圓錐曲線中角平分線問(wèn)題的探究與推廣

姚必巍 李林靜

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其性質(zhì)是高考和競(jìng)賽命題的重點(diǎn)內(nèi)容.本文以2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)初賽試題第12題為例，對(duì)橢圓在定角平分線條件下的定點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行再探究，并進(jìn)一步推廣到雙曲線與拋物線.

1 問(wèn)題的提出

對(duì)上述試題，文[1]、[2]給出了圓錐曲線兩條奇異性質(zhì)：若直線l與l1的斜率之積或和為定值（非零），則直線MN過(guò)定點(diǎn).筆者欣賞此兩文并進(jìn)一步探究后發(fā)現(xiàn)：若直線，與‘關(guān)于某定直線對(duì)稱，則直線MN也過(guò)定點(diǎn).

評(píng)注 利用到角公式處理角平分線問(wèn)題，建立兩個(gè)參量k和的關(guān)系，這是解決圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的一般方法.

3 類比性質(zhì)

令人感興趣的是，借助上述的思維路徑，我們可以把結(jié)論推廣到雙曲線與拋物線的情形之中，得出上述命題的推廣.

4 探究延伸

前面，我們研究了當(dāng)直線PM與PN關(guān)于某直線對(duì)稱時(shí)，直線MN過(guò)定點(diǎn)，反之，當(dāng)直線MN過(guò)定點(diǎn)時(shí)，直線PM與PN是否關(guān)于某直線對(duì)稱？

圓錐曲線的學(xué)習(xí)就是要培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，需要師生堅(jiān)持不懈地研究與反思，開(kāi)闊眼界和思想，這也是能學(xué)好圓錐曲線的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)

[1]錢(qián)汝富，一類直線與橢圓定點(diǎn)問(wèn)題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019 （6）：50-51

[2]程雷虎，圓錐曲線一條奇異性質(zhì)的推廣[J].數(shù)學(xué)通訊，2019 （10）：40-42

[3]漆贛湘，關(guān)聯(lián)橢圓準(zhǔn)線的若干性質(zhì)再探究[J].數(shù)學(xué)通訊，2019 （7）：