高中數(shù)學(xué)課堂中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

謝菊連

摘 要：如何在建模思維下有效提高高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)能力，是擺在現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教師面前的一個(gè)重要問(wèn)題。將建模思維引入課堂，可以有效提高學(xué)生的思維能力，進(jìn)而通過(guò)數(shù)學(xué)思維加深學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，不斷拓展學(xué)習(xí)思維，逐漸讓學(xué)生養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。所以在建模思維下開(kāi)展高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，就需要教師從現(xiàn)階段的教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，基于符合學(xué)生學(xué)習(xí)需求的教學(xué)方法，應(yīng)用建模思維將不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行融合，然后將之展現(xiàn)在課堂環(huán)境中對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)和引導(dǎo)?；诖?，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與學(xué)科素養(yǎng)必然可以得到提升，建模思維在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用效果也會(huì)得到最大化的發(fā)揮。

關(guān)鍵詞：建模思維；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

隨著新課改的深入，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中需要將核心素養(yǎng)作為重要內(nèi)容展開(kāi)教學(xué)，建模思想是其中重要的組成部分，是一種非常重要的素養(yǎng)。教師在授課的過(guò)程中需要注重將此思想逐步滲透在教學(xué)情境中，讓學(xué)生能夠在潛移默化中具有此種能力，促進(jìn)其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有更好的發(fā)展前景，為學(xué)生全方位健康發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)[1]。這就需要教師在授課的過(guò)程中積極培育學(xué)生的建模思想，讓其能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)具備更加立體全面的理解，切實(shí)促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的全面發(fā)展[2]。本文以現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教師授課方式為研究對(duì)象展開(kāi)分析，提出了較為可行的教學(xué)方案，希望為廣大高中數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生的建模思想提供參考借鑒。

一、培養(yǎng)高中生建模思維和能力的意義

高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，在于知識(shí)點(diǎn)難度和深度加大，以及問(wèn)題的抽象化。以數(shù)學(xué)建模為核心的教學(xué)方式，能將知識(shí)點(diǎn)與現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生真正走進(jìn)課堂，成為課堂的主體，成為知識(shí)體系中最直接的參與者。在教學(xué)過(guò)程中充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的作用，可以幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的方法和規(guī)律[3]。更重要的是，我們可以通過(guò)對(duì)課堂的外延，從而培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)互助的優(yōu)秀品質(zhì)。一是追本溯源，真正掌握。數(shù)學(xué)建模的意義在于解析某種現(xiàn)象的存在性，并通過(guò)合理地演算預(yù)測(cè)事物發(fā)展的軌跡。經(jīng)過(guò)系統(tǒng)分析，利用科學(xué)知識(shí)將數(shù)學(xué)模型建立[4]?；跀?shù)學(xué)思維構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，作用于數(shù)學(xué)方法解答問(wèn)題的過(guò)程。隨著高中數(shù)學(xué)教學(xué)的演變，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要方式，同時(shí)為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)創(chuàng)造了必要的條件。二是豐富外延，有的放矢。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，借助創(chuàng)設(shè)模型解答問(wèn)題是必不可少的，因此教師不僅需要考查學(xué)生創(chuàng)設(shè)模型的合理性，解答問(wèn)題的準(zhǔn)確度，同時(shí)還要讓學(xué)生反復(fù)驗(yàn)證所得結(jié)果是否符合實(shí)際[5]。只有這樣，才能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，進(jìn)而真正掌握與之相關(guān)的概念。為此，高中數(shù)學(xué)教師在開(kāi)展教學(xué)工作的過(guò)程中，就需要立足學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為指向來(lái)優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，讓學(xué)生能夠在實(shí)際應(yīng)用中加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握。

二、培養(yǎng)高中生建模思維和能力的策略

（一）以史為鑒，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)

“興趣是最好的老師”。教師為培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的渴求，可通過(guò)解決實(shí)際的問(wèn)題，搭建一座學(xué)生與古代圣賢交流的“橋梁”。在講解“等比數(shù)列的求和”時(shí)，教師可以引入一個(gè)經(jīng)典故事：古印度時(shí)期，有個(gè)人叫西薩，這個(gè)人是國(guó)際象棋的發(fā)明者，當(dāng)時(shí)的國(guó)王對(duì)他贊賞有加，并承諾可以滿足他的一個(gè)愿望。西薩說(shuō)：“我希望能夠給我棋盤(pán)的64個(gè)方格上放上我要求的東西，第一個(gè)格子放1粒小麥，第二格放兩粒，第三格放4粒，往后的每一個(gè)格子都是前一個(gè)格子的一倍，一直到第64個(gè)格子。”國(guó)王聽(tīng)了哈哈大笑，覺(jué)得這個(gè)要求也太簡(jiǎn)單了，認(rèn)為西薩的智慧不過(guò)如此，就欣然同意了。這個(gè)時(shí)候，教師可以組織學(xué)生討論，猜想國(guó)王是否能夠滿足西薩的要求，并對(duì)自己的結(jié)論做出說(shuō)明。當(dāng)然，事實(shí)上這是一個(gè)涉及指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，每個(gè)格子的米的數(shù)量為=2，而2的63次方=9223372036854775808，數(shù)量遠(yuǎn)超當(dāng)時(shí)印度的生產(chǎn)力水平。通過(guò)故事的方式，讓學(xué)生切身體會(huì)到歷史上有趣的數(shù)學(xué)故事，不僅可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，還能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的建模思維。由此可見(jiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，能夠引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮自己的主體作用，利用自身的邏輯思維能力、抽象思維意識(shí)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力以及科學(xué)探究精神等，來(lái)構(gòu)建更加系統(tǒng)、直觀的數(shù)學(xué)模型，降低復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)的理解難度，同時(shí)為學(xué)生創(chuàng)造更廣闊的自主發(fā)揮空間，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

（二）在生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)建模的思維

在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中，隨處會(huì)遇到需要應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的實(shí)際問(wèn)題，教師可引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的方法，合理、科學(xué)地解決實(shí)際問(wèn)題，得出處理類(lèi)似問(wèn)題的最優(yōu)解。如：在“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”的教學(xué)中，問(wèn)題：某種雜志原以每本2.5元價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售量就可能減少2000本。如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn)元？經(jīng)過(guò)與學(xué)生討論分析，知道銷(xiāo)售額等于銷(xiāo)售單價(jià)乘以銷(xiāo)售數(shù)量，于是假設(shè)每本雜志的定價(jià)為元，所以銷(xiāo)售收入為[80000-（-2.5/0.1）×2000]·。在此基礎(chǔ)上，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，如何設(shè)置定價(jià)，銷(xiāo)售收入將達(dá)到最大值。另外，是否銷(xiāo)售收入最大，即為現(xiàn)實(shí)中的最優(yōu)解，是否需要考慮成本導(dǎo)致的利潤(rùn)是否達(dá)到最大值，商品市場(chǎng)保有量等系列商業(yè)問(wèn)題。借助這種方法，可以更加形象地展示生活中的具體事例，進(jìn)而讓學(xué)生更加直觀地感受到建模的概念。

（三）開(kāi)辟戶(hù)外課堂，加深建模理解

建模的概念往往讓學(xué)生覺(jué)得難以觸碰，但事實(shí)并非如此。簡(jiǎn)單來(lái)講，數(shù)學(xué)建?？梢詮V泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各類(lèi)應(yīng)用題中。它可以讓學(xué)生在應(yīng)用題中快速整理有效信息，并借此來(lái)構(gòu)建模型解決問(wèn)題。隨著素質(zhì)教育的貫徹落實(shí)，當(dāng)前我國(guó)對(duì)學(xué)生建模思維的培養(yǎng)也越發(fā)重視。如何提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思維能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，筆者就從以下幾點(diǎn)探討在高中階段開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的具體作用及其策略。作為課堂的重要補(bǔ)充，第二課堂的數(shù)學(xué)知識(shí)補(bǔ)充同樣重要。通過(guò)水庫(kù)—維泥沙模型，我們以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知[6]。二戰(zhàn)以后，全世界都在大規(guī)模修建水庫(kù)，各國(guó)水庫(kù)的增長(zhǎng)總量超過(guò)了四倍，問(wèn)題也隨之而來(lái)，水庫(kù)的運(yùn)行問(wèn)題擺在了人們面前。水庫(kù)泥沙淤積計(jì)算的方法有一維不平衡輸沙數(shù)學(xué)模型、二維和三維水動(dòng)力數(shù)學(xué)模型等。其中，一維不平衡輸沙數(shù)學(xué)模型具有計(jì)算直觀、求解的收斂性、穩(wěn)定性、相容性早已形成完善研究成果的特點(diǎn)。在對(duì)模型的初步分析和理解上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)于水庫(kù)包括淤積形態(tài)、淤積庫(kù)容、水庫(kù)調(diào)節(jié)等技術(shù)參數(shù)，對(duì)水庫(kù)的運(yùn)行具有一定的參考性，也為增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模提供一個(gè)可靠的現(xiàn)實(shí)模型。在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模的思維有著廣泛的應(yīng)用。在這個(gè)教育教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生創(chuàng)造出更豐富、更高效、更契合實(shí)際的模型背景，從而讓學(xué)生能結(jié)合自己的現(xiàn)實(shí)生活，真正建立起生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，挖掘數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，讓生活聯(lián)系數(shù)學(xué)的同時(shí)，讓數(shù)學(xué)概念更貼近生活，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味性、實(shí)用性，以此激發(fā)學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。此外，教材作為學(xué)生學(xué)習(xí)中最直接的資料，有著非常優(yōu)質(zhì)的資源等待教師挖掘與使用。作為教師，應(yīng)當(dāng)考慮如何合理、科學(xué)地使用教材，讓其發(fā)揮應(yīng)有的作用，以輔助學(xué)生建立數(shù)學(xué)建模的思維。如必修“函數(shù)的應(yīng)用”中，稅收制度在我國(guó)不斷完善，文中提及最普遍的個(gè)人所得稅模型。個(gè)人所得稅作為累進(jìn)制模型，有利于調(diào)整收入分配關(guān)系，利于社會(huì)公平的實(shí)現(xiàn)。作為函數(shù)表達(dá)的一種重要而較為復(fù)雜的模型，分段函數(shù)的學(xué)習(xí)在高中階段有著深刻而廣泛的意義，也是深入學(xué)習(xí)函數(shù)概念的重要途徑。個(gè)人所得稅累進(jìn)制分段模型為：

（四）構(gòu)建載體，滲透建模思想

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)工作的開(kāi)展可以分成兩個(gè)階段，第一是知識(shí)產(chǎn)生的階段，第二是知識(shí)應(yīng)用的階段。知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程中教師需要根據(jù)學(xué)生的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)良好的情境，將新舊知識(shí)進(jìn)行緊密聯(lián)系，讓學(xué)生在研究新知識(shí)的時(shí)候可以對(duì)其重要的信息進(jìn)行歸納和分析，并逐步構(gòu)建嶄新的學(xué)習(xí)體系。通過(guò)日常教學(xué)可以發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型建立的過(guò)程。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師卻忽略了建模相關(guān)知識(shí)和方法引導(dǎo)，許多學(xué)生很難形成數(shù)學(xué)建模意識(shí)。在當(dāng)前的教學(xué)氛圍下，為了有效地提高學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科教學(xué)目標(biāo)，教師在教學(xué)中需要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)建模有正確的認(rèn)識(shí)。鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，大膽假設(shè)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終得出結(jié)論，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程。例如：在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師可以通過(guò)教學(xué)實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)建模的過(guò)程和方法，教師給學(xué)生展示了一組某地區(qū)不同身高的成年男士的平均體重圖表，讓學(xué)生結(jié)合自己學(xué)習(xí)的知識(shí)，用自己熟知的方式選擇可以代入的函數(shù)。并且根據(jù)自己的分析，繪制出相應(yīng)的圖像，標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)，與所確定的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，之后進(jìn)行模型檢測(cè)。通過(guò)這樣的方式讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程，提高學(xué)生的思維能力，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的有效方式。數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程中，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生研究基本的知識(shí)概念，并掌握數(shù)學(xué)定理的精髓，學(xué)會(huì)推理和證明定理的核心思想，并組織學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)工作。實(shí)際上，在產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，教師需要注重幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)建模思想。針對(duì)這一教學(xué)目的，教師需要強(qiáng)化此思想的滲透力度，在此期間需要將概念、公式、定理作為教學(xué)的載體，并在實(shí)際生活中尋找到更為適合的教學(xué)元素，讓學(xué)生在研究數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候能夠?qū)⑵渑c自己的實(shí)際生活進(jìn)行緊密聯(lián)系，讓更多的數(shù)學(xué)知識(shí)可以以更為生動(dòng)形象的生活化形態(tài)展現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生在實(shí)際生活中也能積極運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的，將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象出來(lái)，運(yùn)用適合的文字語(yǔ)言對(duì)其加以展示，最終能夠建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，在解題的時(shí)候能夠具備更為明確的思路，學(xué)生在此期間也能夠意識(shí)到其實(shí)際運(yùn)用的價(jià)值。

（五）課堂練習(xí)，培育建模意識(shí)

在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際存在的問(wèn)題，這是最為重要的一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，是學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)從課本上內(nèi)化在腦海中的過(guò)程。學(xué)生在解決問(wèn)題的時(shí)候能夠?qū)λ鶎W(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以鞏固復(fù)習(xí)，并可以及時(shí)了解到自身存在的不足之處。同時(shí)，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)的問(wèn)題的時(shí)候應(yīng)該靈活使用建模思想，對(duì)數(shù)學(xué)概念或者題目的核心要點(diǎn)加以分析，并且需要貫穿課程始終。只有這樣學(xué)生才能夠依靠自己的力量獨(dú)立解決問(wèn)題，找到更為適合的解決途徑。所以，高中教師在培育學(xué)生建模意識(shí)的時(shí)候，需要將課堂練習(xí)題目作為切入要點(diǎn)，靈活改變練習(xí)形式，讓學(xué)生能夠有意識(shí)地運(yùn)用建模思想，依照建立好的數(shù)學(xué)模型尋覓問(wèn)題的答案。學(xué)生在此過(guò)程中能夠充分體會(huì)到建模思想的核心內(nèi)涵，在潛移默化中將數(shù)學(xué)知識(shí)與建模思想加以充分融合，在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中做到融會(huì)貫通。提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，推動(dòng)他們快速地成長(zhǎng)與發(fā)展。教師在應(yīng)用數(shù)學(xué)練習(xí)題的時(shí)候也應(yīng)該緊緊圍繞一個(gè)核心問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度加以分析，嘗試運(yùn)用多種思維方式解決題目，這樣能夠促進(jìn)建成多種數(shù)學(xué)模型。這樣也能夠充分鍛煉學(xué)生的靈活思維方式，讓其能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)具有更加深刻的理解。由此可見(jiàn)，教師在教學(xué)的過(guò)程中需要從課堂練習(xí)的角度入手對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，在例題的應(yīng)用、問(wèn)題的分析以及解題方法的論證過(guò)程中，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題探討與問(wèn)題解讀能力，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生邏輯思維的重點(diǎn)培養(yǎng)，以及對(duì)學(xué)生建模意識(shí)的有效引導(dǎo)，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)素養(yǎng)，以及拉動(dòng)課堂的教學(xué)效率具有重要的引導(dǎo)意義和幫助作用，同時(shí)對(duì)改變教師傳統(tǒng)的教學(xué)方式和方法也有一定的輔助效果。

結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師基于建模教學(xué)的方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)教學(xué)，能夠讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，從抽象思維面向具象思維進(jìn)行不斷轉(zhuǎn)變，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、促進(jìn)教師的教學(xué)水平，以及驅(qū)動(dòng)課堂的整體發(fā)展和建設(shè)具有重要的意義和引導(dǎo)作用。另外，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)環(huán)境中，教師還需要基于建模素材的應(yīng)用幫助學(xué)生從問(wèn)題探究的角度設(shè)計(jì)問(wèn)題的延伸思路，進(jìn)而轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)狀態(tài)與學(xué)習(xí)認(rèn)知，這對(duì)優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)以及高中數(shù)學(xué)課堂的整體發(fā)展具有重要意義。

參考文獻(xiàn)

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本文系教育部福建師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心2021年開(kāi)放課題“基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)研究”研究成果之一。項(xiàng)目編號(hào)：KCZ2021024。