基于改進(jìn)分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型的橋梁懸臂施工節(jié)段高程預(yù)測研究

洪曉江， 郭寧， 錢波， 蘭飛， 李鴻鳴

(1.西昌學(xué)院 土木與水利工程學(xué)院, 四川 西昌 615000； 2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 重慶市 400074；3.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 四川 成都 610059)

1 前言

目前，大跨度懸臂施工橋梁主要采用對施工過程進(jìn)行有限元模擬計(jì)算和對施工現(xiàn)場的關(guān)鍵截面、節(jié)點(diǎn)的力學(xué)參數(shù)(變形、內(nèi)力和溫度)進(jìn)行測量相結(jié)合的自適應(yīng)控制方法來保證成橋時達(dá)到理想的設(shè)計(jì)狀態(tài)[1]。但結(jié)構(gòu)的幾何非線性、材料非線性以及施工誤差等原因往往使得橋梁的實(shí)際狀態(tài)和理想狀態(tài)不一致。如：連續(xù)剛構(gòu)橋梁采用懸臂澆筑法施工時，各澆筑節(jié)段的實(shí)測標(biāo)高和設(shè)計(jì)標(biāo)高(含預(yù)拱度)往往存在偏差。

從現(xiàn)代控制理論出發(fā)，橋梁施工系統(tǒng)是一個內(nèi)外存在擾動、信息不確定的復(fù)雜控制系統(tǒng)。許多學(xué)者已將卡爾曼濾波法[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[3]和灰色模型預(yù)測法[4]引入橋梁施工控制和健康監(jiān)測。但基于大數(shù)據(jù)的卡爾曼濾波法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法在節(jié)段數(shù)量有限的懸臂橋梁施工監(jiān)控中很難得到較好的標(biāo)高預(yù)測精度。近年來，以“小數(shù)據(jù)”、“貧信息”、不確定性系統(tǒng)為研究對象的灰色模型預(yù)測技術(shù)在大跨度橋梁施工監(jiān)控方面應(yīng)用較廣泛，并取得了許多成果。張永水等[5]將GM(1,1)灰色模型引入重慶黃花園嘉陵江大橋施工監(jiān)控，證明了灰色理論的適用性；孫永明等[6]進(jìn)一步對GM(1,1)模型進(jìn)行優(yōu)化，建立了一套大跨度連續(xù)梁自適應(yīng)施工控制系統(tǒng)。為了增強(qiáng)可操作性和提高預(yù)測精度，包儀軍[7]、包龍生[8]針對GM(1,1)灰色模型的背景值、初始值及數(shù)據(jù)序列生成方法進(jìn)行了改進(jìn)優(yōu)化，并成功運(yùn)用于橋梁施工節(jié)段高程預(yù)測。

不僅如此，姚榮[9]、彭夢鴿[10]均通過工程實(shí)例將GM(2,1)與GM(1,1)的預(yù)測精度做了對比分析，前者認(rèn)為GM(2,1)預(yù)測更有效，后者得出相反結(jié)論，充分說明了階數(shù)的選取是提高預(yù)測精度的關(guān)鍵；孟偉[11]、Wu L[12]、Fang S L[13]將灰色模型的階數(shù)由整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)，從而建立了分?jǐn)?shù)階拓展算子的灰色預(yù)測模型，研究表明：分?jǐn)?shù)階不僅能實(shí)現(xiàn)對模型階數(shù)的精確調(diào)整，而且能提高對擬合線形變化速率的控制效果；吳利豐等[14]、劉解放等[15]充分驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的穩(wěn)定性，也證明了其具有更強(qiáng)的普遍適用性。該文嘗試將分?jǐn)?shù)階算子灰色模型應(yīng)用于連續(xù)剛構(gòu)橋梁施工線形控制，并對模型背景值進(jìn)行修正，從而得到優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階算子灰色預(yù)測模型，并且通過工程實(shí)例驗(yàn)證其可行性，探討最優(yōu)階數(shù)的選取，對比分析新模型的預(yù)測精度。

2 優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階算子灰色預(yù)測模型

2.1 分?jǐn)?shù)階算子的GM(1,1)模型

設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列，r=R+，X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))為X(0)的r階累加生成算子，記為r-AGO。則：

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(1)

稱為基于分?jǐn)?shù)階算子的GM(1,1)模型。

特別當(dāng)r=1時，X(r)=X(1)，即為一次累加生成算子，x(r-1)(k)+az(r)(k)=b變?yōu)閤(0)(k)+az(1)(k)=b，即為傳統(tǒng)的GM(1,1)模型。

背景值參數(shù)z(r)(k)的構(gòu)造方式為：

(2)

(3)

關(guān)于最優(yōu)階數(shù)r的選取，采用原始序列與預(yù)測序列的最小均方誤差為指標(biāo)進(jìn)行確定，具體形式為：

(4)

最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階階數(shù)r的計(jì)算采用自適應(yīng)變異粒子優(yōu)化算法[16-17](簡稱PSO)。該算法計(jì)算簡潔，便于實(shí)現(xiàn)，主要步驟為：

(1) 設(shè)置粒子群中粒子的初始值rBest，取r=1，即為均值GM(1,1)模型；取rBest=r，計(jì)算灰色模型的最小均方誤差f(rBest)。

(2) 判斷|f(rBest)-A|是否小于給定的收斂值δ，其中A為粒子在最佳位置的最小均方誤差。

(3) 若收斂，進(jìn)行步驟(4)；若不收斂，重新假定分?jǐn)?shù)階階數(shù)r，不斷更新粒子群粒子位置，并轉(zhuǎn)向步驟(2)。

2.2 含三參數(shù)的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型

實(shí)際上，式(2)是根據(jù)牛頓-柯特斯(Newton-Cotes)求積公式得到的梯形積分?jǐn)?shù)值解。該公式只有1次代數(shù)精度，且沒有考慮到其他參數(shù)對模型精度的影響。若涉及參數(shù)過多不僅會增加計(jì)算難度，而且會造成對原始數(shù)據(jù)的過度擬合致使模擬線形失真。針對此問題，將文獻(xiàn)[18]中的三參數(shù)背景值構(gòu)造方法與分?jǐn)?shù)階拓展算子的GM(1,1)模型相融合，形成一種新的含三參數(shù)的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型，具體形式如下：

x(r-1)(k)+az′(r)(k)=kb+c

(5)

(6)

2.3 模型精度檢驗(yàn)指標(biāo)

根據(jù)灰色理論，灰色預(yù)測模型需要通過相關(guān)的精度檢驗(yàn)指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)后才能用于預(yù)測[19]。為了檢驗(yàn)該文新模型的預(yù)測性能，采用以下3個指標(biāo)進(jìn)行精度評定，計(jì)算方法為：

(1) 殘差指標(biāo)：

(7)

(2) 相對誤差指標(biāo)：

(8)

(3) 平均相對誤差指標(biāo)：

(9)

3 監(jiān)控實(shí)例

3.1 工程概況

重慶石柱至黔江高速公路的里頭河大橋?yàn)?70+130+70) m三向預(yù)應(yīng)力混凝土變截面連續(xù)剛構(gòu)橋，采用懸臂澆筑法施工，橋型布置如圖1所示。橋梁節(jié)段劃分為：0#塊長14 m，1#～16#梁段長度組合為4×3.0 m+6×3.5 m+6×4.0 m，邊、中跨合龍段長度均為2.0 m，邊跨現(xiàn)澆段長為3.9 m。0#梁段采用托架現(xiàn)澆施工，其余梁段用掛籃分段對稱懸臂澆筑。

圖1 橋型布置圖(單位：m)

3.2 線形監(jiān)測結(jié)果

為了保障橋梁順利合龍以及成橋后橋面線形良好，需通過監(jiān)控計(jì)算和現(xiàn)場監(jiān)測手段對主梁施工過程中的節(jié)段高程變化狀態(tài)進(jìn)行有效計(jì)算、監(jiān)測、分析和預(yù)測。首先，利用Midas/Civil軟件建立有限元模型對施工過程進(jìn)行模擬計(jì)算，得到理論預(yù)拱度，從而獲取每個施工節(jié)段的理論高程值；其次，每個節(jié)段施工時，在距離施工節(jié)段前10 cm布置測試截面，每個截面布置5個高程監(jiān)測點(diǎn)(采用鋼筋頭制作，外露長度5 cm)用于測試實(shí)際節(jié)段高程，如圖2所示。采用高精度電子水準(zhǔn)儀按照二等水準(zhǔn)要求進(jìn)行測量；最后，通過對已澆筑節(jié)段高程的理論值、實(shí)測值進(jìn)行對比分析，尋找偏差原因，從而調(diào)整參數(shù)，預(yù)測下一節(jié)段的實(shí)際高程。

圖2 標(biāo)高測點(diǎn)布置圖(單位：cm)

限于篇幅，表1中列出了部分節(jié)段(2#墩沿中跨方向)的橋梁中心線上的監(jiān)測點(diǎn)在預(yù)應(yīng)力張拉后的節(jié)段高程監(jiān)測數(shù)據(jù)。不難看出：各節(jié)段高程實(shí)測值與理論值之間存在偏差。而有限元模型計(jì)算參數(shù)取值誤差、測量誤差以及現(xiàn)場施工環(huán)境多變等原因?qū)е铝斯?jié)段高程理論值與實(shí)測值存在偏差。在后續(xù)節(jié)段澆筑中，傳統(tǒng)的有限元計(jì)算自適應(yīng)控制方法是通過標(biāo)高實(shí)測值反饋調(diào)節(jié)模型相關(guān)材料參數(shù)從而實(shí)現(xiàn)對模型的修正，并將修正后的新理論值用于作為節(jié)段立模標(biāo)高使用。但采用這種方法進(jìn)行施工控制仍有誤差累積的趨勢。

表1 部分節(jié)段高程監(jiān)測數(shù)據(jù)

4 模型應(yīng)用及對比分析

為了說明含三參數(shù)分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型的可行性和精確性，以表1中部分節(jié)段的高程監(jiān)測數(shù)據(jù)為原始樣本數(shù)據(jù)，首先對后續(xù)未澆筑節(jié)段的高程進(jìn)行預(yù)測，并與實(shí)測值進(jìn)行比較以驗(yàn)證模型的可行性。接著，將新模型與傳統(tǒng)GM(1,1)模型、分?jǐn)?shù)階GM(1,1)進(jìn)行精度對比分析。

4.1 含三參數(shù)的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型應(yīng)用

設(shè)各節(jié)段高程理論值序列為：

Y=(Y(1),Y(2),…,Y(n))

對應(yīng)的節(jié)段高程實(shí)測序列為：

Y′=(Y′(1),Y′(2),…,Y′(n))

首先，以4#～9#節(jié)段預(yù)應(yīng)力張拉完成后預(yù)拱度理論值與實(shí)測值的差值為模型原始序列(實(shí)測值與模擬值對比見圖3)，有：

圖3 實(shí)測值與模擬值對比

X(0)=(4.3,6.8,12.3,16.8,21.7,23.5)

用Matlab軟件進(jìn)行仿真計(jì)算，以最小均方誤差為指標(biāo)，初始化粒子個數(shù)為100，最大迭代次數(shù)為200，學(xué)習(xí)因子c1和c2均設(shè)置為1.5，慣性權(quán)重設(shè)置為0.8，通過PSO算法搜索得到最優(yōu)的階數(shù)為r=0.32，則：

X(0.32)=(4.3,8.2,15.5,23.2,31.8,38.1)

故背景值序列為：

Z′(0.32)=[9.351 9,15.636 6,23.501 5,31.030 4]

最后，經(jīng)過累減生成序列的模擬值為：

4.2 預(yù)測精度對比分析

為了驗(yàn)證該文模型在連續(xù)剛構(gòu)橋梁節(jié)段高程預(yù)測中的精確性，將GM(1,1)模型、分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型以及該文模型分別用于10#～15#節(jié)段的高程預(yù)測，并用誤差檢驗(yàn)的殘差ε(k)、相對誤差Δ(k)以及平均相對誤差Δ3個指標(biāo)進(jìn)行精度評定，結(jié)果比較見表2。

表2 不同灰色模型預(yù)測精度比較

由預(yù)測結(jié)果可見：分?jǐn)?shù)階模型處理后的各個預(yù)測值的殘差、相對誤差均有所減小。更重要的是，分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型的預(yù)測平均相對誤差為9.0%，相比傳統(tǒng)的GM(1,1)模型減少了8.5%，預(yù)測精度得到進(jìn)一步提高，說明對于階數(shù)的優(yōu)化可以改善預(yù)測效果，分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型能夠較好地用于大跨度懸臂橋梁施工節(jié)段高程預(yù)測。另外，在分?jǐn)?shù)階模型處理中，優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型將背景值參數(shù)由傳統(tǒng)的2個拓展至3個，增強(qiáng)了原始序列的平滑效果，弱化了極端值的影響，使平均相對誤差減小到了5.9%，進(jìn)一步提高了預(yù)測精度。

5 結(jié)論

橋梁工程施工監(jiān)控是個受多因素、多維度影響的復(fù)雜灰色系統(tǒng)，灰色預(yù)測理論是連續(xù)剛構(gòu)橋梁高程預(yù)測的重要方法。該文將分?jǐn)?shù)階算子GM(1,1)模型引入大跨度橋梁高程預(yù)測，并建立了一種含三參數(shù)的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)新模型，實(shí)現(xiàn)了對傳統(tǒng)GM(1,1)模型的階數(shù)和背景值的雙重優(yōu)化。得出以下結(jié)論：

(1) 將背景值參數(shù)由傳統(tǒng)的2個拓展至3個，增強(qiáng)了原始序列的平滑效果，弱化了極端值對灰色預(yù)測模型精度的影響。

(2) 將傳統(tǒng)的GM(1,1)的階數(shù)由整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)，可以提高模型的預(yù)測精度。

(3) 利用PSO算法自動搜尋階數(shù)，不僅可以快速高效地找到最優(yōu)階數(shù)，而且實(shí)現(xiàn)的是全局最優(yōu)，從而提高了精度。

(4) 結(jié)合里頭河大橋施工監(jiān)控，對該文模型進(jìn)行了驗(yàn)證、對比分析。結(jié)果表明該模型切實(shí)可行，且精度較高，對于同類型的橋梁施工控制有一定的參考價值。