不定方程x3±2 197=26y2的整數(shù)解

李改利，高 麗，戴妍百，李秀秀

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

不定方程

是一類重要的三次不定方程，關(guān)于該不定方程的整數(shù)解已有不少的研究成果［1-12］，其研究的內(nèi)容主要集中 在a = 1，2，3，4，5，6，7，10，11，15，29。1942 年，LJUNGGREN［1］證明了當(dāng)a = 2，D > 2，D無(wú)平方因子且不能被3或6k + 1型素?cái)?shù)整除時(shí)，方程（1）最多只有一組正整數(shù)解；之后趙天［2］利用唯一分解定理證明了當(dāng)a = ±1，D = 2 時(shí)，方程（1）僅有正整數(shù)解(x，y) =(1，1)，(23，78)；高麗等［3］證明了當(dāng)a = 1，D =1 043 時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =( - 1，0)；宋曉禹等［4］證明了當(dāng)a = -1，D = 749時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =(1，0)；張洪等［5］利用遞歸數(shù)列、同余式性質(zhì)以及Pell 方程解的性質(zhì)證明了當(dāng)a = 2，D = 43時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =( - 2，0)，(14，± 8)；張娟等［6］利用同余式和遞歸數(shù)列的方法分別證明了當(dāng)a = 2，D = 273 時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =( - 2，0)，(34，12)，當(dāng)a = 3，D = 182時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =( - 3，0)，(51，27)；李恒等［7］利用同余、Legendre 符號(hào)的性質(zhì)以及初等數(shù)論方法給出了當(dāng)a = ±3，D = pq 時(shí)，方程（1）的整數(shù)解；李雙娥［8］證明了當(dāng)a = -3，D = 26 時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =(3，0)；鄭愛琳［9］證明了當(dāng)a = ±4，D = 73時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =(4，0)；杜先存等［10］給出了當(dāng)a = ±5，D = 6q 時(shí)，方程（1）的整數(shù)解；張洪［11］證明了當(dāng)a = -7，D = 1 時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =(7，0)，(8，± 13)，(14，± 49)，(28，± 147)，( 1 54，± 1 911) ，當(dāng)a = 7，D = 1 時(shí)，方程（1）僅有整數(shù)解(x，y) =( - 7，0)，(21，± 98)；高麗等［12］給出了當(dāng)a=11，D=2pq，即為奇素?cái)?shù)且p ≡13(mod 24)，q ≡19( )mod 24 時(shí)，方程（1）的整數(shù)解。當(dāng)a = 13 時(shí)，方程（1）的整數(shù)解仍未得到解決。

本文在閱讀相關(guān)文獻(xiàn)［1-12］的基礎(chǔ)上，利用同余式性質(zhì)等初等數(shù)論的方法，證明了當(dāng)a = 13，D = 26時(shí)，不定方程x3+ 2 197 = 26y2僅有正整數(shù)解(x，y) =(13，13)，(299，1 014)，不定方程x3- 2 197 = 26y2僅有整數(shù)解(x，y) =(13，0)。

1 相關(guān)引理

引理1［13］不定方程

僅有正整數(shù)解(x，y) =(1，1)，(23，78)。

不定方程

僅有整數(shù)解(x，y) =(1，0)。

2 主要結(jié)果

逐一驗(yàn)證可得(2x + 13)2- 13(2b)2=-507都無(wú)整數(shù)解。因此該種情形下無(wú)滿足不定方程x3+ 2 197 =26y2的整數(shù)解。得證。

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用同余式性質(zhì)等初等數(shù)論的方法，證明了不定方程x3+ 2 197 = 26y2僅有正整數(shù)解(x，y) =(13，13)，(299，1 014)，不定方程x3- 2 197 = 26y2僅有整數(shù)解(x，y) =(13，0)。

對(duì)于不定方程x3± a3= Dy2尚未得到其一般解法，今后可以繼續(xù)對(duì)a = 13時(shí)方程x3± a3= Dy2的整數(shù)解進(jìn)行研究，找到D 符合不同取值情況時(shí)方程的整數(shù)解，即利用不同的解決辦法得到其一般解法。