Hermitian unital中的兩個無限2-設(shè)計族

李榮榮，詹小秦

(華東交通大學(xué)理學(xué)院， 江西 南昌 330013)

0 引言

2-(v,k,λ)設(shè)計D是一個關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)(P,E),其中P是v個元素的點集,E是b個P中的k-元子集構(gòu)成的區(qū)組集合,滿足任意兩個不同的點恰好與λ個區(qū)組關(guān)聯(lián)(此時的關(guān)聯(lián)關(guān)系為包含關(guān)系).設(shè)r為與給定點關(guān)聯(lián)的區(qū)組數(shù).若b=v(或由引理1.1等價地有r=k),則稱設(shè)計D為對稱設(shè)計.否則,稱之為非對稱設(shè)計.n階unital是一個2-(n3+1,n+1,1)設(shè)計.當(dāng)n=q(素數(shù)冪)時,此設(shè)計就是Hermitian unital,記為UH(q).正整數(shù)v,b,r,k,λ稱為設(shè)計的參數(shù).若設(shè)計的參數(shù)滿足2

D的一個自同構(gòu)是P上的一個置換,并誘導(dǎo)出E的置換.D的全體自同構(gòu)構(gòu)成了D的全自同構(gòu)群,記作Aut(D),并稱Aut(D)的子群為D的自同構(gòu)群.取G≤Aut(D),如果G作用在P的點集上是本原的,則稱設(shè)計D=(P,E)為點本原的,如果G在設(shè)計D的旗(或區(qū)組)上傳遞,則稱設(shè)計D是旗(區(qū))傳遞的,其中D的旗為任意一個點區(qū)對(α,B)且α∈B.

設(shè)計理論的一個主要問題是對給定參數(shù)或給定自同構(gòu)群的設(shè)計進(jìn)行結(jié)構(gòu)分類.1985年, Kantor[1]使用有限2-傳遞置換群的分類確定了所有的(G,S),其中G是作用在線性空間S(2-(v,k,1)設(shè)計)上的一個2-傳遞群.注意,此時G是區(qū)傳遞的.這一結(jié)果被Delandsheer等[2]推廣到了G2-齊次作用在S的點集上的情形. F.Buekenhout等[3]在1990年對旗傳遞線性空間進(jìn)行了分類,結(jié)果如下.

定理0.1[3]設(shè)D=(P,E)是一個2-(v,k,1)設(shè)計,且G≤Aut(D)旗傳遞作用在D上.則下列情形之一成立:

a.若G是2-齊次但非2-傳遞的,則v=pn,p≡3 (mod 4),其中p是素數(shù),n是奇數(shù).則下列情形之一成立:

1)D是GF(pn)子域上的仿射空間；

2)D是Netto系,k=3,pn≡7 (mod 12).

b. 若G是2-傳遞的,則下列情形之一成立:

1)D=PG(d,q)是GF(q)上的d-維射影空間,且PSL(d+1,q)≤G≤PΓL(d+1,q),或(d,q)=(3,2)且G=A7;

2)D=AG(d,q)是GF(q)上的仿射空間,d≥2且G是AΓL(d+1,q)的2-傳遞子群;

3)D是Hermitian unital;

4)D是Ree unital;

5)D是兩個非Desargusian仿射平面,k=27或k=9;

c.D是Witt-Bose-Shrikhande空間;

d.D是非Desarguesian Luneburg仿射平面,其階數(shù)為k=22e+1;

e.G≤AΓL(1,v),v為素數(shù)冪.

另一方面,對λ>1的旗傳遞2-設(shè)計似乎很難實現(xiàn)其完全分類.目前為止,也僅得到了部分結(jié)果.如,Regueiro[4-7]給出了除一維仿射群外的旗傳遞和點本原雙平面(λ=2的對稱設(shè)計)的分類.

定理0.2[4-7]如果D=(P,E)是具有旗傳遞點本原自同構(gòu)群G的非平凡雙平面,則下列情形之一成立:

a.D是2-(16,6,2)設(shè)計;

b.D是2-(7,4,2)設(shè)計;

c.D是2-(11,5,2)設(shè)計;

d.G≤AΓL(1,q),q是奇素數(shù)冪.

以下為董會莉[8]對旗傳遞三平面(λ=3的對稱設(shè)計)的分類結(jié)果.

定理0.3[8]如果D=(P,E)是具有旗傳遞點本原自同構(gòu)群G的非平凡三平面,則下列情形之一成立:

a.D是2-(45,12,3)設(shè)計;

b.D是2-(11,6,3)設(shè)計;

c.D是2-(15,7,3)設(shè)計;

d.G≤AΓL(1,q),其中q(q≥5)是素數(shù)p的方冪.

此外，Alavi在文獻(xiàn)[9-10]中研究了對稱設(shè)計在其他類型下的分類,并在文獻(xiàn)[11]中得到如下結(jié)果:

定理0.4[11]設(shè)D是滿足gcd(r,λ)=1的非平凡2-設(shè)計，假設(shè)G是D上的旗傳遞群，其中D的基柱為PSU(n,q)且(n,q)≠(3,2).那么n=2或者n=3.

a.若n=2,則此時D是一個Witt-Bose-Shrikhande空間,或者D是一個有參數(shù)的設(shè)計(v,k,λ)=(6,3,2),(7,3,1),(8,4,3),(10,6,5),(11,5,2),(28,7,2);

b.若n=3,則D是一個Hermitian unital,即2-(q3+1,q+1,1)設(shè)計.

2021年Zhan-Ding[12]發(fā)現(xiàn)了以上結(jié)論忽略了當(dāng)λ>1時的情形,并給出了新的證明,得到結(jié)果如下:

定理0.5[12]設(shè)D是一個非平凡的2-(q3+1,k,λ)設(shè)計,且gcd(r,λ)=1.假設(shè)G是D的旗傳遞群,其中D的基柱是X=PSU(3,q),q>2.如果λ>1，則D是一個2-(q3+1,q,q-1)設(shè)計.

如果D是一個滿足gcd(r,λ)=1的2-(v,k,λ)設(shè)計,由Dembowski[13]的結(jié)論知,此時任意D上的旗傳遞自同構(gòu)群G是點本原的,并且在1988年,Zieschang[14]證明了此時G的基柱T是下列情形之一:

a)T是初等交換群;

b)T是非交換單群.

Biliotti[15]處理了a)的情況,但并沒有給出非對稱的情形.對于b)的情況,王亞杰[16]和Zhu-Guan-Zhou[17]給出了T是交替群An(n≥5)時的分類結(jié)果.另外,Zhan-Zhou[18]還研究了T是散在單群和二維特殊射影線性群時的分類結(jié)果.Alavi還研究了例外李型單群[19]的情形以及其他情況[20]下的分類.

以上研究結(jié)果表明,對旗傳遞2-設(shè)計的分類還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有結(jié)束.本研究的主要目的是構(gòu)造Hermitian unital中兩個以PSU(3,q)作為旗傳遞自同構(gòu)群的無限2-設(shè)計族，對旗傳遞2-設(shè)計分類的研究具有很重要的參考意義.

1 符號及引理

本節(jié)給出后續(xù)要用到的關(guān)于設(shè)計理論和群論的一些重要結(jié)果.

引理1.1[13,p57,2.1.5]2-設(shè)計D的參數(shù)v,b,r,k,λ滿足以下條件:

1)vr=bk;

2)λ(v-1)=r(k-1).

設(shè)G作用在P上是2-齊次的.選擇P的子集B,并定義一個關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)(P，E),其中E={Bg|g∈G},對任意的α∈P,g∈G有α與Bg關(guān)聯(lián),當(dāng)且僅當(dāng)α∈Bg.設(shè)D=(P,E),則下列引理成立.

引理1.2[13,p93]關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)D是一個區(qū)傳遞2-設(shè)計,其參數(shù)為

v=|P|,k=|B|,b=[G:GB],

且r,λ由引理1.1確定.

引理1.3[13,1.2(16)]設(shè)G是2-設(shè)計D=(P，E)的一個自同構(gòu)群.則G旗傳遞作用于D當(dāng)且僅當(dāng)G是區(qū)傳遞的且對任意的B∈E,群GB在B的點集上傳遞.

本文中接下來的部分均假設(shè)G=PSU(3，q)(q>2)為三維特殊射影酉群,UH(q)是一個Hermitian unital,且P是UH(q)的點集.因此|P|=q3+1.

2 UH(q)中的兩個2-設(shè)計族

群G2-傳遞作用在P上,如果α,β是P中任兩個不同的點,則這兩點的穩(wěn)定子群Gαβ有唯一一個長為q-1的軌道Δ.設(shè)B=Δ∪{β},L=Δ∪{α,β},顯然,L是UH(q)中過點α和β的區(qū)組.

2.1 旗傳遞2-(q3+1,q,q-1)設(shè)計

命題2.1區(qū)穩(wěn)定子群GL在區(qū)組L的點集上是2-傳遞的,且有GαL=GB.

命題2.1的證明顯然,GαL≤GB.由于UH(q)中存在唯一的區(qū)組經(jīng)過兩個給定點,而B?L,且|B|≥3從而有GB≤GL,又因為任取g∈GB,有Bg=B,而αg=(L-B)g=Lg-Bg=L-B=α.故有GB≤Gα∩GL=GαL,從而GαL=GB.顯然,由Gαβ

定理2.1設(shè)E1=BG,則關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)D1=(P，E1)是一個2-(q3+1,q,q-1)設(shè)計,且G為D1的旗傳遞自同構(gòu)群.

故D1是一個2-(q3+1,q,q-1)設(shè)計.命題2.1說明GL在L的點集上是2-傳遞的,因此GB=GαL在B=L{α}的點集上是傳遞的,故由引理1.3知G是D1上的旗傳遞自同構(gòu)群.

此結(jié)果與文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果是一致的，但兩者之間在研究方法上是完全不同的，而且研究目標(biāo)也不一樣.

設(shè)G{α,β}表示G中點集{α,β}的集型穩(wěn)定子群.則我們有如下結(jié)果.

命題2.2GΔ=G{α,β}.

接下來,證明G{α,β}≤GΔ.由于L是UH(q)的一個區(qū)組,Δ?L得出GΔ≤GL.任取g∈GΔ,

{α,β}g=(L-Δ)g=Lg-Δg=L-Δ={α,β},

即g∈G{α,β},GΔ≤G{α,β}.

綜上可得GΔ=G{α,β}.

3 結(jié)論

本研究從有限單群的結(jié)構(gòu)出發(fā)，證明了Hermitian unital 中以3維特殊射影酉群PSU(3，q)作為旗傳遞自同構(gòu)群的兩個無限2-設(shè)計族的存在性,即下列兩個設(shè)計：

1)2-(q3+1,q,q-1)設(shè)計;

本研究為旗傳遞2-設(shè)計提供了一種新的分類方法, 因此具有較大的參考意義.