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    兩種移動列車脈動風(fēng)速時(shí)程模擬方法對比分析

    2018-08-01 06:42:58劉書軍鄒淇煬
    鐵道建筑 2018年7期
    關(guān)鍵詞:時(shí)程風(fēng)場脈動

    劉書軍,肖 軍,鄒淇煬

    (1.重慶交通職業(yè)學(xué)院,重慶 402247;2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,重慶 400074;3.西南交通大學(xué) 橋梁工程系,四川 成都 610031)

    穿越隨機(jī)風(fēng)場的高速列車所感受到的瞬時(shí)風(fēng)速與其所處空間位置和時(shí)間相關(guān),在某確定時(shí)刻,空間位置與運(yùn)行速度有關(guān),因而移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜與列車運(yùn)行速度有關(guān)。由于隨機(jī)風(fēng)場并非各向同性,因而移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜還受來流風(fēng)向角以及由車速和平均風(fēng)速所形成的偏航角影響。穿越隨機(jī)風(fēng)場的高速列車所感受到的脈動風(fēng)的特性區(qū)別于靜止點(diǎn)脈動風(fēng)的特性,其風(fēng)速時(shí)程的模擬不能采用靜止點(diǎn)風(fēng)速譜直接進(jìn)行樣本時(shí)程的模擬。以往在模擬運(yùn)動車輛所感受到的脈動風(fēng)時(shí)程時(shí),通常采用以下2種方法:

    1)采用固定點(diǎn)的多變量隨機(jī)過程模擬方法。首先,利用多變量隨機(jī)過程模擬的方法模擬得到離散隨機(jī)風(fēng)場;然后,采取離散點(diǎn)提取或者相鄰點(diǎn)插值的方式獲取列車當(dāng)前位置的瞬時(shí)風(fēng)速,并通過增加模擬點(diǎn)數(shù)來弱化人為離散引起的誤差。

    2)基于移動列車的脈動風(fēng)速譜直接進(jìn)行單變量隨機(jī)過程模擬,以獲取移動列車的風(fēng)速時(shí)程樣本。

    第1種方法是一種間接模擬的方法,適用于需要同時(shí)模擬固定點(diǎn)風(fēng)場和移動點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程的情況。例如,在進(jìn)行風(fēng)-車-橋耦合振動分析時(shí),需要同時(shí)模擬靜止橋梁所感受到的離散風(fēng)場,以及移動列車所感受到的隨機(jī)風(fēng)速時(shí)程。在不需要模擬固定離散風(fēng)場的情況下,例如在進(jìn)行風(fēng)-車-線耦合振動分析時(shí),僅需要模擬移動列車所感受到的脈動風(fēng)速時(shí)程,則采用第2種方法能夠顯著提高模擬效率。本文主要介紹上述2種移動列車脈動風(fēng)速時(shí)程模擬方法,并對比2種方法的模擬效率以及功率譜的吻合情況。

    1 基于多變量隨機(jī)過程的風(fēng)速時(shí)程模擬

    1.1 傳統(tǒng)的譜分解方法及其快速算法

    多變量隨機(jī)過程模擬方法主要包括:譜分解法、線性濾波法、小波方法等[1-3]。其中譜分解法廣泛應(yīng)用于隨機(jī)風(fēng)場模擬。

    一維n變量0均值的高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程fj0(t)(j=1,2,…,n)的互功率譜矩陣可寫為

    (1)

    fj0(t)的樣本函數(shù)可以根據(jù)下式進(jìn)行模擬:

    (2)

    式中:Δω為頻率間隔,ωl=Δω(l-1);N為頻率分段數(shù);φml為0~2π之間獨(dú)立均勻分布的隨機(jī)數(shù);θjm為相位角,計(jì)算式為

    (3)

    下三角矩陣H(ω)滿足

    (4)

    傳統(tǒng)譜解法的模擬過程大致可以分為2個(gè)階段。第1階段為互譜密度矩陣的Cholesky分解;第2階段則進(jìn)行諧波的疊加運(yùn)算。經(jīng)典的多變量隨機(jī)過程模擬方法由于在每一個(gè)頻率點(diǎn)處都需要做一次Cholesky分解,且需要將所有頻率點(diǎn)分解得到的H(ω)矩陣存儲下來,因而存在顯著的計(jì)算效率和計(jì)算內(nèi)存問題。圖1反映了頻率分段數(shù)1024時(shí)在個(gè)人電腦上模擬點(diǎn)數(shù)量對模擬時(shí)長的影響。

    圖1 模擬點(diǎn)數(shù)量對模擬時(shí)長的影響

    由圖1可見模擬點(diǎn)數(shù)對模擬時(shí)長影響顯著。在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn),在當(dāng)前電腦配置下如果模擬點(diǎn)數(shù)超過50,則由于內(nèi)存占用問題幾乎無法完成模擬?;谧V解法的特點(diǎn),在第1階段分解互譜密度矩陣Cholesky分解的過程中,計(jì)算機(jī)內(nèi)存占用問題突出,因?yàn)槊恳粋€(gè)頻率點(diǎn)Cholesky分解得到的H(ω)矩陣都需保存。由式(2)可知,對每個(gè)頻率分量ωl進(jìn)行余弦疊加時(shí)都需要進(jìn)行一次Cholesky分解,當(dāng)模擬點(diǎn)數(shù)增加時(shí)嚴(yán)重影響模擬效率。

    為解決傳統(tǒng)譜解法存在的計(jì)算效率和計(jì)算內(nèi)存占用問題,文獻(xiàn)[4]基于譜解法的特點(diǎn),在第1階段分解互譜密度矩陣Cholesky分解的過程中給出風(fēng)場互譜密度矩陣分解的解析表達(dá)式。這一方式使得H(ω)不需要事先生成,而只在需要時(shí)調(diào)用解析表達(dá)式。這直接解決了對計(jì)算內(nèi)存的占用問題。文獻(xiàn)[5]基于文獻(xiàn)[6]的方法,提出了一種改進(jìn)的適用于模擬短時(shí)隨機(jī)脈動風(fēng)場的數(shù)值模擬方法,極大地加快了譜解法在第2階段的計(jì)算效率。文獻(xiàn)[7-10]通過不同的方式對互譜密度矩陣分解做了大量改進(jìn),有效提高了譜解法的模擬效率。

    本文在文獻(xiàn)[4-5]的基礎(chǔ)上,編制了隨機(jī)風(fēng)場快速模擬程序WindEMSSP。該程序在譜解法第1階段采用了解析的表達(dá)式,在第2階段采用文獻(xiàn)[5]所改進(jìn)的逆向快速傅里葉變換(IFFT)技術(shù)。

    假定需要模擬的是離地相同高度的等間距的n個(gè)水平點(diǎn)的隨機(jī)風(fēng)場,則各點(diǎn)的水平風(fēng)速譜相同,即

    (5)

    采用相干函數(shù)表達(dá)互功率譜,表達(dá)式為

    (6)

    式中:Δjm為j點(diǎn)和m點(diǎn)之間的水平距離;Coh(Δjm,ω)為相干函數(shù)。

    假定各點(diǎn)之間間距相等,且均為Δ,則Δjm=Δ·|j-m|,采用Davenport相干函數(shù),得到

    (7)

    因而可以得到互功率譜矩陣為

    (8)

    對互功率譜矩陣進(jìn)行Chelosky分解,H(ω)可以顯式地表達(dá)為

    (9)

    式中

    G(ω)=

    (10)

    式(10)寫成解析表達(dá)式為

    (11)

    式(11)給出了風(fēng)場互譜密度矩陣分解的解析表達(dá)式。這一方式既解決了對計(jì)算內(nèi)存的占用問題,且由于不需要進(jìn)行大量的Cholesky分解,對計(jì)算效率也有顯著的提高。

    在譜解法的第2階段,WindEMSSP程序利用在頻域內(nèi)對分解的相干矩陣進(jìn)行疊加運(yùn)算形成復(fù)共軛對稱序列的方法,因而隨機(jī)過程樣本只需要一次IFFT即可實(shí)現(xiàn),也即一維n變量隨機(jī)過程模擬僅需執(zhí)行n次IFFT變換。而采用單索引方法和雙索引方法模擬全部隨機(jī)過程所執(zhí)行的IFFT的次數(shù)則為n·(n+1)/2。

    1.2 基于隨機(jī)風(fēng)場插值的列車風(fēng)速時(shí)程模擬

    高速列車在隨機(jī)風(fēng)場中運(yùn)動,其所感受到的風(fēng)速時(shí)程如圖 2所示。瞬時(shí)風(fēng)速等同列車當(dāng)前位置、當(dāng)前時(shí)刻靜止點(diǎn)的瞬時(shí)風(fēng)速。

    圖2 基于隨機(jī)風(fēng)場插值的列車風(fēng)速時(shí)程模擬示意

    由圖 2可見,移動列車所感受到的風(fēng)速時(shí)程,可通過2個(gè)步驟獲取:①將列車運(yùn)動所經(jīng)過的空間區(qū)域進(jìn)行空間離散,并采用多變量隨機(jī)過程模擬的方法得到固定點(diǎn)的離散隨機(jī)風(fēng)場;②采用時(shí)間和空間插值的方式,由固定點(diǎn)的離散隨機(jī)風(fēng)場插值得到運(yùn)動列車所感受到的隨機(jī)風(fēng)速時(shí)程。

    為模擬離散隨機(jī)風(fēng)場,首先需要給出靜止點(diǎn)脈動風(fēng)速譜。本文采用Simiu譜[11],即

    (12)

    (13)

    繼而利用本文編制的隨機(jī)風(fēng)場快速模擬程序WindEMSSP,模擬得到1024個(gè)離散隨機(jī)點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)程樣本的隨機(jī)風(fēng)場,模擬總耗時(shí)474.74 s,模擬得到的離散隨機(jī)風(fēng)場如圖3所示。

    圖3 模擬得到的離散隨機(jī)風(fēng)場

    任取一條模擬時(shí)程,估算得到其功率譜,將它們與靜止點(diǎn)理論功率譜進(jìn)行對比,結(jié)果如圖4所示。

    分別選取點(diǎn)1和點(diǎn)20,對比自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)模擬值與理論值,結(jié)果如圖5所示。

    圖4 模擬點(diǎn)功率譜與理論功率譜對比

    圖5 自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)對比

    假設(shè)列車以288 km/h的速度穿過模擬得到的離散隨機(jī)風(fēng)場,插值得到列車所感受到的隨機(jī)風(fēng)速時(shí)程,結(jié)果如圖6所示。

    圖6 插值法得到的移動點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程

    2 基于移動風(fēng)速譜的風(fēng)速時(shí)程模擬

    為了要獲取移動列車的一條風(fēng)速時(shí)程而采用多變量隨機(jī)過程模擬的方法是效率低下的。移動列車的一條脈動風(fēng)速時(shí)程對應(yīng)著移動單點(diǎn)的脈動風(fēng)速譜;反之,如果可以通過某種途徑獲取考慮列車運(yùn)動情況下的脈動風(fēng)速譜的表達(dá)式,則可以利用單變量隨機(jī)過程模擬的方法直接進(jìn)行模擬。

    2.1 考慮列車運(yùn)動的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜

    COOPER[12]基于湍流泰勒假定及各向同性湍流假定,推導(dǎo)得到了考慮列車運(yùn)動的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜(列車運(yùn)動方向與風(fēng)速方向垂直,Karman譜)。文獻(xiàn)[13]基于Simiu譜推導(dǎo)得到了列車以任意方向運(yùn)動的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜的半解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[14-15]則推導(dǎo)得到了基于任意脈動風(fēng)速譜表達(dá)式及任意列車運(yùn)動方向情況下的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜的解析表達(dá)式。其形式為

    (14)

    由式(14)可知,考慮列車運(yùn)動情況下的移動點(diǎn)縱向脈動風(fēng)速譜可由靜止點(diǎn)縱向和側(cè)向脈動風(fēng)速譜通過平移和疊加得到。移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜明顯區(qū)別于靜止點(diǎn)風(fēng)速譜,因而移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程的模擬不能直接采用靜止點(diǎn)風(fēng)速譜表達(dá)式。

    本文采用式(14)作為考慮列車運(yùn)動情況下的移動點(diǎn)縱向脈動風(fēng)速譜的理論表達(dá)式。

    2.2 基于移動風(fēng)速譜的單變量隨機(jī)過程模擬

    在獲取考慮列車運(yùn)動情況下的脈動風(fēng)速譜后,可直接利用單變量隨機(jī)過程模擬的方法直接模擬得到移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程。

    算例:采用Simiu譜,模擬總時(shí)長為800 s,模擬點(diǎn)時(shí)間間隔0.1 s,移動點(diǎn)速度288 km/h,平均風(fēng)速20 m/s。模擬得到移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程及模擬功率譜和理論功率譜對比分別見圖7、圖8??梢姡捎脝巫兞侩S機(jī)過程模擬方法獲取的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程其估計(jì)功率譜與理論功率譜對比良好。

    圖7 直接法模擬得到的移動點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程

    圖8 移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜對比

    3 2種模擬方法對比

    移動點(diǎn)的脈動風(fēng)速時(shí)程可以由靜止隨機(jī)風(fēng)速場通過時(shí)間和空間插值的方式獲取。如果移動列車的脈動風(fēng)速時(shí)程在所有時(shí)刻點(diǎn)的空間位置處都對應(yīng)一個(gè)靜止隨機(jī)風(fēng)場模擬點(diǎn),則移動點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程的獲取就避免了空間插值引入的誤差。其功率譜估計(jì)值即可較為真實(shí)地反映移動列車的脈動風(fēng)速譜。對2種不同的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程模擬方法進(jìn)行對比,計(jì)算參數(shù)見表1。

    表1 計(jì)算參數(shù)匯總

    利用2種不同方法模擬得到的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程進(jìn)行功率譜估計(jì),并與式(14)給出的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜的理論值進(jìn)行對比,結(jié)果見圖9。

    圖9 2種不同模擬方法的功率譜對比

    由圖9可見,采用不同方法模擬得到的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程,其模擬功率譜均與理論功率譜吻合較好,表明2種方法都能滿足模擬需要。

    圖10對比2種方法在計(jì)算效率上的差異。其中多變量隨機(jī)過程模擬方法采用本文基于快速算法編制的WindEMSSP程序進(jìn)行計(jì)算。

    圖10 計(jì)算效率對比

    由圖10可見,盡管采用了快速模擬算法,但隨著模擬點(diǎn)數(shù)的增加,多變量隨機(jī)過程模擬的效率依然顯著降低,而單變量模擬效率幾乎不受影響,不同頻率分段數(shù)下大致計(jì)算時(shí)長均約為2.0 s。顯然,基于可靠度理論,采用單變量隨機(jī)過程模擬的方法在模擬效率上具有明顯優(yōu)勢。

    4 結(jié)論

    本文介紹了2種不同的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程模擬方法即采用固定點(diǎn)的多變量的隨機(jī)過程模擬方法和基于移動列車的脈動風(fēng)速譜直接進(jìn)行單變量隨機(jī)過程模擬的方法,分別適用于不同的風(fēng)場模擬的需要。主要結(jié)論如下:

    1)2種方法模擬得到的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程,其模擬功率譜與理論功率譜均吻合良好,均可以得到不同車速下移動點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)程。

    2)利用移動脈動風(fēng)速譜解析表達(dá)式,基于單變量隨機(jī)過程模擬的方法較傳統(tǒng)多變量隨機(jī)過程模擬方法,模擬效率明顯提高。這對于基于可靠度的側(cè)風(fēng)作用下的高速列車安全性和舒適性評價(jià)具有重要意義。

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