連續(xù)體結(jié)構(gòu)的變密度拓撲優(yōu)化方法研究

王景良，朱天成，朱龍彪，許飛云

（1.江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院輪機電氣與智能工程學(xué)院，江蘇 南京 211100；2.中國聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)通信集團有限公司江蘇省分公司，江蘇 南京 211100；3.南通大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 南通 226019；4.東南大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 南京 211100）

拓撲優(yōu)化是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化的一種有效的設(shè)計方法，蘊含如現(xiàn)代力學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)等多學(xué)科知識。通過拓撲優(yōu)化可產(chǎn)生材料分布合理、性能各異、質(zhì)量最小的結(jié)構(gòu)設(shè)計方案，故其已成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的熱點研究方向[1]。于20世紀90年代提出的備受關(guān)注的變密度法作為連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的一種主流方法，因自身所具備的技術(shù)優(yōu)勢而在航空航天、建筑、機械等領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中得到廣泛應(yīng)用[2-5]。如：為了實現(xiàn)高速列車底架的輕量化設(shè)計，陳秉智等[6]采用基于OptiStruct軟件的變密度法對高速列車的底架進行拓撲優(yōu)化設(shè)計，獲得了可同時滿足強度、剛度及模態(tài)頻率等設(shè)計要求且應(yīng)力分布得到改善的優(yōu)質(zhì)輕質(zhì)底架；為了得到輕質(zhì)和性能完善的汽車用擋位互換機構(gòu)，王銘昭等[7]也采用基于OptiStruct軟件的變密度法對擋位互換機構(gòu)的殼體進行了拓撲優(yōu)化設(shè)計；周圍等[8]借助基于ANSYS Workbench軟件的變密度法研究了巖心鉆機送桿機構(gòu)運送支架的拓撲優(yōu)化設(shè)計問題，得到了新型輕質(zhì)運送支架。

盡管變密度法有諸多優(yōu)點，但所得優(yōu)化結(jié)構(gòu)普遍存在如棋盤格、網(wǎng)格依賴及灰度單元等數(shù)值不穩(wěn)定問題[9]。為了解決此類問題，學(xué)者們提出了如密度過濾法、敏度過濾法、灰度單元抑制算子等多種方法[10-13]。Biyikli等[14]采用一種簡單有效的改進密度過濾法解決了采用變密度法引起的結(jié)構(gòu)棋盤格問題。張國鋒等[15]為了消除采用變密度法引起的棋盤格、網(wǎng)格依賴和邊界擴散等問題，在保留原卷積因子的基礎(chǔ)上，通過引入新卷積因子，提出了一種改進敏度過濾方法。高翔等[16]為了解決采用變密度法引起的灰度單元和現(xiàn)有Heaviside函數(shù)須頻繁調(diào)用密度矩陣的問題，結(jié)合優(yōu)化準則法和Heaviside函數(shù)，設(shè)計了基于改進Heaviside函數(shù)的拓撲優(yōu)化方法。廉睿超等[17]從變密度法的材料插值方案出發(fā)，提出了一種灰度單元分層雙重懲罰方法，在有效抑制灰度單元產(chǎn)生的同時提高了拓撲優(yōu)化的收斂速度。但是，目前所提出的策略或方法尚不能很好地兼顧解決多類型的數(shù)值不穩(wěn)定問題與改進拓撲優(yōu)化方法。

為了解決體積約束和柔順度最小的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題及采用變密度法引起的數(shù)值不穩(wěn)定問題，以兼顧改進拓撲優(yōu)化方法為前提，引入改進的固體各向同性材料懲罰（solid isotropic material with penalization，SIMP）法和基于高斯權(quán)重函數(shù)的敏度過濾法，并設(shè)計新的灰度單元抑制算子，對由變密度法和優(yōu)化準則法形成的經(jīng)典拓撲優(yōu)化方法進行改進，提出了一種新的拓撲優(yōu)化方法。

1 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

采用新的拓撲優(yōu)方法研究連續(xù)體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計問題，需要確定材料插值方案、建立結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型、設(shè)計靈敏度、確定敏度過濾法、確定更新準則及給出評價指標等幾個步驟。

1.1 基于改進SIMP法的材料插值方案

采用能在0與1之間連續(xù)取值的基于SIMP法的材料插值方案可以有效降低結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的難度。參考Andreassen等[18]的研究成果，目前應(yīng)用較為普遍的材料插值方案為：

式中：E0為實體材料的彈性模量；Emin為無效材料的彈性模量；p為無效材料的懲罰系數(shù)；xi為拓撲設(shè)計變量，i=1，2，…，n；Ei為當量彈性模量。

通過進一步研究發(fā)現(xiàn)，式（1）所示的插值方案對改進拓撲優(yōu)化方法的效果有限。為了進一步改進拓撲優(yōu)化方法，采用Zhu等[19]提出的改進SIMP法構(gòu)建材料插值方案，具體如下：

式中：α為調(diào)整系數(shù)。

須說明的是，文獻[19]提出的材料插值方案中并沒有Emin，此處加入Emin的目的是規(guī)避奇異剛度矩陣的產(chǎn)生和確保xi的下限值可取0。

1.2 結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型

建立優(yōu)化模型是開展結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的前提。在式（2）的基礎(chǔ)上，參考文獻[9，18]，則使結(jié)構(gòu)柔順度最小的拓撲優(yōu)化模型為：

式中：x為結(jié)構(gòu)拓撲設(shè)計變量的矢量；c為結(jié)構(gòu)柔順度；K為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；U為載荷矢量F作用在結(jié)構(gòu)上而產(chǎn)生的位移矢量；V0和V分別為結(jié)構(gòu)設(shè)計域的材料體積和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計后的材料體積；Vf為優(yōu)化結(jié)構(gòu)的許用材料體積分數(shù)。

1.3 靈敏度

采用經(jīng)典優(yōu)化準則法求解式（3）所示的優(yōu)化模型時，須設(shè)計目標函數(shù)和約束關(guān)于拓撲設(shè)計變量xi的靈敏度。根據(jù)文獻[18]，基于式（2）和式（3），求解c和V關(guān)于xi的靈敏度：

式中：ui為單元的位移矩陣；k0為具有單位彈性模量的剛度矩陣。

1.4 基于高斯權(quán)重函數(shù)的敏度過濾法

為了有效解決采用變密度法引起的數(shù)值不穩(wěn)定問題及改進拓撲優(yōu)化方法，選用合適的敏度過濾法極為重要。Cheng等[20]發(fā)現(xiàn)，采用基于高斯權(quán)重函數(shù)的敏度過濾法可以得到輕質(zhì)且拓撲構(gòu)型好的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。本文采用基于高斯權(quán)重函數(shù)的敏度過濾法對c關(guān)于xi的靈敏度進行過濾處理，具體為：

式中：γ為為了規(guī)避當xi取為0時式中分母為0而引入的一個較小正值參數(shù)；Ni為與單元i相鄰的單元j所組成的集合；Hi，j為敏度過濾的權(quán)重系數(shù)。

根據(jù)文獻[10，20]，得到：

式中：di，j為單元i、j之間的距離；σ為高斯參數(shù)，與過濾半徑R有關(guān)。

1.5 基于新灰度單元抑制算子的更新準則

基于優(yōu)化準則法求解式（3）時，需要一種啟發(fā)式更新準則。根據(jù)文獻[18]，常用的更新準則為：

式中：m和η分別為正值移動步長和阻尼系數(shù)；xi與的結(jié)合物可以視為簡單的灰度單元抑制算子，用于更新xi。

中間變量Bi為：

式中：λ為拉格朗日乘子，可通過二分法計算得到。

為了有效抑制灰度單元的產(chǎn)生，受Groenwold等[21]提出的灰度單元抑制算子的啟發(fā)，在原灰度單元抑制算子的基礎(chǔ)上，引入正值比例參數(shù)β，設(shè)計了一種新的灰度單元抑制算子，為：

式中：q為灰度抑制參數(shù)。

為了提高拓撲優(yōu)化方法的收斂速度，在綜合考慮每次迭代計算所得的結(jié)構(gòu)柔順度的基礎(chǔ)上，設(shè)計了新的參數(shù)q的更新方案，具體為：

式中：q0和Δq分別為q的初值和增量；ξ和c*分別為強度因子和結(jié)構(gòu)柔順度的臨界值。

須說明的是，通過測試發(fā)現(xiàn)，c*值設(shè)置合理與否會對優(yōu)化結(jié)構(gòu)的柔順度、拓撲構(gòu)型及拓撲優(yōu)化方法的收斂速度產(chǎn)生較大影響。

根據(jù)式（7）和式（9），基于新灰度單元抑制算子的更新準則為：

1.6 評價指標

選擇結(jié)構(gòu)的柔順度c、程序循環(huán)執(zhí)行次數(shù)I和灰度單元比例指數(shù)G作為評價拓撲優(yōu)化方法的指標。其中：c用于反比表征獲取柔順度小的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的能力；I用于反比表征收斂速度或收斂性能；G用于反比表征抑制灰度單元產(chǎn)生的能力。

參考文獻[9]，可得：

式中：n*為滿足約束條件（xi＜ 0.01或xi＞ 0.99）的單元數(shù)量。

2 算例分析與討論

采用2個經(jīng)典的數(shù)值算例，分別測試改進SIMP法、基于高斯權(quán)重函數(shù)的敏度過濾法、新灰度單元抑制算子和新拓撲優(yōu)化方法對其的優(yōu)化效果，并與采用文獻[14，8]提出的拓撲優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果進行對比。設(shè)置與文獻[14，18]相同的基本參數(shù)：E0=1 MPa，Emin=1×10-9MPa，材料泊松比υ=0.3，p=3，m=0.2，η=1×10-3。采用雙線性矩形單元對結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分。另外，須特別說明的是，本文設(shè)計的拓撲優(yōu)化方法的程序是在文獻[18]所提出方法代碼的基礎(chǔ)上編寫的，本文方法與文獻[18]方法的區(qū)別在于材料插值方案、敏度過濾法和灰度單元抑制算子這幾點上。

2.1 算例1

MBB（Messerschmitt-Bolkow-Blohm）梁結(jié)構(gòu)如圖1所示。其幾何尺寸為280 mm×50 mm，頂端中部承受大小為2 N的外載荷F。對MBB梁結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，來測試采用改進SIMP法、基于高斯權(quán)重函數(shù)的敏度過濾法、新灰度單元抑制算子和新拓撲優(yōu)化方法的優(yōu)化效果。根據(jù)對稱性，采用具有1/2設(shè)計域的MBB梁為優(yōu)化對象。對梁結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分，可以得到單元總數(shù)量為140×50個的有限元模型。設(shè)置R=3.1，Vf=0.4。

圖1 MBB梁結(jié)構(gòu)Fig.1 MBB beam structure

不同SIMP法下MBB梁結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型和優(yōu)化結(jié)果分別如圖2和表1所示；在本文SIMP法下，采用不同敏度過濾法得到的結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型和優(yōu)化結(jié)果分別如圖3和表2所示；在本文SIMP法和敏度過濾法下，采用不同灰度單元抑制算子得到的結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型和優(yōu)化結(jié)果分別如圖4和表3所示；在不同拓撲優(yōu)化方法下結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型和優(yōu)化結(jié)果分別如圖5和表4所示。

圖2 不同SIMP法下MBB梁結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型Fig.2 Topological configuration of MBB beam structure under different SIMP methods

表1 不同SIMP法下MBB梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization results of MBB beam structure under different SIMP methods

圖3 不同敏度過濾法下MBB梁結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型Fig.3 Topological configuration of MBB beam structure under different sensitivity filtration methods

表2 不同敏度過濾法下MBB梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of MBB beam structure under different sensitivity filtration methods

圖4 不同灰度單元抑制算子下MBB梁結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型Fig.4 Topological configuration of MBB beam structure under different gray-scale unit suppression operators

表3 不同灰度單元抑制算子下MBB梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of MBB beam structure under different gray-scale suppression operators

圖5 不同拓撲優(yōu)化方法下MBB梁結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型Fig.5 Topology configuration of MBB beam structure under different topology optimization methods

表4 不同拓撲優(yōu)化方法下MBB梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results of MBB beam structure under different topology optimization methods

由圖2可知，采用不同SIMP法得到的MBB梁結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型存在一定差別：采用本文SIMP法所得優(yōu)化結(jié)構(gòu)在“區(qū)域A”和“區(qū)域B”處的顏色比較淺。意味著采用文獻[18]的SIMP法所得結(jié)構(gòu)在這些區(qū)域的xi值比較大。

由表1可知，相比于文獻[18]的SIMP法，采用本文SIMP法所得結(jié)構(gòu)的c和I分別減少了2.09% 和22.89% ，G增加了13.80% 。說明采用本文SIMP法可以使拓撲優(yōu)化方法的收斂速度變得更快，而且可以增強獲取柔順度小的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的能力，但也會削弱抑制灰度單元產(chǎn)生的能力。

由圖3可知，圖3（a）中“區(qū)域A”和“區(qū)域B”處的形狀不同于圖3（b），且在“區(qū)域A”處的區(qū)別更為明顯，說明使用不同的敏度過濾法會得到不同的結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型。

由表2可知，相比于文獻[18]的敏度過濾法，采用本文敏度過濾法所得的c和G分別減少了1.30% 和10.25% ，I則相同。說明采用本文的敏度過濾法可以增強獲取柔順度小的優(yōu)化結(jié)構(gòu)和抑制灰度單元產(chǎn)生的能力。

由圖4可知，采用本文灰度單元抑制算子所得優(yōu)化結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型更為清晰。

由表3可知，相比于文獻[18]的灰度單元抑制算子，采用本文灰度單元抑制算子所得的c、G和I分別減少了4.46% 、85.71% 和45.31% 。說明采用本文灰度單元抑制算子不僅可以增強獲取柔順度小的優(yōu)化結(jié)構(gòu)和抑制灰度單元產(chǎn)生的能力，而且可以提高收斂速度。

由圖5可知，采用文獻[14，18]方法所得結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型存在更多的灰度單元，而采用本文方法所得結(jié)構(gòu)的輪廓非常清晰，且從宏觀上看不到灰度單元，所得結(jié)構(gòu)比較好。

由表4可知，相比于文獻[14，18]，采用本文拓撲優(yōu)化方法所得的c分別減少了7.14% 和7.68% ，G分別減少了83.97% 和85.41% ，I分別減少了51.39% 和57.83% 。說明本文方法在收斂速度、獲取柔順度小和拓撲構(gòu)型好的優(yōu)化結(jié)構(gòu)及抑制灰度單元產(chǎn)生等方面具有明顯優(yōu)勢。

2.2 算例2

懸臂梁結(jié)構(gòu)如圖6所示。其幾何尺寸為160mm×70 mm，梁的左端被固定，右端中部承受大小為1 N的豎直向下的外載荷F。網(wǎng)格劃分后結(jié)構(gòu)的單元總數(shù)量為160×70個。設(shè)置R=3.5，Vf=0.4。采用3種拓撲優(yōu)化方法所得懸臂梁結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型和優(yōu)化結(jié)果分別如圖7和表5所示。

圖6 懸臂梁結(jié)構(gòu)Fig.6 Cantilever beam structure

圖7 不同拓撲優(yōu)化方法下懸臂梁結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型Fig.7 Topological configuration of cantilever beam structure under different topology optimization methods

表5 不同拓撲優(yōu)化方法下懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization results of cantilever beam structure under different topology optimization methods

由圖7可知，采用不同拓撲優(yōu)化方法所得結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型存在較明顯差異。相比于文獻[14，18]，采用本文方法所得結(jié)構(gòu)的輪廓更為清晰。由表5可知，采用本文方法所得的c、I和G分別為104.98 N·mm、38次和4.73% ，較文獻[14]方法分別減少了8.63% 、67.80% 和80.90% ，較文獻[18]方法分別減少了8.90% 、77.25% 和82.32% 。說明本文方法在獲取柔順度小且拓撲構(gòu)型好的優(yōu)化結(jié)構(gòu)和抑制灰度單元產(chǎn)生等方面均明顯優(yōu)于文獻[14，18]的方法，此外，收斂速度也明顯加快。

3 結(jié) 論

為了實現(xiàn)使連續(xù)體結(jié)構(gòu)的體積約束和柔順度最小的拓撲優(yōu)化及解決采用經(jīng)典變密度法引起的數(shù)值不穩(wěn)定問題，在兼顧改進拓撲優(yōu)化方法的前提下，通過引入改進的SIMP法、基于高斯權(quán)重函數(shù)的敏度過濾法和新灰度單元抑制算子，并結(jié)合優(yōu)化準則法，提出了新的拓撲優(yōu)化方法。通過優(yōu)化算例可知，新的拓撲優(yōu)化方法能夠有效解決連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化問題，具有收斂速度較快、可更好地獲取柔順度小且拓撲構(gòu)型好的優(yōu)化結(jié)構(gòu)和抑制灰度單元產(chǎn)生等優(yōu)勢。