一種有效的非線性電路及其特性的透明建模方法?

陳和娟 房義軍

(1.無錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫 214153；2.江蘇大學(xué)農(nóng)業(yè)工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

符號(hào)分析和符號(hào)建模的目標(biāo)是得到模擬電路行為的可解釋表達(dá)式[1－2]。符號(hào)分析通過電路的拓?fù)浞治鰜硖崛”磉_(dá)式，而符號(hào)建模則通過采用SPICE仿真數(shù)據(jù)來提取表達(dá)式。這些表達(dá)式可應(yīng)用于自動(dòng)電路尺寸的分析模型生成、設(shè)計(jì)空間探索、包括統(tǒng)計(jì)分析、模擬故障診斷和可測(cè)試性分析在內(nèi)的重復(fù)公式評(píng)估，以及仿真行為模型生成等[3]。更重要的是可以為設(shè)計(jì)人員提供對(duì)電路理解的工具，因?yàn)樗兄谠陔娐烦叽?、布局、?yàn)證和拓?fù)湓O(shè)計(jì)方面做出更好的決策。因此，生成符號(hào)表達(dá)式的方法備受關(guān)注。

盡管符號(hào)分析最先出現(xiàn)，但其主要缺點(diǎn)是局限于線性化和弱非線性電路。這只能通過分段線性/多項(xiàng)式建模方法來克服[4－5]，代價(jià)是失去透明性(可解釋性)。

在建模中利用SPICE 仿真是可行的，因?yàn)榉抡嫫骺梢院苋菀滋幚矸蔷€性電路、環(huán)境影響(如溫度、電源電壓、負(fù)載)、制造影響、不同工藝(如接近角)等。根據(jù)仿真數(shù)據(jù)，構(gòu)建一個(gè)模型y＝f(x)，其中y通常是一個(gè)性能指標(biāo)，x包括設(shè)計(jì)、工藝或環(huán)境變量，而f為SPICE 映射的近似值。通常采用的模型包括線性模型[6]、基于正項(xiàng)式的模型[7－8]和二次多項(xiàng)式模型[9－10]。在文獻(xiàn)[7－8]中，盡管構(gòu)建了基于正項(xiàng)式的符號(hào)模型，但存在的問題是模型被約束到一個(gè)預(yù)先定義的模板，從而限制了函數(shù)形式。此外，這些模型有許多項(xiàng)，限制了它們對(duì)設(shè)計(jì)者的可解釋性。正項(xiàng)式可以擬合數(shù)據(jù)，但在模擬電路中并不能保證這一點(diǎn)；文獻(xiàn)[9－10]研究了二次多項(xiàng)式模型構(gòu)建，但二次多項(xiàng)式也存在限制性結(jié)構(gòu)。

也有學(xué)者提出采用樣條函數(shù)[11]、多元自適應(yīng)回歸樣條函數(shù)(Multivariate Adaptive Regression Splines，MARS)[12]、前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Feedforward Neural Network，F(xiàn)NN)[13]、增強(qiáng)型前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Boosted-FNN，B-FNN)[14]、支持向量機(jī)(Support Vector Machines，SVM)[15]、最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares-Support Vector Machines，LS-SVM)[16]

和克里格法(Kriging)[17]來構(gòu)建符號(hào)模型。然而，這些模型要么遵循一個(gè)過度限制的功能模板(限制了它們的適用性)，要么是不透明的，因此無法為設(shè)計(jì)者提供觀察和可解釋性。

對(duì)此，本文提出了一種新的符號(hào)建模方法，本文將這種建模方法稱為基于進(jìn)化的規(guī)范函數(shù)形式表達(dá)式(Evolution Based Canonical Functional Form Expressions，EB-CFFE)。它采用SPICE 仿真數(shù)據(jù)為電路應(yīng)用生成可解釋的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將電路性能與設(shè)計(jì)變量聯(lián)系起來，能夠?yàn)槿我夥蔷€性電路及其特性生成具有更開放的函數(shù)形式的符號(hào)模型，同時(shí)確保模型是可解釋的(透明的)。提出的符號(hào)建模最適合于有適當(dāng)偏差的設(shè)計(jì)區(qū)域(即設(shè)計(jì)變量有較小的更改)，因?yàn)楦采w不正確偏差區(qū)域的模型對(duì)于手工檢查來說太復(fù)雜了。

1 問題及背景知識(shí)

1.1 問題構(gòu)建

本文研究的建模問題的輸入與輸出如下。

輸入:(1)X和y:集合{xj，yj}(j＝1，…，N)為數(shù)據(jù)樣本，其中xj為Nd維的設(shè)計(jì)點(diǎn)j，yj為從該設(shè)計(jì)的SPICE 仿真測(cè)得的對(duì)應(yīng)的電路性能值?？刹捎脤?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)或電路優(yōu)化生成數(shù)據(jù)樣本；(2)無模型模板。

輸出:一組符號(hào)模型M，它給出最小模型復(fù)雜性f1和最小模型預(yù)測(cè)誤差f2之間的帕累托最優(yōu)權(quán)衡，這個(gè)約束最優(yōu)化問題用公式表示為:

式中:Ψ為無模板符號(hào)模型空間。算法將遍歷Ψ返回一個(gè)帕累托最優(yōu)集合。每個(gè)模型m將一個(gè)Nd維的輸入x映射到一個(gè)標(biāo)量電路性能近似，即＝m(x)。復(fù)雜性定義為區(qū)分不同模型之間自由度的某種度量(見式(5))。Ex，y L是給定m對(duì)未來預(yù)測(cè)的預(yù)期損失，其中L為平方誤差損失函數(shù):

根據(jù)定義，帕累托最優(yōu)集合M中沒有哪個(gè)模型優(yōu)于其他任何模型。在本文情形中，如果{fj(ma)≤fj(mb)}?j且{fj(ma)(fj(mb)}?j，j＝{1，2}，則模型ma優(yōu)于另一個(gè)模型mb。也就是說，要達(dá)到帕累托最優(yōu)，一個(gè)模型必須在兩個(gè)目標(biāo)上至少與任何模型一樣好，在一個(gè)目標(biāo)上優(yōu)于任何模型。

1.2 背景知識(shí)—基因編程

基因編程(Genetic Programming，GP)[18]是一種進(jìn)化算法，GP 個(gè)體(設(shè)計(jì)空間中的點(diǎn))具有樹的顯著特征。由于符號(hào)模型是一個(gè)函數(shù)，可以表示為一顆樹，所以對(duì)上述模型的搜索可以通過GP 搜索來完成。

標(biāo)準(zhǔn)GP 結(jié)果的函數(shù)形式是完全不受限制的，但不受限制的形式總是難以分析。GP－進(jìn)化函數(shù)非常復(fù)雜且具有不可解釋性。文獻(xiàn)[18－19]表明GP－進(jìn)化函數(shù)非常龐大且相當(dāng)復(fù)雜，如果不與諸如Mathematica 這樣的工具進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕换ィǔ：茈y理解它們。

2 提出的EB-CFFE 建模方法

2.1 EB-CFFE 規(guī)范形式函數(shù)

EB-CFFE 設(shè)計(jì)遵循2 條準(zhǔn)則:確保每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最大可表達(dá)性，確保全部候選函數(shù)都是直接可解釋的。圖1 所示為EB-CFFE 函數(shù)的一般結(jié)構(gòu)，盡管它可以無限地深入(進(jìn)化)下去，但為了保持可解釋性，它通常只能達(dá)到所顯示的深度。它在乘積的和表達(dá)式與和的乘積表達(dá)式級(jí)別之間交替使用。每個(gè)乘積的和表達(dá)式是一個(gè)總的偏移項(xiàng)加上加權(quán)基函數(shù)的加權(quán)線性相加。一個(gè)基函數(shù)是乘積項(xiàng)的組合，其中每個(gè)乘積項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式/有理式、零或多個(gè)非線性運(yùn)算符，以及零或多個(gè)單位運(yùn)算符。每個(gè)乘積項(xiàng)充當(dāng)通往下一個(gè)乘積的和的層的“門”。

圖1 EB-CFFE 進(jìn)化出的規(guī)范形式函數(shù)

圖2 所示為一個(gè)示例函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的樹。在函數(shù)的7.1/x3部分，7.1 是樹的左上方w0，1/x3是其相鄰的vars 的poly/rat'l。1.8 對(duì)應(yīng)頂部的w1，x1是其相鄰的vars 的poly/rat'l。函數(shù)的log 對(duì)應(yīng)于nonlinear func，它在樹中包含加權(quán)線性加(weighted linear add)項(xiàng)－。這一項(xiàng)本身已經(jīng)中斷:函數(shù)的－1.9 是樹的較低的woffset，8.0/x1對(duì)應(yīng)樹的左下方w0×poly/rat'l of vars，對(duì)應(yīng)于樹的右下方的w1×poly/rat'l of vars。注意，EB-CFFE 只在需要系數(shù)的地方放置系數(shù)，而不在其他地方放置系數(shù)。

圖2 采用文本形式的函數(shù)示例及相應(yīng)的EB-CFFE 樹形式

注意，不存在限制一個(gè)線性加層到下一層的非線性函數(shù)。EB-CFFE 的典型使用將限制乘積項(xiàng)層的數(shù)量?jī)H為1 或2，因此確保不會(huì)出現(xiàn)非線性成分的過度混合，如lg(sin(exp(x)))。對(duì)基函數(shù)的最大數(shù)目也可能有一個(gè)限制。由于采用了規(guī)范形式，故所有進(jìn)化函數(shù)都是直接可解釋的，不需要符號(hào)處理。

2.2 EB-CFFE 搜索算法

本節(jié)描述EB-CFFE 函數(shù)中采用的搜索算法。EB-CFFE 搜索采用GP 作為起點(diǎn)，但為了正確處理無模板符號(hào)建模，本文對(duì)GP 進(jìn)行擴(kuò)展。主要通過2種方式解決復(fù)雜性和可解釋性問題:一是多目標(biāo)方法，它在誤差和復(fù)雜性之間提供權(quán)衡；二是專門設(shè)計(jì)的語法和操作符，用于將搜索限制到特定的函數(shù)形式，而不會(huì)排除期望的解。在EB-CFFE 中，總的表達(dá)式是NB個(gè)基函數(shù)Bi的線性函數(shù)，i＝1，2，…，NB:

一個(gè)EB-CFFE 個(gè)體m有一個(gè)GP 樹來確定每個(gè)基函數(shù)m＝{B1，B2，…，BNB}。線性系數(shù)a∈RNB＋1是在最小二乘成本函數(shù)式(2)上采用線性回歸實(shí)時(shí)確定的。

2.2.1 多目標(biāo)方法

EB-CFFE 采用最先進(jìn)的多目標(biāo)進(jìn)化算法，返回一組個(gè)體，它們共同權(quán)衡模型誤差和復(fù)雜性，即式(1)中的目標(biāo)f2和f1。誤差(預(yù)期損失Ex，y L)通過訓(xùn)練誤差εtr來近似，εtr為訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的個(gè)體m的歸一化均方根誤差:

式中:Ntr為訓(xùn)練樣本數(shù)，ytr，i為訓(xùn)練輸出ytr的樣本i，＝F(xtr，i；m)，xtr，i為訓(xùn)練輸入Xtr的樣本i。注意，y值被y縮放，而不是ytr；測(cè)試誤差εtest有類似的公式，只是將Ntr個(gè)訓(xùn)練點(diǎn){ytr，Xtr}用Ntest個(gè)測(cè)試點(diǎn){ytest，Xtest}替換。

復(fù)雜性由基函數(shù)數(shù)目、每棵樹中的節(jié)點(diǎn)數(shù)以及變量組合(Variable Combos，VCs) 的指數(shù)來度量，即:

式中:wb為給定每個(gè)基函數(shù)最小成本的常數(shù)，nnode(j)為基函數(shù)j的樹節(jié)點(diǎn)數(shù)目，nvc(j)為基函數(shù)j的VCs的數(shù)目，具有成本:

方法在生成過程中通過保持向更低復(fù)雜性的進(jìn)化壓力來實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化，從而可以避免在誤差或復(fù)雜性上作出預(yù)先決定，因?yàn)樗惴ㄉ梢唤M模型來提供各種備選方案的權(quán)衡，而不是只生成一個(gè)模型。

2.2.2 規(guī)范形式函數(shù)的語法實(shí)現(xiàn)

在GP 中，一種限制搜索的方法是通過語法[20]。基于樹的進(jìn)化算子(如交叉和變異)必須遵循語法的派生規(guī)則。

盡管語法可以有效地約束搜索，但目前還沒有針對(duì)函數(shù)形式進(jìn)行設(shè)計(jì)的語法。在設(shè)計(jì)這樣的語法時(shí)，允許所有的函數(shù)組合(即使僅用一種規(guī)范形式)是很重要的。

表1 所示的EB-CFFE 語法是為創(chuàng)建線性和非線性函數(shù)的單獨(dú)層而設(shè)計(jì)的，并按照?qǐng)D1 放置系數(shù)和變量。

表1 EB-CFFE 語法

首先解釋表1 中的記號(hào)。粗體表示非終結(jié)符號(hào)，非粗體表示終結(jié)符號(hào)。每一行(或兩行)顯示了左邊的非終結(jié)符號(hào)可以映射到(｜→)的可能表達(dá)式?？赡鼙磉_(dá)式即派生規(guī)則用OR 操作符“｜”分隔。

其次來解釋語法是如何實(shí)現(xiàn)規(guī)范形式函數(shù)的。REP 是“重復(fù)(repeating)”的縮寫，如“重復(fù)操作符”REPOP(REP operators)和“重復(fù)變量組合”REPVC(REP variable combo)，在后面還有進(jìn)一步說明。開始符號(hào)為REPVC，它擴(kuò)展到一個(gè)基函數(shù)(一個(gè)個(gè)體有幾個(gè)根級(jí)基函數(shù))。注意操作符之間的明顯區(qū)別。根是變量(REPVC)和/或非線性函數(shù)(REPOP) 的乘積。在每個(gè)非線性函數(shù)內(nèi)是REPADD，即下一級(jí)基函數(shù)的加權(quán)和。

VC 為變量組合(Variable Combo，VC)，旨在保持多項(xiàng)式/有理式的緊湊表示。它的擴(kuò)展可以直接在語法中實(shí)現(xiàn)；盡管在本文的基本系統(tǒng)中存儲(chǔ)了一個(gè)向量，以保存每個(gè)設(shè)計(jì)變量的整數(shù)值作為變量的指數(shù)。如示例向量[1，0，－2，1]，它意味著(x1×x4)/(x3)2，并且根據(jù)式(6)，有成本｜1｜＋｜0｜＋｜－2｜＋｜1｜＝4。這種方法保證了緊湊性，并允許對(duì)向量使用特殊操作符。

在確定系數(shù)值時(shí)，要區(qū)分線性系數(shù)和非線性系數(shù)。如前所述，EB-CFFE 個(gè)體是一組線性相加的基函數(shù)。每個(gè)基函數(shù)是一棵語法派生的樹。線性系數(shù)是通過對(duì)所有輸入樣本的每棵樹進(jìn)行計(jì)算得到一個(gè)基函數(shù)輸出矩陣來找到的，然后對(duì)該矩陣和目標(biāo)輸出向量應(yīng)用最小二乘回歸來找到最佳線性權(quán)值。

對(duì)于樹中的每個(gè)非線性系數(shù)W(即不能通過線性回歸找到的系數(shù))，附帶一個(gè)實(shí)數(shù)值，其值在范圍[－2×B，＋2×B]。在樹的解釋過程中，值被轉(zhuǎn)換成[－1×10B，－1×10－B]∪[0.0]∪[1×10－B，1×10B]，B為用戶集。

POW(a，b)表示ab。當(dāng)符號(hào)2ARGS 擴(kuò)展到包含MAYBEW 時(shí)，底數(shù)或指數(shù)(但不能都是)可以是常數(shù)。

設(shè)計(jì)者可以關(guān)閉表1 語法中的任何規(guī)則，如果考慮不想要或不需要。例如，可以很容易將搜索限制在多項(xiàng)式或有理式，或者刪除可能難以解釋的函數(shù)，如sin 和cos。還可以改變或擴(kuò)展操作符或輸入，例如，包括Wi、Li和Wi/Li。

2.2.3 增強(qiáng)EB-CFFE 算法

算法1 所示為ExtractSymbolicCaffeineModels()算法實(shí)現(xiàn)的偽代碼。它接受訓(xùn)練輸入X和訓(xùn)練輸出y，將輸出一組帕累托最優(yōu)模型M。第1 行將M、當(dāng)前的父元素P集合和當(dāng)前的子元素Q集合初始化為空集合。第2～3 行循環(huán)遍歷種群大小Npop，從可能的規(guī)范形式函數(shù)ψ空間中隨機(jī)抽取每個(gè)個(gè)體Pi。第4 行開始第5 行和第6 行的進(jìn)化算法(Evolutionary Algorithm，EA)的代循環(huán)。當(dāng)達(dá)到目標(biāo)代數(shù)Ngen，max時(shí)，終止循環(huán)。第5 行執(zhí)行主要的EA 工作。第6 行更新帕累托最優(yōu)個(gè)體M的外部存檔，通過對(duì)現(xiàn)有的M進(jìn)行過濾，其中最近更新過M的父結(jié)點(diǎn)P和子結(jié)點(diǎn)Q。第7 行結(jié)束ExtractSymbolicCaffeine-Models()運(yùn)行，返回帕累托最優(yōu)符號(hào)模型M。

算法1 ExtractSymbolicCaffeineModels()步驟偽代碼

2.2.4 進(jìn)化搜索算子

現(xiàn)在描述樹是如何隨機(jī)生成的，并解釋樹上的搜索算子。搜索算子按其搜索表示分組為:語法、實(shí)值系數(shù)、變量組合(VCs)和基函數(shù)。

從給定符號(hào)隨機(jī)生成樹和子樹只需要隨機(jī)選擇其中一個(gè)符號(hào)的一個(gè)派生，并遞歸地生成(子)樹，直至遇到終結(jié)符號(hào)。

對(duì)樹的語法限制得到遵循自然語法的交叉算子和突變算子。算子工作如下:它隨機(jī)選擇第一個(gè)父節(jié)點(diǎn)上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后隨機(jī)選擇第二個(gè)父節(jié)點(diǎn)上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，約束條件是它必須與第一個(gè)節(jié)點(diǎn)具有相同的語法符號(hào)(如REPOP)，最后交換對(duì)應(yīng)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)的子樹。突變包括隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后用隨機(jī)生成的一個(gè)子樹替換它的子樹。

VCs 的特定結(jié)構(gòu)得到合適的算子，包括一點(diǎn)交叉和對(duì)指數(shù)值的隨機(jī)加或減。

每個(gè)個(gè)體有一個(gè)基函數(shù)列表，這也得到特定的算子:通過從兩個(gè)父節(jié)點(diǎn)之一隨機(jī)選擇大于0 的基函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)新的個(gè)體，刪除一個(gè)隨機(jī)基函數(shù)，添加隨機(jī)生成的樹作為基函數(shù)，從一個(gè)個(gè)體復(fù)制子樹，為另一個(gè)個(gè)體創(chuàng)建一個(gè)新的基函數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

本節(jié)給出EB-CFFE 應(yīng)用于模擬電路建立符號(hào)模型，將設(shè)計(jì)變量映射到性能，解決有13 個(gè)輸入變量的問題，從而表明所生成的實(shí)際符號(hào)模型、測(cè)試誤差與復(fù)雜性之間的權(quán)衡、預(yù)測(cè)誤差和復(fù)雜性與其他主流建模方法的比較。

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

x1＋x2、x1×x2、max(x1，x2)、min(x1，x2)、power(x1，x2)和x1/x2；條件運(yùn)算符包括≤(testExpr、condExpr、exprIfLessT hanCond、elseExpr) 和≤(testExpr、0、exprIfLessT hanCond、elseExpr)；任意輸入變量都可以在{…，－1，1，2，…}內(nèi)有一個(gè)指數(shù)。

實(shí)例中所建模的電路為一個(gè)高速CMOS 跨導(dǎo)運(yùn)算放大器(Operational Transconductance Amplifier，OTA)，如圖3 所示。目標(biāo)是找到低頻增益(ALF)、單位增益頻率(FU)、相位裕量(PM)、輸入?yún)⒖计秒妷?VOFF)和正、負(fù)轉(zhuǎn)換速率(SRp，SRn)這6 個(gè)性能指標(biāo)的表達(dá)式。為了直接與正項(xiàng)式方法進(jìn)行比較，輸入和輸出都不縮放，只是FU為對(duì)數(shù)縮放，因此均方誤差計(jì)算和線性學(xué)習(xí)會(huì)偏向于FU的高幅值樣本。

圖3 CMOS 高速OTA

采用工作點(diǎn)驅(qū)動(dòng)[21]，其中電流和晶體管柵驅(qū)動(dòng)電壓構(gòu)成了設(shè)計(jì)變量(在本實(shí)例中有13 個(gè)變量)。設(shè)計(jì)點(diǎn)按比例dx＝0.1(其中dx為變量值與中心值的%變化)得到243 個(gè)樣本。未經(jīng)過濾的樣本用作訓(xùn)練數(shù)據(jù)輸入。測(cè)試數(shù)據(jù)輸入也采用243 個(gè)樣本，但dx＝0.03。

運(yùn)行設(shè)置:基函數(shù)的最大數(shù)目NB＝15，種群大小Npop＝200，代數(shù)目Ngen，max＝5000(有足夠的時(shí)間來收斂)，最大樹深度＝8(使得每個(gè)基函數(shù)恰好有一個(gè)層的非線性運(yùn)算符)，W系數(shù)范圍為[－1×1010，－1×10－10]∪[0.0]∪[1×10－10，1×1010](即B＝10，因此，系數(shù)可以涵蓋20 個(gè)數(shù)量級(jí)，包括正、負(fù))。所有運(yùn)算符都有相同的概率，除了參數(shù)突變的可能性是5 倍(為調(diào)整緊湊函數(shù))。復(fù)雜性度量設(shè)置為wb＝10，wvc＝0.25。

對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)和單獨(dú)測(cè)試數(shù)據(jù)計(jì)算其歸一化均方誤差εtr和εtest，這是模型質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)度量。測(cè)試誤差εtest最終是更重要的指標(biāo)，因?yàn)樗攘磕Ｐ蛯?duì)不可見數(shù)據(jù)進(jìn)行概括的能力。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2.1 EB-CFFE 符號(hào)建模性能測(cè)試

首先測(cè)試由EB-CFFE 生成的一些符號(hào)模型，觀察哪些符號(hào)模型具有<10%的訓(xùn)練和測(cè)試誤差，且有最低的復(fù)雜度。表2 所示為得到的圖3 的OTA的6 個(gè)性能指標(biāo)的規(guī)范形式函數(shù)?？梢钥吹?，每個(gè)函數(shù)最多有4 個(gè)基函數(shù)，不包括常數(shù)。對(duì)于VOFF，常數(shù)就足以使誤差保持在10%以內(nèi)。還可看到，有理函數(shù)形式最多。在這些目標(biāo)誤差下，只在ALF中出現(xiàn)一個(gè)非線性函數(shù)ln()。

表2 圖3 的OTA 的EB-CFFE 生成的符號(hào)模型

可以通過對(duì)這些方程的分析，來了解拓?fù)渲械脑O(shè)計(jì)變量是如何影響性能的，以提供可解釋性。例如，ALF與OTA 的差動(dòng)對(duì)上的電流idl成反比，或者SRp僅依賴于id1和id2以及id1/id2的值，或者在采樣的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)，設(shè)計(jì)變量之間的非線性耦合非常弱，通常僅為同一晶體管變量的比值，或者每個(gè)表達(dá)式僅包含設(shè)計(jì)變量的一個(gè)子集，或者晶體管對(duì)M1和M2是唯一影響6 個(gè)性能指標(biāo)中的5 個(gè)的器件。

圖4 所示為OTA 的6 個(gè)性能指標(biāo)對(duì)于訓(xùn)練誤差εtr、測(cè)試誤差εtest和基函數(shù)數(shù)目與復(fù)雜性之間EB-CFFE 生成的權(quán)衡。

可以看到，對(duì)于訓(xùn)練誤差與復(fù)雜性的權(quán)衡中的全部模型隨著復(fù)雜性的增加，訓(xùn)練誤差減小。在每個(gè)性能指標(biāo)中，EB-CFFE 會(huì)生成大約50 個(gè)不同模型的權(quán)衡。正如預(yù)期的那樣，零復(fù)雜性模型(即常數(shù))有最高的訓(xùn)練誤差約為10%～25%，最高復(fù)雜性模型有最低的訓(xùn)練誤差約為1%～3%；

對(duì)于復(fù)雜性與基函數(shù)數(shù)目之間的關(guān)系，由于復(fù)雜性是由基函數(shù)的數(shù)目和每個(gè)基函數(shù)內(nèi)每棵樹的復(fù)雜性構(gòu)成的函數(shù)，所以在這些曲線中可以看到，基函數(shù)數(shù)目隨著復(fù)雜性的增加而增加。但有時(shí)在現(xiàn)有的基函數(shù)中增加更多的樹而不增加更多的基函數(shù)會(huì)增加復(fù)雜性。這可以從曲線中看出，隨著復(fù)雜性的增加，基函數(shù)的數(shù)目可能趨于平穩(wěn)。

從圖4 還可看到，與訓(xùn)練誤差不同，測(cè)試誤差不是隨著復(fù)雜性的增加而單調(diào)減小。這意味著一些不太復(fù)雜的模型比更復(fù)雜的模型更具預(yù)測(cè)性。

圖4 OTA 的每個(gè)性能指標(biāo)的符號(hào)模型的訓(xùn)練誤差、測(cè)試誤差和基函數(shù)數(shù)目與復(fù)雜性之間的關(guān)系

值得注意的是，在幾乎所有情況下，測(cè)試誤差都小于訓(xùn)練誤差，表明了EB-CFFE 方法能為具有更多變量的電路提供表達(dá)式的潛力。

3.2.2 與正項(xiàng)式符號(hào)模型的比較

本節(jié)將本文的EB-CFFE 符號(hào)建模與正項(xiàng)式建模方法進(jìn)行比較。首先比較模型的復(fù)雜性，比較的是正項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)目與出現(xiàn)在EB-CFFE 表達(dá)式中的系數(shù)數(shù)目，結(jié)果如圖5 所示?？梢钥吹剑珽B-CFFE模型比正項(xiàng)式模型緊湊1.3 倍～6.4 倍；其次比較EB-CFFE 和正項(xiàng)式建模方法的預(yù)測(cè)能力，將訓(xùn)練誤差固定來比較測(cè)試誤差，結(jié)果如圖6 所示?？梢钥吹?，在全部6 個(gè)性能指標(biāo)中，EB-CFFE 模型有5 個(gè)優(yōu)于正項(xiàng)式模型，僅在VOFF中，正項(xiàng)式模型比EB-CFFE略好，但EB-CFFE 模型比正項(xiàng)式模型要緊湊6.2 倍。

圖5 EB-CFFE 模型與正項(xiàng)式模型的復(fù)雜性比較

圖6 EB-CFFE 測(cè)試誤差與正項(xiàng)式預(yù)測(cè)能力的比較

3.2.3 與先進(jìn)的不透明回歸建模方法的比較

回歸建模技術(shù)獲得的不透明模型不具有可解釋性，為此，比較它們的平均預(yù)測(cè)能力即平均預(yù)測(cè)誤差(測(cè)試誤差)。作為比較，選取了以下回歸建模技術(shù):常數(shù)、采用最小二乘擬合的線性模型(Linear Models with Least-Squares Fit，LM-LSF)、基于投影的二次方程式(Projection Based Quadratic，PBQ)、前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Feedforward Neural Network，F(xiàn)NN)、增強(qiáng)型FNN(Boosted-FNN，B-FNN)、多元自適應(yīng)回歸樣條函數(shù)(Multivariate Adaptive Regression Splines，MARS)、最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares-Support Vector Machines，LS-SVM)和克里格(Kriging)法。

模型生成器的編碼和配置如下:構(gòu)建常數(shù)、線性和完全二次型模型用MATLAB 代碼實(shí)現(xiàn)，構(gòu)建PBQ用Python 代碼實(shí)現(xiàn)，采用數(shù)值/線性代數(shù)程序包進(jìn)行最小二乘回歸；對(duì)于增強(qiáng)型FNN，設(shè)置NumModels ＝20；MARS 模型構(gòu)建器用MATLAB 代碼實(shí)現(xiàn)；LS-SVM采用MATLAB 代碼，所有設(shè)置為“全自動(dòng)”；克里格模型構(gòu)建器采用MATLAB 代碼實(shí)現(xiàn)，設(shè)置Θmin＝0.0，Θmax＝10.0，pmin＝0.0，pmax＝1.99。

圖7 所示為對(duì)于OTA 的6 個(gè)性能指標(biāo)得到的平均預(yù)測(cè)誤差(測(cè)試誤差)。

圖7 EB-CFFE 與先進(jìn)的回歸建模技術(shù)的預(yù)測(cè)能力比較

可見，EB-CFFE 有最低的平均預(yù)測(cè)誤差，MARS與之非常接近，克里格法次之。FNN、B-FNN 和LS-SVM 它們非常接近，與線性模型的性能基本相同，二次方程式方法最差；這是由于EB-CFFE 只選擇真正重要的輸入變量，它偏向于輸入變量軸線，而不是仿射不變的。也就是說，EB-CFFE 表達(dá)式和搜索算子每次只處理一個(gè)或幾個(gè)輸入變量，而不是在加權(quán)和中使用所有變量。MARS 也類似，由于它逐步向前的特性使得它也偏向于軸線，并且對(duì)輸入變量有選擇性。在6 個(gè)性能目標(biāo)中，EB-CFFE 有5 個(gè)預(yù)測(cè)誤差最好或接近最好，MARS 有3 個(gè)預(yù)測(cè)誤差最好或接近最好，克里格法有不錯(cuò)的預(yù)測(cè)性能，是因?yàn)楫?dāng)輸入樣本有相對(duì)均勻的間隔時(shí)，它趨向于執(zhí)行較好，因?yàn)樗捎肈oE 采樣；但克里格法、FNN 和B-FNN 比EB-CFFE和MARS 差，這很可能是因?yàn)樗鼈儗?duì)輸入軸線沒有有用的偏差(對(duì)于該應(yīng)用)。B-FNN 的性能并不明顯優(yōu)于FNN，這意味著過擬合可能不是FNN 的問題；LS-SVM 的性能很差，可能是因?yàn)樗鼘?duì)所選變量的處理過于一致；還可看到，只有EB-CFFE、MARS 和克里格法優(yōu)于常數(shù)，而其他模型試圖預(yù)測(cè)不可見的(測(cè)試)輸入的輸出效果很差，因?yàn)槟Ｐ偷姆夯较虿缓?，?dǎo)致更大的誤差值，而常數(shù)沒有過大的誤差值。

4 結(jié)束語

本文提出了一種可以將非線性電路性能的可解釋符號(hào)模型生成為電路的設(shè)計(jì)變量的函數(shù)的工具即EB-CFFE，無需預(yù)先要求模型模板；EB-CFFE 的主要思想是采用SPICE 仿真數(shù)據(jù)的流程，從仿真數(shù)據(jù)中提取無模板函數(shù)的多目標(biāo)GP 搜索，以及用于可解釋性的函數(shù)的規(guī)范形式約束；對(duì)模型的可視化測(cè)試表明模型是可解釋的，對(duì)模型的性能實(shí)驗(yàn)表明比正項(xiàng)式更緊湊，比其他回歸模型的平均預(yù)測(cè)誤差也要低；所以，EB-CFFE 在健壯性建模、行為建模和權(quán)衡建模等應(yīng)用中具有較好的前景。