一類熱彈性板解的空間性質(zhì)

石金誠(chéng)

（廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300）

0 引言

Saint‐Venant 原則是應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)領(lǐng)域中重要的研究?jī)?nèi)容，早期的Saint‐Venant 原則的研究主要集中在對(duì)解的空間性態(tài)，并得到了當(dāng)空間變量趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，解是衰減的，但在研究解的空間衰減估計(jì)時(shí)，往往需要添加一個(gè)解在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零的限制。近年來(lái)，許多學(xué)者開始研究解的Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果，而研究解的Phragmén‐Lindel?f 二擇一時(shí)不需要對(duì)解在無(wú)窮遠(yuǎn)處添加限制條件。經(jīng)典的Phragmén‐Lindel?f 定理指出：調(diào)和方程的解從圓柱面有限的一端到無(wú)窮遠(yuǎn)處必須隨距離呈指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減。Payne 和Schaefer［1］將調(diào)和方程解的Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果推廣到了雙調(diào)和方程上，得到雙調(diào)和方程在三個(gè)不同區(qū)域的Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果。文獻(xiàn)［2-5］利用各種方法研究了雙調(diào)和方程的空間性態(tài)。特別地，對(duì)于與時(shí)間相關(guān)的雙調(diào)和方程解的性態(tài)研究可見Liu 和Lin［6］，他們采用二階微分不等式的方法得到與時(shí)間相關(guān)的Stokes 方程的Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果。上述文獻(xiàn)所考慮的均是單個(gè)方程，由于雙調(diào)和方程研究的難度較大，導(dǎo)致研究雙調(diào)和方程組的文獻(xiàn)較少。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)也有一些學(xué)者開始進(jìn)行解的Saint‐Venant 原則或Phragmén‐Lindel?f 二擇一研究，文獻(xiàn)［7-13］研究了各種熱方程，得到一些拋物方程解的空間性質(zhì)。本文嘗試研究雙曲拋物耦合方程組的Phragmén‐Lindel?f 二擇一性質(zhì)，由于方程組中兩個(gè)方程的性態(tài)不同，從而導(dǎo)致構(gòu)造解的函數(shù)表達(dá)式的難度加大。

本文所考慮的區(qū)域定義為

其中h是一給定的正常數(shù)。本文引入以下記號(hào)

文獻(xiàn)［14］研究了著名的α‐β模型，通過傅里葉變換的方法，得到一些解的時(shí)間性態(tài)結(jié)果。本文考慮的是的方程組［14］

其中：u表示板的垂直擾度，v表示溫度差，?表示Laplace 算子，?2表示雙調(diào)和算子。上述模型可以用來(lái)描述由彈性膜和彈性板構(gòu)成的演化過程。

初邊值條件為

gi(x2，t)，i=1，2，3 是給定函數(shù)并滿足相容性條件

本文試圖建立雙調(diào)和方程組（1）（2）的解在條件（3）（4）下的Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果。首先定義一個(gè)解的函數(shù)表達(dá)式，然后推導(dǎo)出解的函數(shù)表達(dá)式所滿足的一階微分不等式，最后通過求解該不等式得到解的Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果。由于此時(shí)方程組是雙曲拋物耦合系統(tǒng)，如何定義恰當(dāng)?shù)慕獾暮瘮?shù)表達(dá)式是本文創(chuàng)新點(diǎn)，如何控制解的函數(shù)表達(dá)式是本文的難點(diǎn)。對(duì)于雙曲拋物耦合的雙調(diào)和方程組解的空間性態(tài)研究，目前研究較少。文中采取以下符號(hào)約定：用逗號(hào)表示求偏導(dǎo)，用，i表示對(duì)xi求偏導(dǎo)（i=1，2），v，i表示為；重復(fù)的希臘字母α，β表示1 至2 求和，如：

1 解的函數(shù)表達(dá)式φ(z，t )

為了得到Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果，需要定義一個(gè)解的函數(shù)表達(dá)式。該表達(dá)式對(duì)于得到結(jié)果具有重要作用。

首先在式（1）兩邊同時(shí)乘以exp( -ωt)u，t并積分，可得

定義函數(shù)φ1(z，t) 為

聯(lián)合式（5）和（6），可得

在式（2）兩邊同時(shí)乘以exp( -ωt)v并積分，可得

定義函數(shù)φ2(z，t) 為

聯(lián)合式（8）和（9），可得

在式（1）兩邊同時(shí)乘以exp( -ωt)u，11并積分，可得

定義函數(shù)φ3(z，t) 為

聯(lián)合式（11）和（12），可得

定義新的函數(shù)表達(dá)式φ(z，t) 為

其中k1為后面定義的大于零的常數(shù)。

2 Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果

首先通過φ(z，t) 的性質(zhì)得到一個(gè)微分不等式，然后求解該微分不等式，最后結(jié)合φ(z，t) 與E(z，t)，F(xiàn)(z，t) 的性質(zhì)得到解的Phragmén‐Lindel?f 二擇一結(jié)果。

聯(lián)合式（7）、（10）、（13）和（14），可得

同理，可得

聯(lián)合式（6）、（9）、（12）和（14），可得

其中k2為可計(jì)算的大于零的常數(shù)。

下面分兩種情況進(jìn)行討論。

情形1對(duì)任意的時(shí)間t?，假設(shè)存在一個(gè)z1，使得則對(duì)于所有的z>z1，有

積分式（18），可得

情形2對(duì)任意的時(shí)間?，如果不存在一個(gè)z1，使得

則對(duì)任意的z>0，有

因此由式（18），可得

對(duì)式（17）兩邊同時(shí)從z1到z積分，可得

聯(lián)合式（19）和（22），可得

在情形2 下，由式（16），可知

對(duì)式（24）兩邊同時(shí)從z到∞積分，有

聯(lián)合式（21）和（26），可知

綜合上面的討論，得到如下定理：

定理1假設(shè)(u，v) 為初邊值問題（1）-（4）的經(jīng)典解。當(dāng)z→∞時(shí)，解的能量表達(dá)式或者滿足

或者滿足

式（28）與式（29）必有一個(gè)成立。