獨立的實正態(tài)過程線性組合之均方積分的正態(tài)性

呂 芳

(洛陽師范學院 數(shù)學科學學院，河南 洛陽 471934)

1 基本概念

定義1[1]設(shè){X(t),t∈T}是一個隨機過程，如果對于每一個t∈T，都有E|X(t)|2<∞ ,則稱{X(t),t∈T}為二階矩過程.

定義2[2,.3]設(shè){X(t),t∈T}是一個隨機過程，如果對于任意n≥1和任意t1,t2,…,tn∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n維正態(tài)隨機向量，則稱{X(t),t∈T}為正態(tài)過程或高斯過程.

將概率空間(Ω,F,P)上具有二階矩的隨機變量的全體記為H.

2 相關(guān)定理

定理1[2]若二階矩過程{f(t,u)X(t),t∈[a,b]}，{g(t,u)Y(t),t∈[a,b]}在[a,b]上都均方可積，則對于任意的常數(shù)α,β(不全為零)，{αf(t,u)X(t)+βg(t,u)Y(t),t∈[a,b]}在[a,b]上也均方可積，且

引理2[7]設(shè)m維隨機向量X=(X1,X2,…,Xm)～N(μ,B)，若n維隨機向量Y是X的線性變換，即Y=XC，其中C是m×n階矩陣，則Y服從n維正態(tài)分布N(μC,CTBC).

引理3[5]設(shè){X(t),t∈T}為正態(tài)過程，均值函數(shù)為mX(t),協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t),則{X(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù)為

ri∈R,ti∈T,i=1,2,…n,n∈N.

定理4設(shè){X1(t),t∈T}，{X2(t),t∈T}，…，{Xm(t),t∈T}為m個相互獨立的實正態(tài)過程，記第i(1≤i≤m)個實正態(tài)過程{Xi(t),t∈T}的均值函數(shù)為mXi(t)，協(xié)方差函數(shù)為CXi(s,t),令Z(t)=a1X1(t)+a2X2(t)+…+amXm(t),t∈T，其中a1,a2,…,am是不全為零的實常數(shù)，則{Z(t),t∈T}仍為實正態(tài)過程，其任意有限維特征函數(shù)為

其中ri∈R,ti∈T,i=1,2,…n,n∈N,j2=-1.

證明 1)由于{X1(t),t∈T}，{X2(t),t∈T}，…，{Xm(t),t∈T}均為實正態(tài)過程且相互獨立，所以?n≥1，?t1,t2,…,tn∈T，隨機向量

(X1(t1),X1(t2),…,X1(tn))

(X2(t1),X2(t2),…,X2(tn))

?

(Xm(t1),Xm(t2),…,Xm(tn))

均服從n維正態(tài)分布且這m個向量相互獨立，由引理1知隨機向量

(X1(t1),X1(t2),…,X1(tn),X2(t1),X2(t2),…,X2(tn),…,Xm(t1),Xm(t2),…,Xm(tn))

服從n×m維正態(tài)分布，即隨機向量

(X1(t1),X2(t1),…,Xm(t1),X1(t2),X2(t2),…,Xm(t2),…,X1(tn),X2(tn),…,Xm(tn))

服從n×m維正態(tài)分布.

(Z(t1),…,Z(tn))=

(a1X1(t1)+a2X2(t1)+…+amXm(t1),…,a1X1(tn)+a2X2(tn)+…+amXm(tn))=

(X1(t1),X2(t1),…,Xm(t1),X1(t2),X2(t2),…,Xm(t2),…,X1(tn),X2(tn),…,Xm(tn))×

由引理2知隨機向量(Z(t1),…,Z(tn))服從n維正態(tài)分布，故隨機過程{Z(t),t∈T}為實正態(tài)過程.

2)下面計算實正態(tài)過程{Z(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù).

{Z(t),t∈T}的均值函數(shù)為

mZ(t)=E(Z(t))=E(a1X1(t)+a2X2(t)+…+amXm(t))=

a1E(X1(t))+a2E(X2(t))+…+amE(Xm(t))=

a1mX1(t)+a2mX2(t)+…+ammXm(t),t∈T

{Z(t),t∈T}的相關(guān)函數(shù)為

RZ(s,t)=E(Z(s)Z(t))=

E[(a1X1(s)+a2X2(s)+…+amXm(s))(a1X1(t)+a2X2(t)+…+amXm(t))]=

{Z(t),t∈T}的協(xié)方差函數(shù)為

CZ(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t)=

ammXm(s))(a1mX1(t)+a2mX2(t)+…+ammXm(t))]=

由引理3知實正態(tài)過程{Z(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù)為

其中ri∈R,ti∈T,i=1,2,…n,n∈N,j2=-1.

3 主要結(jié)論

定理5設(shè){X1(t),t∈[a,b]}，{X2(t),t∈[a,b]}，…，X{Xm(t),t∈[a,b]}是m個相互獨立的實正態(tài)過程，記第i(1≤i≤m)個實正態(tài)過程{Xi(t),t∈T}的均值函數(shù)為mXi(t)，協(xié)方差函數(shù)為CXi(s,t),設(shè)f1(t,u)，f2(t,u)，…，fm(t,u)是m個[a,b]×U上的普通實函數(shù)，

{f1(t,u)X1(t),t∈[a,b]}，{f2(t,u)X2(t),t∈[a,b]}，…，{fm(t,u)Xm(t),t∈[a,b]}在[a,b]上都均方可積，令

其中α1,α2,…,αm是不全為零的實常數(shù)，則{H(u),u∈U}為實正態(tài)過程，其任意有限維特征函數(shù)為

其中ri∈R,ui∈U,i=1,2,…n,n∈N,j2=-1.

證明 由定理1知

由定理2知

其中ri∈R,ui∈U,i=1,2,…n,n∈N,j2=-1.

定理得證.