不確定序列幾乎必然收斂的幾個(gè)性質(zhì)

孫秀花

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030600)

不確定測度[1-4]、不確定變量[5]、不確定分布[6]是不確定理論中三個(gè)基本的概念，收斂性是不確定變量序列(簡稱不確定序列)的性質(zhì)之一，幾乎必然收斂是Liu[1]2007年提出的，本文主要研究了不確定序列幾乎必然收斂的幾個(gè)性質(zhì)，這些性質(zhì)對不確定序列的幾乎一致必然收斂[7-8]、依測度收斂[9]及依度量收斂[10]的性質(zhì)研究具有一定的意義.

1 預(yù)備知識

定義1.1[1]設(shè)Γ為一個(gè)非空集合，L是Γ上的σ-代數(shù).L中的每一個(gè)元素稱為一個(gè)事件.如果集函數(shù)M:L→R滿足：

(ⅰ)(正規(guī)性)M(Γ)=1；

(ⅱ)(單調(diào)性)若A1?A2，則M(A1)≤M(A2)；

(ⅲ)(自對偶性)M(A)+M(Ac)=1，?A∈L；

則稱M為不確定測度，(Γ，L，M)為不確定測度空間.

定理1.1[1]對于任意的事件Λ，有M()=0和0≤M(Λ)≤1.

定理1.2[10]假設(shè)事件Λ1,Λ2，滿足M(Λi)=1,i=1,2那么M(Λ1∩Λ2)=1.

定義1.2[1]從不確定測度空間(Γ，L，M)到實(shí)數(shù)集的實(shí)值可測函數(shù)稱為不確定變量.

定義1.4設(shè)ξ,η是定義在不確定測度空間(Γ，L，M)上的不確定變量，

(ⅰ)稱ξ與η幾乎處處相等，如果M{x∈Γ|ξ(x)≠η(x)}=0，記作ξ～η或ξ=η，a.e.；

(ⅱ)稱ξ(x)小于等于η(x)，如果對?x∈Γ,有ξ(x)≤η(x)，記作ξ≤η.

定理1.3[1]設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是不確定變量，函數(shù)f:n→是可測的實(shí)值函數(shù)，則ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)是不確定變量.

2 不確定序列幾乎必然收斂的性質(zhì)

以下定理中的{ξn},{ηn}是不確定測度空間(Γ，L，M)上的不確定序列，ξ,η是(Γ，L，M)上的不確定變量.

ξn(x)→ξ(x)(n→∞),

(1)

ξn(x)→η(x)(n→∞),

(2)

令C=A∩B，則由定理1.2得M(C)=1，在C上，式(1)和式(2)同時(shí)成立，根據(jù)極限的唯一性得，

ξ(x)=η(x)，?x∈C.

所以

{ξ(x)≠η(x)}?Cc，

根據(jù)不確定測度的單調(diào)性和自對偶性有

M{ξ(x)≠η(x)}≤M(Cc)=1-M(C)=0

再由測度的非負(fù)性知M{ξ(x)≠η(x)}=0，即ξ=η，a.e.

ξn(x)→ξ(x)(n→∞),

ηn(x)→η(x)(n→∞),

令C=A∩B，則M(C)=1,則在C上有，

ξn(x)+ηn(x)→ξ(x)+η(x)(n→∞)

證明 當(dāng)α=0時(shí)，顯然成立；

結(jié)合定理2.2和定理2.3可得下面推論：

證明 應(yīng)用公式

由定理2.3和推論2.1易知結(jié)論成立.

證明 因?yàn)閒(x)為上的連續(xù)函數(shù)，所以f(x)為可測函數(shù)，又ξn和ξ為不確定變量，由定理1.3 知對任意的ξn和ξ，f(ξn)和f(ξ)也為不確定變量.若(n→∞)，則存在集合A且M(A)=1,在A上，ξn(x)→ξ(x)(n→∞),又f(x)為上的連續(xù)函數(shù)，知f(x)在A上也連續(xù)，所以f(ξn(x))→f(ξ(x))(n→∞),即(n→∞).

M{ξ(x)<0}≤M(Ac)=1-M(A)=0

再由不確定測度的非負(fù)性，知M{ξ(x)<0}=0.即ξ≥0，a.e.

3 不確定序列幾乎必然收斂的判定方法

定理3.1設(shè)ξ，ξ1,ξ2,…,ξn是定義在不確定測度空間(Γ，L，M)上的不確定變量，則

所以在A上也有

ξ2n(x)→ξ(x),ξ2n+1(x)→ξ(x)(n→∞)，