參數(shù)。除了全導(dǎo)電墻,式(7)在域中處處適用。對(duì)于PEC wall,其模板在格點(diǎn)的兩側(cè)都會(huì)至少延伸兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。相應(yīng)的曲線壓縮公式為:

    式中:τA,τB,τC是三維離散積分系數(shù);S是將曲線從三維壓縮到二維的參數(shù)。

    此方程可自適應(yīng)于曲率的變化,對(duì)連續(xù)物理空間進(jìn)行離散化,轉(zhuǎn)換為二重拓?fù)渚W(wǎng)格結(jié)構(gòu)。

    1.2 非正交二重網(wǎng)格

    將給定三維區(qū)域按照坐標(biāo)系(u=iδu,v=j(luò)δv,w=kδw)進(jìn)行劃分,如圖1 所示。各個(gè)主單元的中心是(i,j,k),而第二重單元的中心則是主單元的頂點(diǎn)。磁場(chǎng)向量H(位于主表面的中心)的共變量hq以及逆變量hp和電場(chǎng)向量E(位于邊緣的中心)的共變量eq以及逆變量ep相互交錯(cuò)。

    圖1 FDTD 二重網(wǎng)格劃分圖

    我們是根據(jù)表面的場(chǎng)通量可定義為f(p)=g1/2f(p)(f是電場(chǎng)或磁場(chǎng))來進(jìn)行這樣的劃分,其中g(shù)pq為坐標(biāo)系的度量。由FDTD 原理可知,fq=gqp fp且fp=gpqfq。再引入線性算子Q(p),得到f(p)=Q(p)[fq],式中用到原有分量fq及相鄰分量fq+1和fq+2(q+1、q+2表示u、v、w的連續(xù)循環(huán))。比如u軸上Q(u)[hu]的表達(dá)式是:

    式中:Θpq=g1/2gpq,因?yàn)槭÷粤硕亟徊鎴?chǎng)復(fù)雜的投影分量,這樣對(duì)通量的分析就相對(duì)簡(jiǎn)便。通過以上步驟并替換旋度算子,可將安培和法拉第定律寫為:

    上式中Ecv=[eu ev ew]和Hcv=[hu hv hw]是未知共變分量的矩陣;L=[Lu,Lv,Lw]為空間算子;J=σE和M=σ?H是對(duì)應(yīng)的傳導(dǎo)電流密度;Yt和Rt是定義每個(gè)介質(zhì)表面的基本矩陣;GH,GE是合適的度量張量,μ是磁導(dǎo)率。矩陣TE和TH根據(jù)T[·]集合了所有的高階臨時(shí)微商,且容許修正。因?yàn)槭?10)和(11)把所有的高階臨時(shí)微商都聚集到一個(gè)矩陣中,這樣就能利用臨時(shí)儲(chǔ)存向量通過修正廣義跳點(diǎn)法把每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)分成和階數(shù)相同的數(shù)量。

    采用馮諾依曼分析法來分析式(6)和式(7)的穩(wěn)定性,可知:

    可調(diào)節(jié)的準(zhǔn)確度系數(shù)M和L極大地改善了色散關(guān)系。把高階非標(biāo)準(zhǔn)FDTD 算法的色散關(guān)系和二階Yee 單元進(jìn)行比較,經(jīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算有:

    由此看出上式只是普通FDTD 關(guān)系FFDTD(·)中很小的一部分。例如,取M=4,L=3,c′是相速度的數(shù)值,β=2π/(kδw),θ為入射角時(shí),有:

    式中:nst的含義是非標(biāo)準(zhǔn)。

    合適的和分量取值使得色散關(guān)系得到了明顯提高。高階非標(biāo)準(zhǔn)FDTD 算法能夠改善后續(xù)計(jì)算的不穩(wěn)定性、減小色散誤差且無需使用共形技術(shù)?;谡w場(chǎng)的實(shí)現(xiàn),發(fā)散的問題可采用曲線非標(biāo)準(zhǔn)PML 邊界條件來解決。選用合理的縮放比例,保持原場(chǎng)變化,進(jìn)行合適的坐標(biāo)變換,就能達(dá)到最優(yōu)吸收邊界條件。

    1.3 空間低通濾波過程

    由于對(duì)介質(zhì)表面采取了不定的調(diào)整,高階非標(biāo)準(zhǔn)FDTD 算法的不穩(wěn)定因素就是不均勻的網(wǎng)格劃分方式。而消除寄生高頻成分是一個(gè)可行的應(yīng)對(duì)辦法。因此,我們可以對(duì)單元平均值采取后期處理:

    式中:單元邊界[u1,u2]、[v1,v2]和[w1,w2]的維數(shù)表示為[q1,q2]集合,G是向量Ecv和Hcv的任意分量。對(duì)于多重空間,該式可以在網(wǎng)格的u、v、w方向上逐一應(yīng)用。再引入自由度的附加度Ξ來控制濾波,則域的內(nèi)部可記為:

    式(17)的頻率響應(yīng)為:

    由式(17)的均衡性可知,F(xiàn)S(k)為實(shí)數(shù),濾波只改變場(chǎng)的幅度。為了能夠抑制最高頻,要求FS(k)=0。一般取Ξ的值為4,且ζf=0.351 4、a1=1.287 587 493 5、a2=-1.923 789 646 3、a3=2.575 179 324 9、a4=0.346 821 379 6。

    1.4 介質(zhì)跳變邊界的收斂處理

    如果對(duì)曲線介質(zhì)表面的不連續(xù)性沒有采用合適的跳變條件,就會(huì)產(chǎn)生不同的相速度和波長(zhǎng),這會(huì)明顯影響FDTD 算法的穩(wěn)定性和收斂性。并且,電磁場(chǎng)在這些邊界上產(chǎn)生不連續(xù),即便對(duì)該區(qū)域采用平滑處理方法,最終的模擬結(jié)果仍然會(huì)出現(xiàn)極大的偏差。

    對(duì)于圖2 中所示的介質(zhì)曲面,?。?,,)T為單位向量。任意兩個(gè)區(qū)域(mat =A,B)中,如果決定了分辨度就定義了特定的空間值。由此,Emat和Hmat向量就能通過合適的切線或普通連續(xù)條件從該介質(zhì)的εmat和μmat中得出。選用一系列的協(xié)變分量,表面?w、hu的修正為:

    圖2 介質(zhì)曲面處理

    式中:hu可以通過下式算出:

    式(20)的三種普通變形推算為:

    對(duì)于e分量而言,表達(dá)式也類似。對(duì)式(22)、(23)的非變量有:

    式(19)~(25)預(yù)先修正了高階非標(biāo)準(zhǔn)FDTD 算法,這使麥克斯韋方程在整個(gè)域中都是可解的,從而大大提高了對(duì)曲線表面的計(jì)算準(zhǔn)確度。

    2 試驗(yàn)與仿真

    設(shè)計(jì)圖3 中所示的某機(jī)電設(shè)備電路板,將集成電路安裝在第一層板上,它們由相同的介質(zhì)構(gòu)成。介質(zhì)參數(shù)分別為:εA=2.5ε0,μA=1.76μ0,σA=0.22 S/m。基片的參數(shù)是:εB=4.7ε0,μB=μ0,σB=0.03 S/m。對(duì)于該機(jī)電設(shè)備電路板,在建模時(shí)需要考慮損耗以及0.01 F 的去耦電容在回路中所產(chǎn)生的高頻能量。該電路板尺寸為:b1=18.65 mm,b2=16.93 mm,b3=2.5 mm。把整個(gè)區(qū)域劃分為36×24×8 個(gè)單元,取δx=δy=δz=1.5 mm,δt=25.32 ps。

    圖3 試驗(yàn)用某機(jī)電設(shè)備電路板

    圖4 和圖5 分別顯示出參量S11(端口1 上的輻射)和S21(兩個(gè)端口之間的輻射)隨頻率變化時(shí),二階FDTD 算法和高階非標(biāo)準(zhǔn)FDTD 算法的仿真結(jié)果。從圖4 中可以看出,高階非標(biāo)準(zhǔn)FDTD 算法的準(zhǔn)確度非常高,并且沒有出現(xiàn)任何色散情況。相反的,盡管Yee 算法采用了標(biāo)準(zhǔn)的82×64×156 網(wǎng)格,卻不能計(jì)算出準(zhǔn)確的峰值。

    圖4 S11的幅度

    圖5 S21的幅度

    最后,圖6 中顯示出不同的離散化程度下,在電路板某固定位置處的標(biāo)準(zhǔn)化相速度。

    圖6 多種FDTD 方法計(jì)算的相速度對(duì)比

    3 結(jié)論

    結(jié)果表明,本文所提出的基于非標(biāo)準(zhǔn)曲線算子的三維高階FDTD 算法,其計(jì)算結(jié)果比二階FDTD算法要精確。因?yàn)殡S著分辨度的下降,二階FDTD會(huì)嚴(yán)重偏離實(shí)際值。所以在分析較大結(jié)構(gòu)的EMC問題時(shí),采用高階FDTD 算法能夠較好地彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法在準(zhǔn)確度方面的缺陷。此外,高階非標(biāo)準(zhǔn)FDTD 算法還可以節(jié)省大約85%的CPU 及內(nèi)存。

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