WOD樣本下VaR核估計的強相合性及Bahadur表示

王巍，朱勇，吳青青，吳燚

(池州學院大數據與人工智能學院，安徽 池州 247000)

0 引言

vp=inf{u:F(u)≥p},

其衡量了某段持有期資產價值損失的單邊臨界值.

VaR的早期估計主要是基于回報分布的參數估計，例如高斯分布或t分布，參數化模型在解釋上具有優(yōu)勢，但實踐中分布往往是未知的，導致計算VaR時常因模型設定錯誤而出錯.近年來，一些學者提出了VaR的非參數估計量，非參數估計量不再受分布約束且能夠自動求解收益的厚尾分布，也弱化了回報過程的動態(tài)性假定. Dowd[1]研究了基于樣本分位數的VaR非參數估計，通過模擬發(fā)現，樣本量越大，VaR估計精度越高. Berkowitz-Brien[2]和Inui-Kijima -Kitano[3]研究發(fā)現當投資組合具有厚尾分布特征時，基于樣本分位數的VaR非參數估計具有較大的正偏差. Chen-Tang[4]提出了基于核分位數估計的VaR非參數估計，對相依條件下的金融回報率序列進行了分析. 此外，一些學者對α-混合、NA、NOD等序列樣本的VaR非參數估計進行了研究[5-12].

WOD隨機變量序列的概念是由Wang-Wang-Gao[14]2013年提出的. WOD是一類更具有普遍性、更弱的相依結構.

定義1[14]稱{Xn,n≥1}為上寬象限相依隨機變量序列(WUOD)，若存在有限的實數序列{gU(n),n≥1},使得對每個n≥1，xi∈(-∞,+∞),1≤i≤n都有

(1)

稱{Xn,n≥1}為下寬象限相依隨機變量序列(WLOD)，若存在有限的實數序列{gL(n),n≥1}，使得對每個n≥1，xi∈(-∞,+∞),1≤i≤n都有

(2)

若{Xn,n≥1}既是WUOD隨機變量序列，又是WLOD隨機變量序列，則稱{Xn,n≥1}為WOD隨機變量序列，其控制系數記為g(n)=max{gU(n),gL(n)}.顯然，由gU(n)≥1與gL(n)≥1可知g(n)≥1,n≥1.

之后，一些學者研究了WOD序列，取得了一些有意義的結論[15-17]. 通過調整控制系數g(n)可知，WOD結構包含了其他相依結構. 當gU(n)=gL(n)=M，M是一個正數，式(1)和(2)同時成立，則稱隨機變量為END的；當gU(n)=gL(n)=1，式(1)和(2)同時成立，則稱隨機變量為NOD的. Joag-Proschan[18]指出NA隨機變量是NOD的. Hu[19]引入了NSD的概念并指出NSD包含NOD. 可見，WOD結構包含了獨立隨機變量序列、NA、NSD、NOD及END序列. 因此，研究WOD樣本下的VaR核估計量具有重要意義.本研究利用WOD序列的性質及其指數不等式研究了VaR核估計量的性質，同時給出了VaR核估計的收斂速率和Bahadur表示，推廣和改進了Chen-Tang[4]、Wei-Yang-Yu[5]以及Yang等[20]相關文獻的研究結果.

1 主要結果及證明

為了獲得本文中的主要結果，需要首先給出幾個引理.

引理1[14]設序列{Xn,n≥1}是WLOD(WUOD)變量，如果{fn(·),n≥1}均為非降函數，則隨機變量{fn(Xn),n≥1}也是WUOD(WLOD)變量；如果{fn(·),n≥1}均為非增函數，則隨機變量{fn(Xn),n≥1}也是WUOD(WLOD)變量.

引理2[20]設{Xn,n≥1}是WOD隨機變量，控制系數g(n)=max{gU(n),gL(n)}，EXi=0，對于每個i≥1,|Xi|≤b，b為正數，對于任意0

其中，K=b2/2(1-C).

引理3[21]設F(X)為右連續(xù)的分布函數，則其反函數F-1(t)是非降且左連續(xù)的，當且僅當x≥F-1(t)時，F(x)≥t.

下面將給出本文中的主要結果及其證明.

定理1設00，f′(x)在vp鄰域內有界，則存在正常數λ，使得當n充分大時，以概率1有

A=P(|vp,h-vp|>εn)

=P(vp,h>vp+εn)+P(vp,h

=P(p-F(vp+εn)>Fn,h(vp+εn)-F(vp+εn))

+P(p-F(vp-εn)>Fn,h(vp-εn)-F(vp-εn)).

由F(x)在vp處連續(xù)且F′(vp)=f(vp)>0，將F(vp±εn)在vp處泰勒展開可以得到

A=P(Fn,h(vp+εn)-F(vp+εn)<-f(vp+θ1εn)εn)

+P(Fn,h(vp-εn)-F(vp-εn)>f(vp-θ2εn)εn)

≤P(|Fn,h(vp+εn)-F(vp+εn)|>c1εn)+P(|Fn,h(vp-εn)-F(vp-εn)|>c1εn)

其中，θ1,θ2∈(0,1)，c1=infx∈[vp-εn,vp+εn]f(x)>0，因此，當n充分大時，有

(3)

P(|Fn,h(vp+εn)-F(vp+εn)|>c1εn)

其中，K1=2/(1-C).

(4)

令λ=4K，由式(4)可得

由Borel-Cantelli引理可知，|vp,h-vp|≤εn以概率1成立，從而定理得證.

Fn(x)-F(x)-Fn(vp)+p≤Fn(mk+1,n)-F(mk+1,n)-Fn(vp)+p≤δk+1,n+Tεn

(5)

及

Fn(x)-F(x)-Fn(vp)+p≥Fn(mk,n)-F(mk,n)-Fn(vp)+p≥δk+1,n-Tεn

(6)

由式(5)和(6)可得

(7)

對于任意給定k，易知

(8)

(9)

其中，K1=2/(1-C2).

類似可得，當n充分大時，有

(10)

令C1=17K1，結合式(8)～(10)可得，當n充分大時，

定理3假定定理2條件成立，那么存在常數C2，使得當n充分大時，以概率1有

dk,n-Tεn≤Fn(x)-F(x)≤dk+1,n+Tεn

進一步可得

(11)

P(|dk,n|>εn)=P(|Fn(vp+kεn)-F(vp+kεn)|>εn)

其中，K2=2/(1-C3).

定理4的證明首先由定理1和定理2可得

(12)

再結合定理3和Taylor定理，可以得到

|Fn(vp)-p|≤|Fn(vp,h)-F(vp,h)|+|F(vp,h)-F(vp)|≤

(13)

另外，通過泰勒展開并結合式(12)、(13)可知，

其中，ωn為一介于vp,h和vp間的隨機變量. 由以上等式可得

從而定理4得證.

注1Chen-Tang[4]以及Wei -Yang -Yu[5]在α混合樣本下分別研究了VaR核估計和線性核分位數估計，筆者研究WOD樣本的VaR核估計，研究結果推廣了Chen-Tang以及Wei-Yang -Yu的相應內容.

注2與Yang等[20]比較，本文中在研究WOD樣本下VaR核估計時，獲得了與Yang等相似的收斂速率，而當核函數G(x)=I(x≥0)時，結果退化成Yang等[20]的形式，可見，此結果更具有一般性.

2 數值模擬分析

為了進一步驗證本文中所得的理論結果，下面將運用R軟件進行數值模擬.模擬將分別考慮獨立樣本和相依樣本兩種情況，將VaR核估計和樣本分位數估計進行對比，比較二者同實際值的絕對偏差大小.概率水平p=0.05，樣本量n依次為100，200和300，實驗重復500次，核函數采用高斯核.獨立樣本產生于標準正態(tài)分布，相依樣本根據Liu[22]的例4.1得到，其中Xi～χ2(3)，易知其為WOD樣本.

模擬分析結果如表1所示，通過模擬分析可以看出,不論是獨立樣本還是相依樣本， VaR核估計和樣本分位數估計的平均偏差均隨著樣本增大而減小，前者在各樣本量上的偏差均要顯著小于后者.此外，對比獨立樣本和相依樣本發(fā)現，VaR核估計的優(yōu)勢在相依樣本上表現突出.

表1 VaR估計平均偏差